Hàm số và đồ thị bậc nhất

I. Hàm số bậc nhất

a. Khái niệm hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y=ax+b.$ Trong đó a, b là các số cho trước và $a\ne ~0.$

b. Tính chất

Hàm số bậc nhất $y=ax+b$ xác định với mọi giá trị của x thuộc $R$và có tính chất sau:

Đồng biến trên R khi a > 0.
Nghịch biến trên R khi a < 0.

c. Đồ thị của hàm số $y=ax+b$($a\ne ~0.$)

Đồ thị của hàm số $y=ax+b$(a ≠ 0) là một đường thẳng

Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Song song với đường thẳng $y=ax$, nếu b ≠ 0, trùng với đường thẳng $y=ax$, nếu b = 0.

* Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b$(a ≠ 0)

Bước 1: Cho x = 0 thì y = b ta được điểm $P\left( 0;b \right)$ thuộc trục tung $Oy.$

Cho y = 0 thì $x=\frac{-b}{a}$ ta được điểm $Q\left( \frac{-b}{a};0 \right)~$ thuộc trục hoành.

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số $y=ax+b$

d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

$d\cap d=\left\{ A \right\}\Leftrightarrow a\ne a$
$d\bot d\Leftrightarrow a.a=-1$

e. Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$(a ≠ 0)

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$

Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ à góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$, T là điểm thuộc đường thẳng $y=ax+b$ và có tung độ dương

Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$

Hệ số a trong $y=ax+b$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$

II. Hàm số bậc hai

1. Định nghĩa

Hàm số có dạng \[y=a{{x}^{2~}}\]\[\left( a\ne \text{ }0 \right)\]

b. Tính chất

Hàm số \[y=a{{x}^{2~}}\]\[\left( a\ne \text{ }0 \right)\] xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

c. Đồ thị của hàm số \[y=a{{x}^{2~}}\]\[\left( a\ne \text{ }0 \right)\]

Đồ thị của hàm số \[y=a{{x}^{2~}}\]\[\left( a\ne \text{ }0 \right)\] là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục \[Oy\] àm trục đối xứng

Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

* Kiến thức bổ sung: Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với \[A({{x}_{1}},\text{ }{{y}_{1}})\] và \[B({{x}_{2}},\text{ }{{y}_{2}}).\] Khi đó

Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức: \[AB=\sqrt{{{({{x}_{B}}-{{x}_{A}})}^{2}}+{{({{y}_{B}}-{{y}_{A}})}^{2}}}\]

Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức: \[{{x}_{M}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};{{y}_{M}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}\]

* Quan hệ giữa Parabol \[y=a{{x}^{2~}}\]\[\left( a\ne \text{ }0 \right)\] và đường thẳng \[\mathbf{y}=\text{ }\mathbf{mx}+\text{ }\mathbf{n}\](m ≠ 0)

Cho Parabol (P): \[y=a{{x}^{2~}}\]\[\left( a\ne \text{ }0 \right)\] và đường thẳng (d): \[y=mx+n\]. Khi đó

Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình \[a{{x}^{2}}=\text{ }mx+n\](*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

* Một số phép biến đổi đồ thị

Cho hàm số \[y=\text{ }f\left( x \right)\] có đồ thị là \[\left( C \right)\]

Đồ thị \[({{C}_{1}}):\text{ }y=\text{ }f\left( x \right)+\text{ }b\] được suy ra bằng cách tịnh tiến \[\left( C \right)\] dọc theo trục tung b đơn vị
Đồ thị \[({{C}_{2}}):\text{ }y=\text{ }f\left( x+a \right)\] được suy ra bằng cách tịnh tiến \[\left( C \right)\] dọc theo trục hoành –a đơn vị
Đồ thị \[({{C}_{3}}):\text{ }y=\text{ }f\left( |x| \right)\] gồm hai phần

+ Giữ nguyên phần đồ thị \[\left( C \right)\] nằm bên trên \[Ox\], bỏ phần \[\left( C \right)\] nằm bên dưới \[Ox\]

+ Lấy đối xứng phần \[\left( C \right)\] nằm bên trên \[Ox\] qua \[Oy\]

III. Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai

Cho Parabol (P): \[y=a{{x}^{2~}}\]\[\left( a\ne \text{ }0 \right)\] và đường thẳng (d): \[y=mx+n\]. Khi đó

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình \[a{{x}^{2}}=\text{ }mx+n\](*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

IV. Một số bài tập có lời giải

Bài tập 1: Trên cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol \[(\mathbf{P})\] và đường thẳng (d): \[\mathbf{y}=\left( \mathbf{m}-\mathbf{2} \right)\mathbf{x}+\mathbf{1}\] và (d’): \[\mathbf{y}=-\mathbf{x}+\mathbf{3}\] (m là tham số ) . Xác định m để (P), (d) và (d’) có điểm chung .

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d’):

\[2{{x}^{2}}=-x+3\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x-3=0\text{ }\left( a+b+c=0 \right)\]

\[\Leftrightarrow {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{-3}{2}\]

+ Khi \[x=1\]thì \[y=2\]

+ Khi \[x=\frac{-3}{2}\] thì \[y=\frac{9}{2}\]

Vậy (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \[A\left( 1;2 \right)\] và \[B\left( \frac{-3}{2};\frac{9}{2} \right)\]

Để (P) ,(d) và (d’) có điểm chung thì

Vậy với \[m=3\] hay \[m=-\frac{1}{3}\] thì (P) ,(d) và (d’) có 1 điểm chung

Bài tập 2: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P) : và đường thẳng (d): \[\mathbf{y}=\mathbf{mx}+\mathbf{1}\] (m là tham số ). Xác định m để :

(d) tiếp xúc (P)
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt .
(d) và (P) không có điểm chung .

Giải :

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: \[{{x}^{2}}+mx+1=0\] (*)

\[\Delta ={{m}^{2}}~4\]

a) (d) tiếp xúc (P)khi phương trình (*) có nghiệm kép

b) (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt

c) (d) và (P) không có điểm chung khi (*) vô nghiệm

\[\Delta <0\] do đó m²-4<0 hay 2<>

Bài tập 3: Cho (P): \[y=\frac{{{x}^{2}}}{2}\] và (d): \[y=(m-1)x+\frac{m+3}{2}(m\in R)\]. Xác định m để (d) cắt (P)tại 2 điểm \[\mathbf{A}\left( {{\mathbf{x}}_{\mathbf{A}}};\text{ }{{\mathbf{y}}_{\mathbf{A}}} \right);\text{ }\mathbf{B}({{\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}};\text{ }{{\mathbf{y}}_{\mathbf{B}}})\] sao cho: \[{{x}^{2}}_{A}+{{x}^{2}}_{B}\ge 10\]

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\[\frac{{{x}^{2}}}{2}=\left( m-2 \right)x+\frac{3+m}{2}(*)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2(m-1)x-3-m=0\]

\[\Delta ={{m}^{2}}-m+\frac{1}{4}+\frac{15}{4}={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{15}{4}>0\]

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là \[{{x}_{A}};{{x}_{B}}\]

Theo Viét ta có:

Do \[{{x}^{2}}_{A}+{{x}^{2}}_{B}\ge 0\Rightarrow {{\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)}^{2}}-2{{x}_{A}}.{{x}_{B}}\ge 0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-6m\ge 0\Leftrightarrow 2m(m-3)\ge 0\]

Vậy với \[m\le 0\] hoặc \[m\ge 3\] thì (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt.

Bài tập 4: Trong cùng mặt phẳng toạ độ, cho (P): \[y=\frac{{{x}^{2}}}{2}\] , điểm \[\mathbf{M}\left( \mathbf{0};\mathbf{2} \right).\] Đường thẳng (d) đi qua M và không trùng với \[\mathbf{Oy}\] . Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt sao cho \[\widehat{AOB}={{90}^{{}^\circ }}\].

Giải:

Vì (d) đi qua \[M\left( 0;2 \right)\] và không trùng với \[Oy\]nên có dạng \[y=ax+b\]
\[M\in \left( d \right)\] nên: \[b=2\] và (D): \[y=ax+2\]

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: \[\frac{{{x}^{2}}}{2}=ax+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2ax-4=0(*)\]

Vì phương trình (*) có hệ số \[a=1;c=4\text{ }\left( a.c<0 \right)\]nên (*) có 2 nghiệm phân biệt \[A({{x}_{A}};\text{ }{{y}_{A}});\text{ }B({{x}_{B}};\text{ }{{y}_{B}})\]

Theo hệ thức Viét ta có:

