ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA PHẦN 2

CÁC CÔNG THỨC TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

$\triangleright $ Hệ thức liên hệ x, v

Do x và v vuông pha với nhau nên ta luôn có ${{\left( \frac{x}{{{x}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow $ $\frac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1$

Tại hai thời điểm t₁; t₂ vật có li độ, tốc độ tương ứng là x₁; v₁ và x₂; v₂ thì ta có $\omega =\sqrt{\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}$

Nhận xét: Ta có thấy đồ thị của x, v là đường elip nhận các bán trục là A và ωA

$\triangleright $ Hệ thức liên hệ a, v

Do a và v vuông pha với nhau nên ta luôn có ${{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow $ $\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}{{A}^{2}}}=1$ (2)

Tại hai thời điểm t₁; t₂ vật có gia tốc, tốc độ tương ứng là a₁; v₁ và a₂; v₂ thì ta có công thức $\omega =\sqrt{\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}$

Chú ý:

+ Từ hệ thức (2) ta thấy đồ thị của x, v là đường elip nhận các bán trục là ωA và ω²A.

+ Khi đi từ vị trí cân bằng ra biên: |v| giảm; |a| tăng

+ Khi đi từ biên về vị trí cân bằng: |v| tăng; |a| giảm

$\triangleright $ Hệ thức liên hệ x, a :

Ta có a = –${{\omega }^{2}}$ x. do a = ${{x}^{,,}}$.

$\triangleright $ Hệ thức liên hệ x, F_hp

\[{{\left( \frac{F}{kA} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{A\omega } \right)}^{2}}=1\]\[\Rightarrow {{A}^{2}}=\frac{{{F}^{2}}}{{{m}^{2}}{{\omega }^{4}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\]

Nhận xét:

+) Đồ thị của (F, x) là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ.

* Sự đổi chiều hay đổi dấu của x, v, a trong dao động điều hòa:

+ Gia tốc $\overset{\to }{\mathop{a}}\,$ và lực kéo về $\overset{\to }{\mathop{F}}\,$ đổi chiều khi vật qua vị trí cân bằng (x = 0).

+ Vật dao động đổi chiều chuyển động (hay vận tốc đổi chiều) khi vật đến vị trí biên (x = ± A).

CHU KỲ, TẦN SỐ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

+ Chu kì: T =$\frac{2\pi }{\omega }=\frac{\Delta t}{N}$ ,N là số dao động thực hiện được trong thời gian Dt.

+ Tần số góc:$\omega =\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}=\frac{2\pi }{T}$

+ Tần số:$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{N}{\Delta t}.$

+ Liên hệ giữa tần số góc, chu kì và tần số: w = $\frac{2\pi }{T}$ =$2\pi f$.

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox và có vị trí cân bằng O. Tần số góc của dao động là 3 rad/s. Lúc đầu chất điểm có toạ độ x₀= 4 cm và vận tốc v₀ = 12\[\sqrt[]{3}\] cm/s. Hãy viết phương trình dao động của chất điểm và tính tốc độ của chất điểm khi nó qua vị trí cân bằng.

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}$ =$\sqrt{{{4}^{2}}+\frac{{{(12\sqrt{3})}^{2}}}{{{3}^{2}}}}$ =8

$\Rightarrow $ x=A\[\operatorname{Cos}(3t-\frac{\pi }{3})\]

Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động điều hoà dọc theo trục Ox, khi vật có li độ x₁ = 1 cm thì có vận tốc v₁ = 4 cm/s, khi vật có li độ x₂ = 2 cm/s thì vật có vận tốc v₂ = –1 cm/s.

a) Tìm tần số góc ω và biên độ dao động A của vật

b) Viết phương trình dao động của vật, biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có v₀ = 3,24 cm/s và x₀ > 0.

