1. Khái niệm bất đẳng thức
Hệ thức dạng a < b (hay dạng a > b, a ≥ b, a ≤ b) được gọi là bất đẳng thức a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức.
Ví dụ: Bất đẳng thức 7 + (-3) > -5 có vế trái là 7 + (-3), còn vế phải là -5.
2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
a) Tính chất: Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho
Nếu a < b thì a + c < b + c
Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c
Nếu a > b thì a + c > b + c
Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c
b) Chú ý: Tính chất của thứ tự cũng chính là tính chất của bất đẳng thức.
Có thể áp dụng tính chất trên để so sánh hai số, hoặc chừng minh bất đẳng thức.
Ví dụ: Chứng tỏ 2003 + (-35) < 2004 + (-35)
Giải:
Theo tính chất trên, cộng -35 vào cả hai vế của bất đẳng thức 2003 < 2004, ta suy ra 2003 + (-35) < 2004 + (-35).
Bài 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
a) (-2) + 3 ≥ 2; b) -6 ≤ 2.(-3)
c) 4 + (-8) < 15 + (-8); d) x2 + 1 ≥ 1
HD: a) (-2) + 3 ≥ 2
Ta có: VT = (-2) + 3 = 1
VP = 2c) 4 + (-8) < 15 + (-8)
Ta có: VT = 4 + (-8) = -4
VP = 15 + (-8) = 7
=> VP > VT
Vậy khẳng định 4 + (-8) < 15 + (-8) là đúng
d) Vì x2 > 0 => x2 + 1 ≥ 0 + 1 => x2 + 1 ≥ 1
Vậy khẳng định x2 + 1 ≥ 1 là đúng
=> VT < VP
Vậy khẳng định (-2) + 3 ≥ 2 là sai
b) -6 ≤ 2.(-3)
Ta có: VT = -6
VP = 2.(-3) = -6
=> VT = VP
Vậy khẳng định -6 ≤ 2.(-3) là đúng
Bài 2. Cho a < b, hãy so sánh:
a) a + 1 và b + 1; b) a – 2 và b – 2.
HD:
a) Ta có: a < b => a + 1 < b + 1
b) Ta có: a < b => a – 2 < b – 2
Bài 3. So sánh a và b nếu:
a) a – 5 ≥ b – 5; b) 15 + a ≤ 15 + b
HD:
a) Vì a – 5 ≥ b – 5 => a – 5 + 5 ≥ b – 5 + 5
=> a ≥ b
b) Vì 15 + a ≤ 15 + b => 15 + a -15 ≤ 15 + b -15
=> a ≤ b
