Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lí côsin

Trong tam giác $ABC$ với $BC = a,\,\,AC = b$ và $AB = c$. Ta có :

$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\end{array}$

Hệ quả:

$\begin{array}{l}\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\\cos B = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}\\\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\end{array}$

2. Định lí sin

Trong tam giác $ABC$ với $BC = a,AC = b,AB = c$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có:

$\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R$

3. Độ dài trung tuyến

Cho tam giác $ABC$ với ${m_a},\,\,{m_b},\,\,{m_c}$ lần lượt là các trung tuyến kẻ từ $A,B,C$. Ta có:

$\begin{array}{l}m_a^2 = \dfrac{{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}}}{4}\\m_b^2 = \dfrac{{2({a^2} + {c^2}) - {b^2}}}{4}\\m_c^2 = \dfrac{{2({a^2} + {b^2}) - {c^2}}}{4}\end{array}$

4. Diện tích tam giác

Với tam giác $ABC$ ta kí hiệu ${h_a},\,\,{h_b},\,\,{h_c}$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh$BC,CA,AB$. $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; $p = \dfrac{{a + b + c}}{2}$ là nửa chu vi tam giác; $S$ là diện tích tam giác. Khi đó ta có:

$S = \dfrac{1}{2}a{h_a} = \dfrac{1}{2}b{h_b} = \dfrac{1}{2}c{h_c}$

$ = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B = \dfrac{1}{2}ab\sin C$

$ = \dfrac{{abc}}{{4R}}$

$ = pr$

$ = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $ (công thức Hê–rông)