Hướng dẫn:

a) Áp dụng công thức:

b) Áp dụng công thức :

$A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}$=$\sqrt{{{1}^{2}}+\frac{{{4}^{2}}}{{{(\sqrt{5})}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{105}}{5}$ cm

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 8 cm, tần số dao động f = 4 Hz. Tại thời điểm ban đầu vật qua vị trí x = 4 cm theo chiều dương. Phương trình vận tốc của vật là

Hướng dẫn

Áp dụng công thức \[\omega =2\pi f\] =$8\pi $ (rad)

$\Rightarrow $ $x=8\operatorname{Cos}(8\pi t-\frac{\pi }{3})$ $\Rightarrow $ v=$-8\pi .8\operatorname{Cos}(8\pi t-\frac{\pi }{3})$=$64\pi \operatorname{Cos}(8\pi t+\frac{2\pi }{3})$

Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 3 cm, chu kỳ dao động T = 0,5 (s). Tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

Viết phương trình dao động của vật

Hướng dẫn

Ta có: $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0.5}=4\pi $ (rad)

Do tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm nên $\varphi =\frac{\pi }{2}$ (rad)

$\Rightarrow x=3\operatorname{Cos}(4\pi t+\frac{\pi }{2})$ (cm)

Bài tập tự luyện :

Câu 1: Một vật dao động điều hòa khi vật có li độ x₁ = 3cm thì vận tốc của nó là v₁ = 40cm/s, khi vật qua vị trí cân bằng vật có vận tốc v₂ = 50cm. Li độ của vật khi có vận tốc v₃ = 30cm/s là

A. 4cm. B. ± 4 cm. C. 16cm. D. 2cm.

Câu 2: Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 10cm và thực hiện 50 dao động trong thời gian 78,5 giây. Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi đi qua vị trí có li độ x = –3 cm theo chiều hướng về vị trí cân bằng.

A. v = 0,16 m/s và a = 48 cm/s².

B. v = 0,16 m/s và a = 0,48 cm/s².

C. v = 16 m/s và a = 48 cm/s².

D. v = 0,16 cm/s và a = 48 cm/s².

Câu 3: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 2,0 s và trong 2,0 s vật đi được quãng đường 40cm. Tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là

A. x = 10cos (2πt + π/2) cm B. x = 10cos (2πt – π/2) cm

C. x = 10cos (πt – π/2) cm D. x = 20cos (πt + π/2) cm

Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa. Tại thời điểm t₁ li độ của chất điểm là x₁ = 3cm và v₁ = –60$\sqrt{3}$ cm/s. Tại thời điểm t₂ có li độ x₂ = 3$\sqrt{2}$ cm và v₂ = 60$\sqrt{2}$ cm/s. Biên độ và tần số góc dao động của chất điểm lần lượt bằng

A. 6cm; 20rad/s. B. 6cm; 12rad/s. C. 12cm; 20rad/s. D. 12cm; 10rad/s.

Câu 5: Một chất điểm M chuyển động đều trên một đường tròn với tốc độ dài 160cm/s và tốc độ góc 4 rad/s. Hình chiếu P của chất điểm M trên một đường thẳng cố định nằm trong mặt phẳng hình tròn dao động điều hòa với biên độ và chu kì lần lượt là

A. 40 cm; 0,25s. B. 40 cm; 1,57s. C. 40 m; 0,25s. D. 2,5 m; 1,57s

Câu 6: Đối với dao động tuần hoàn, khoảng thời gian ngắn nhất mà sau đó trạng thái dao động của vật được lặp lại như cũ được gọi là

A. tần số dao động. B. chu kì dao động.

C. chu kì dao động riêng. D. tần số dao động riêng

Câu 7: Chọn phát biểu sai khi nói về dao động điều hòa.

A. Vận tốc luôn trễ pha π/2 so với gia tốc. B. Gia tốc sớm pha π so với li độ.

C. Vận tốc và gia tốc luôn ngược pha nhau. D. Vận tốc luôn sớm pha π/2 so với li độ

Câu 8: Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của gia tốc theo li độ trong dao động điều hòa có dạng là

A. một đoạn thẳng. B. một đường thẳng. C. đường hình sin. D. đường parabol.

Câu 9: Phương trình dao động điều hòa của một chất điểm là x = A cos (ωt + 2π/3). Gia tốc của chất điểm có phương trình là

A. a = Aω² cos(ωt – π/3). B. a = Aω²sin(ωt – 5π/6).

C. a = Aω²sin(ωt + π/3). D. a = Aω²cos(ωt + 5π/3).

Câu 10: Một vật dao động điều hòa với tần số góc ω = 5 rad/s. Lúc t = 0, vật đi qua vị trí có li độ x = –2 cm và có vận tốc 10 (cm/s) hướng về phía vị trí biên gần nhất. Phương trình dao động của vật là