Vì \[A~\in \left( P \right)\] \[\Leftrightarrow {{y}_{A}}=\frac{{{x}^{2}}_{A}}{2};B\in (P)\Leftrightarrow {{y}_{B}}=\frac{{{x}^{2}}_{B}}{2}\]

\[\Rightarrow O{{A}^{2}}={{\left( {{x}_{A}}-0 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-0 \right)}^{2}}={{x}^{2}}_{A}+\frac{{{x}^{4}}_{A}}{4};O{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{B}}-0 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-0 \right)}^{2}}={{x}^{2}}_{B}+\frac{{{x}^{4}}_{B}}{4}\]

\[A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{x}^{2}}_{A}}{2}-\frac{{{x}^{2}}_{B}}{2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}_{A}+{{x}^{2}}_{B}+\frac{{{x}^{4}}_{A}+{{x}^{4}}_{B}}{4}\]

Ta có: \[\text{O}{{\text{A}}^{\text{2}}}+O{{B}^{2}}={{x}^{2}}_{A}+{{x}^{2}}_{B}+\frac{{{x}^{4}}_{A}+{{x}^{4}}_{B}}{4}\]

Vậy \[O{{A}^{2}}~+\text{ }O{{B}^{2}}~=\text{ }A{{B}^{2}}\]

Suy ra \[\Delta AOB\] vuông tại O

V. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hai hàm số: \[y=x\] và \[y=3x\]

Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ \[Oxy.\]
Đường thẳng song song với trục \[Ox\], cắt \[Oy\] tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đường thẳng: \[y=x\] và \[y=3x\] lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác \[\vartriangle OAB\]

Bài 2: Cho hàm số \[y\text{ =}\text{ }2x\] và \[y=\frac{1}{2}x\]

Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;
Qua điểm \[\left( 0;2 \right)\]vẽ đường thẳng song song với trục \[Ox\], cắt đường thẳng \[y\text{ =}\text{ }2x\] và \[y=\frac{1}{2}x\] lần lượt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích của tam giác đó.

Bài 3: Cho hàm số: \[y=\left( m\text{ }+4 \right)xm+6\text{ }\left( d \right).\]

Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm \[A\left( -1;\text{ }2 \right).\] Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m.
Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4: Cho ba đường thẳng \[y=-x+1\], \[y=x+1\] và

Vẽ ba đường thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ \[Oxy.\]
Gọi giao điểm của đường thẳng \[y=-x+1\] và \[y=x+1\] là A, giao điểm của đường thẳng \[y=-1\] với hai đường thẳng \[y=-x+1\] và \[y=x+1\] theo thứ tự là B và C. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 5: Cho đường thẳng (d): \[y=-2x+3\]

Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng d với hai trục \[Ox,Oy\], tính khoảng cách từ điểm \[O\left( 0;0 \right)\] đến đường thẳng d.
ính khoảng cách từ điểm \[C\left( 0;-2 \right)\] đến đường thẳng d.

Bài 6: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng: \[y=2x+7\] (d₁), \[y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\] (d₂), \[y=-\frac{2}{k}x-\frac{1}{k}\] đồng quy trong mặt phẳng tọa độ, tìn tọa độ giao điểm.

Bài 7: Cho hai đường thẳng: \[y=\left( m+1 \right)x3~\] và \[y=\left( 2m1 \right)x+4.\]

Chứng minh rằng khi \[m=-\frac{1}{2}\] thì hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.
Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.

Bài 8: Xác định hàm số \[y=ax+\text{ }b\] trong mỗi trường hợp sau:

Khi \[a=\sqrt{3}\] đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[-\sqrt{3}\]
Khi \[a=-5\] đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left( -\text{ }2;\text{ }3 \right).\]
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \[M\left( 1;\text{ }3 \right)\] và \[N\left( -\text{ }2;\text{ }6 \right).\]
Đồ thị hàm số song song với đường thẳng \[y=\sqrt{7}x\] và đi qua điểm \[\left( 1;7+\sqrt{7} \right).\]

Bài 9: Cho đường thẳng: \[y=4x\left( d \right).\]

Viết phương trình đường thẳng (d₁) song song với đường thẳng (d) và có tung độ gốc bằng 10.
Viết phương trình đường thẳng (d₂) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng – 8.
Viết phương trình đường thẳng (d₃) song song với đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.

Bài 10: Cho hàm số: \[y=2x+2\](d₁ ); \[y=-\frac{1}{2}x-2\](d₂).

Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ \[Oxy\]
Gọi giao điểm của đường thẳng (d₁) với trục \[Oy\] là A, giao điểm của đường thẳng (d₂) với trục \[Ox\] là B, còn giao điểm của đường thẳng (d₁) và (d₂) là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
Tính diện tích tam giác ABC.