Một số bài toán nâng cao lớp 9
Bài tập nâng cao lớp 9
1. Chứng minh \[\sqrt{7}\] là số vô tỉ.
2.
a) Chứng minh: \[{{(ac+\text{ }bd)}^{2}}~+{{\left( adbc \right)}^{2}}~=({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{c}^{2}}+{{d}^{2}})\]
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: \[{{\left( ac+bd \right)}^{2}}~\le ~({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{c}^{2}}+{{d}^{2}})\]
3. Cho \[x+y=2.\] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[S={{x}^{2}}+{{y}^{2}}.\]
4.
a) Cho \[~a\ge 0,\text{ }b\ge 0.\] Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: \[\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\]
b) Cho \[a,\text{ }b,\text{ }c>0.\] Chứng minh rằng: \[\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\]
c) Cho \[~a\ge 0,\text{ }b\ge 0.\] và \[3a+5b=12.\] Tìm giá trị lớn nhất của tích \[P=ab.\]
5. Cho \[a+b=1.\] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[M={{a}^{3}}+{{b}^{3}}.\]
6. Cho \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}=2.\] ìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[N=a+b.\]
7. Cho \[a,b,c\] là các số dương. Chứng minh \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+abc\ge ab\left( a+b+c \right).\]
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng \[\left| a+b \right|>\left| a-b \right|\]
9.
a) Chứng minh bất đẳng thức \[{{\left( a+1 \right)}^{2}}~\ge 4a\].
b) Cho \[a,\text{ }b,\text{ }c>0~\] và \[abc=1.\] Chứng minh : \[\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)\left( c+1 \right)\ge ~8.\]
10. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) \[{{\left( a+b \right)}^{2}}~\le ~2({{a}^{2}}+{{b}^{2}}).\]
b) \[{{\left( a+b+c \right)}^{2}}~\le ~3({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).\]