A. x = 2$\sqrt{2}$cos (5t + π/4) (cm). B. x = 2cos (5t – π/4) (cm).

C. x = $\sqrt{2}$cos (5t + 5π/4) (cm). D. x = 2$\sqrt{2}$cos (5t + 3π/4) (cm).

Câu 11: Một vật dao động điều hòa trong một chu kì dao động vật đi được 40cm và thực hiện được 120 dao động trong 1 phút. Khi t = 0, vật đi qua vị trí có li độ 5cm và đang theo chiều hướng về vị trí cân bằng. Phương trình dao động của vật đó có dạng là

A. x = 10cos (2πt + π/3) cm. B. x = 10cos (4πt + π/3) cm.

C. x = 20cos (4πt + π/3) cm. D. x = 10cos (4πt + 2π/3) cm.

Câu 12: Một vật dao động điều hòa có chu kì T = 4s và biên độ dao động A = 4cm. Thời gian để vật đi từ điểm có li độ cực đại về điểm có li độ bằng một nửa biên độ là

A. 2,0 s. B. 2/3 s. C. 1,0 s. D. 1/3 s.

Câu 13: Một vật dao động điều hòa khi đi qua vị trí cân bằng có tốc độ bằng 6m/s và gia tốc khi vật ở vị trí biên bằng 18m/s². Tần số dao động của vật bằng

A. 2,86 Hz. B. 1,43 Hz. C. 0,95 Hz. D. 0,48 Hz.

Câu 14: . Hai chất điểm M và N cùng xuất phát từ gốc và bắt đầu dao động điều hòa cùng chiều dọc theo trục x với cùng biên độ nhưng với chu kì lần lượt là 3s và 6s. Tỉ số độ lớn vận tốc khi chúng gặp nhau là

A. 1 : 2. B. 2 : 1. C. 2 : 3. D. 3 : 2.

Câu 15: Vật dao động điều hòa theo hàm cosin với biên độ 4 cm và chu kỳ 0,5 s ( lấy π² = 10). Tại một thời điểm mà pha dao động bằng 7π/3 thì vật đang chuyển động lại gần vị trí cân bằng. Gia tốc của vật tại thời điểm đó là

A. –3,2 m/s². B. 1,6 m/s². C. 3,2 m/s². D. –1,6 m/s².

Câu 16: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ tần số f = 2 Hz. Tại thời điểm t vật có li độ x = 4 cm và tốc độ v = 8π cm/s thì quỹ đạo chuyển động của vật có độ dài là (lấy gần đúng)

A. 4,94 cm/s. B. 4,47 cm/s. C. 7,68 cm/s. D. 8,94 cm/s.

Câu 17: Một vật dao động điều hoà có vận tốc cực đại là v_max = 16π cm/s và gia tốc cực đại a_max = 8π² cm/s² thì chu kỳ dao động của vật là:

A. T = 2 (s). B. T = 4 (s). C. T = 0,5 (s). D. T = 8 (s).

Câu 18: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = π/5 (s), khi vật có ly độ x = 2 cm thì vận tốc tương ứng là 20\[\sqrt[]{3}\] cm/s, biên độ dao động của vật có trị số:

A. A = 5 cm. B. A = 4\[\sqrt[]{3}\] cm. C. A = 2 \[\sqrt[]{3}\] cm. D. A = 4 cm.

Câu 19: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 3,14 (s). Xác định pha dao động của vật khi nó qua vị trí x = 2 cm với vận tốc v = 0,04 m/s? A. 0 rad. B. π/4 rad. C. π/6 rad. D. π/3 rad.

Câu 20: Một vật dao động điều hoà khi qua VTCB có tốc độ 8π cm/s. Khi vật qua vị trí biên có độ lớn gia tốc là 8π²cm/s². Độ dài quỹ đạo chuyển động của vật là

A. 16 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 32 cm

Câu 21: Trong dao động điều hoà, độ lớn gia tốc của vật

A. tăng khi độ lớn vận tốc tăng. B. không thay đổi.

C. giảm khi độ lớn vận tốc tăng. D. bằng 0 khi vận tốc bằng 0.

Câu 22: Cho một vật dao động điều hòa, biết rằng trong 8 s vật thực hiện được 5 dao động và tốc độ của vật khi đi qua VTCB là 4 cm. Gia tốc của vật khi vật qua vị trí biên có độ lớn là

A. 50 cm/s² B. 5π cm/s² C. 8 cm/s² D. 8π cm/s²

Đáp án 1B 2A 3C 4A 5B 6B 7C 8A 9D 10D 11B 12B 13D 14B 15A 16D 17B 18D 19B 20A 21C 22B