Định nghĩa, tính chất của hình vuông

1. Định nghĩa hình vuông

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

Suy ra:

– Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.

– Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.

– Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hinh thoi.

2. Tính chất hình vuông

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

c) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.

d) Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

e) Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Bài 79 trang 108 SGK Toán 8 tập 1

a) Một hình vuông có cạnh bằng 3cm. Đường chéo của hình vuông đó bằng 6cm, \[\sqrt{18}\]cm, 5cm hay 4cm ?

b) Đường chéo của một hình vuông bằng 2dm. Cạnh cảu hình vuông đó bằng: 1dm, \[\frac{3}{2}\]dm, \[\sqrt{2}\]dm hay \[\frac{4}{3}\]dm ?

Đáp án và hướng dẫn giải bài 79:

a) Gọi đường chéo của hình vuông có độ dài là a.

Ta có: \[{{a}^{2}}={{3}^{2}}=18\]

Suy ra a = \[\sqrt{18}\](cm)

Vậy đường chéo của hình vuông đó bằng \[3\sqrt{2}\](cm).

b) Gọi cạnh của hình vuông là a.

Ta có \[{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{2}^{2}}\Rightarrow 2{{a}^{2}}=4\Rightarrow {{a}^{2}}=2\Rightarrow a=\sqrt{2}(dm)\]

Vậy cạnh của hình vuông đó bằng \[\sqrt{2}\](cm)

Bài 81 trang 108 SGK Toán 8 tập 1

Cho hình 106. Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?

Đáp án và hướng dẫn giải bài 81:

Tứ giác AEDF là hình vuông.

Giải thích:

Cách 1:

Tứ giác AEDF có EA // DF (cùng vuông góc AF)

DE // FA (cùng vuông góc với AE)

Suy ra AEDF là hình bình hành (theo định nghĩa)

Hình bình hành AEDF có đường chéo AD là phân giác của góc A nên là hình thoi.

Hình thoi AEDF có \[\angle A={{45}^{0}}+{{45}^{0}}={{90}^{0}}\]

Nên tứ giác AEDF là hình vuông.

Cách 2:

Xét tứ giác EDFA có \[\angle A=\angle E=\angle F={{90}^{0}}\Rightarrow \]tứ giác EDFA là hình chữ nhật

mặt khác\[\angle EAD=\angle FAD={{45}^{0}}\Rightarrow AD\] là phân giác góc \[\angle EAF\]

Suy ra tứ giác AEDF là hình vuông

Bài 82 trang 108 SGK Toán 8 tập 1

Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ

giác EFGH là hình vuông.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 82:

Ta có :

AD = AB (ABCD là hình vuông)

Hay AH + HD = BE + EA

Mà : HD = EA (gt)

⇒AH = EB

Xét ΔAHE VÀ ΔBEF, ta có :

\[\angle EAH=\angle FBE={{90}^{0}}\](ABCD là hình vuông)

EA = BF (gt)

AH = EB (cmt)

⇒ΔAHE = ΔBEF

⇒HE = EF (1) và \[\angle AEH=\angle BFE\]

Mà : \[\angle B\text{EF+}\angle BFE={{90}^{0}}\]

\[\Rightarrow \angle AEH\text{+}\angle BFE={{90}^{0}}\]

\[\Rightarrow \angle HEF={{90}^{0}}\]

chứng minh tương tự ta được : \[\angle GHE={{90}^{0}}\] và \[\angle EFG={{90}^{0}}\]

\[\Rightarrow \]Tứ giác ADEF là hình chữ nhật (2)

Từ (1) và (2), suy ra : Tứ giác ADEF là hình vuông.

 

Bài viết gợi ý: