Hướng dẫn giải một số bài toán quỹ tích-Toán lớp 9

1. Định nghĩa quỹ tích

Một hình \[\left( \mathbf{H} \right)~\]được gọi là quỹ tích của những điểm \[M\] có một tính chất
(hay tập hợp của những điểm \[M\] có tính chất \[\alpha \]) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất \[\alpha \]
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm \[M\] thoả mãn tính chất \[\alpha \] là một hình \[\left( \mathbf{H} \right)~\] nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất \[\alpha \] đều thuộc hình \[\left( \mathbf{H} \right)~\]

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình \[\left( \mathbf{H} \right)~\]đều có tính chất \[\alpha \]

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất \[\alpha \] là hình \[\left( \mathbf{H} \right)~\]

2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích

Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học, trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cần phải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng được suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trong một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v…. như thế nào? Dưới đây là những thao tác tư duy chuẩn bị cơ bản nhất.

2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán

Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:

a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm.

b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v…
Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”.

c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích
hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v…

Ví dụ 1: Cho một góc vuông \[xOy\] cố định và một đoạn thẳng \[AB\] có độ dài cho trước; đỉnh \[A\] di chuyển trên cạnh \[Ox\], đỉnh \[B\] di chuyển trên cạnh \[~Oy\]. Tìm tập hợp các trung điểm \[M\] của đoạn thẳng \[AB\].

Trong bài toán này thì:

+ Yếu tố cố định: Đỉnh \[O\] của góc \[xOy.\]

+ Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng \[AB.\]

+ Yếu tố thay đổi: điểm\[A\], điểm\[B,\] và do đó kéo theo trung điểm \[M\] của \[AB\] cũng thay đổi.

Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi. Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi.

Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc nào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách linh hoạt. Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường tròn cố định…” thì ta hiểu rằng tâm của đường tròn là một điểm cố định và bán kính của đường tròn là một độ dài không đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây.

Ví dụ 2: Cho một đường thẳng \[b\]và một điểm \[A\] cố định không thuộc đường thẳng \[b.\] Một tam giác \[ABC\]có đỉnh \[B\] di chuyển trên đường thẳng \[b\]sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh \[C.\]

Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy:

+ Yếu tố cố định: đỉnh \[A,\] đường thẳng \[b.\]

+ Yếu tố thay đổi: đỉnh\[B\], đỉnh \[C.\]

Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác \[ABC\]. Nếu dừng lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thể giải được bài toán. Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác \[ABC\] luôn tự đồng dạng ra như sau:

– Các góc \[A,B,C\] có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn \[\frac{AC}{AB}\] là một số không đổi. Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm ra cách giải bài toán.

2.2 Đoán nhận quỹ tích

Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa.

Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng quỹ tích.

– Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng.
– Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn.

Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:

Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm \[O\]đường kính \[AB=2R.\] Một điểm \[M\] di chuyển trên nửa đường tròn. Nối \[AM\] và đặt trên tia \[AM\] một đoạn \[AN=BM.\] Tìm tập hợp các điểm \[N.\]

Hướng dẫn giải.

Đoán nhận quỹ tích

Khi \[M\to B\] thì \[BM\to O\]

do vậy \[AN\to O\] hay \[N\to A\]

vậy điểm \[A\]à một điểm của quỹ tích.

– Khi \[M\] đến vị trí điểm \[I,\] điểm chính giữa của cung \[AB,\] thì do \[AI=BI\] nên \[N\to I.\]Vậy \[I\] là một điểm của quỹ tích.

– Khi \[M\to A\] thì dây cung \[AM\] đến vị trí của tiếp tuyến \[At\] với đường tròn tại điểm A và do \[BM=BA\] nên điểm \[N\] sẽ dần đến vị trí điểm \[B\] trên tiếp tuyến \[At\] sao cho \[AB=AB=2R;B\] là một điểm của quỹ tích.
Do 3 điểm không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm \[N\] sẽ nằm trên đường tròn đi qua 3 điểm \[A,I,B,\] tức là đường tròn đường kính \[AB.\]

3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào?

Giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo.

3.1 Chứng minh phần thuận

Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:

1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy.

3) Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng b một khoảng \[l\] cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng \[b\] và cách đường thẳng b một khoảng \[l.\]

4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm \[O\] cố định một khoảng không đổi \[r\] là đường tròn \[O,\] tâm bán kính \[r\]

5) Tập hợp các điểm \[M\] tạo thành với hai mút của đoạn thẳng \[AB\] cho trước một góc \[\widehat{AMB}\] có số đo bằng α ( α không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua \[AB\] (gọi là cung chứa góc α vẽ trên đoạn \[AB\]).

Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm \[M\] luôn nhìn hai điểm cố định \[A,B\] dưới một góc vuông là đường tròn đường kính \[AB\].

Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất α’ bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất α’ và quỹ tích của những điểm thoả tính chất α’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (như vậy α’ có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không đổi”; “ cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v…). Như vậy ta thay việc xét mệnh đề M(α) bằng việc xét mệnh đề M( α’) mà M(α) ⇒ M( α’).

3.2 Chứng minh phần đảo

Thông thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy một vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong phần thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính chất α . Ta sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất α .

Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy điểm \[M\]bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm M có tính chất \[T\] nêu trong đề bài. Tính chất \[T\] này thường được tách làm hai nhóm tính chất \[{{T}_{1}}\] và\[{{T}_{2}}\]. Ta dựng các điểm chuyển động còn lại thoả mãn tính chất \[{{T}_{1}}\] rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính chất \[{{T}_{2}}\]. Như thế, tuỳ theo cách chia nhóm \[{{T}_{1}}\] và \[{{T}_{2}}\] mà có nhiều cách chứng minh đảo đối với cùng một bài toán.

3. Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích các điểm

Ví dụ 4: Cho một góc vuông \[xOy.\] Một điểm \[A\] chạy trên cạnh \[Ox,\] một điểm \[B\] hạy trên cạnh \[Oy\] sao cho độ dài đoạn thẳng \[AB\] luôn bằng một đoạn l cho trước. Tìm quỹ tích trung điểm \[l\] của đoạn thẳng \[AB.\]

Phần thuận

Nối \[OI.\] Tam giác \[AOB\] vuông mà \[OI\] là trung tuyến nên \[OI=\frac{1}{2}AB=\frac{l}{2}=\] không đổi. Điểm \[{{I}_{_{0}}}{{I}_{1}}\]cố định, điểm \[I\] cắt điểm \[O\]một đoạn không đổi \[\frac{l}{2}\] nên \[I\] nằm trên đường tròn tâm \[O\] bán kính \[\frac{l}{2}\]

Giới hạn: Vì điểm \[A\] chỉ chạy đươc trên \[Ox,\] điểm \[B\] chỉ chạy được trên \[Oy\] và đoạn thẳng \[AB\] chỉ di chuyển trong góc \[xOy\] nên ta phải giới hạn quỹ tích.

Khi điểm \[A\] đến trùng với điểm \[O\] thì điểm \[B\] đến vị trí \[{{B}_{0}}\] và điểm I đến vị trí \[{{I}_{1}}\] trung điểm của đoạn thẳng \[O{{B}_{0}}\]

Khi điểm \[{{B}_{0}}\]đến trùng với điểm \[O\] thì điểm A đến vị trí \[{{A}_{0}}\] và điểm I đến vị trí \[{{I}_{0}}\] trung điểm của đoạn \[O{{A}_{0}}\]

Vậy khi đoạn \[AB\] di chuyển trong góc \[xOy\] thì điểm \[I\] nằm trên cung tròn \[{{I}_{_{0}}}{{I}_{1}}\] thuộc đường tròn tâm \[O\] bán kính \[\frac{l}{2}\], tức là cung phần tư đường tròn nằm trong góc \[xOy\]

Phần đảo:

Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư \[{{I}_{_{0}}}{{I}_{1}}\]. Quay lại cung tròn tâm I’, bán kính \[\frac{l}{2}\], cắt Ox ở A và Oy ở B’.

Ta có tam giác \[OI'A'\] cân nên \[\widehat{I'OA'}=\widehat{I'A'O}\]

Do vậy \[\widehat{OI'A'}={{180}^{0}}-2\widehat{I'OA'}\]

Tương tự \[\widehat{OI'B'}={{180}^{0}}-2\widehat{I'OB'}\]

Suy ra \[\widehat{OI'B'}+\widehat{OI'A'}={{180}^{0}}\]

Suy ra ban điểm \[A',I',B'\] thẳng hàng. Ta lại có \[I'A'=\frac{l}{2}\] nên \[A'B'=l\] và \[I'\] là tung điểm của \[A'B'.\]

Kết luận: Qũy tích trung điểm \[I\] của đoạn thẳng \[AB\] là cung \[{{I}_{_{0}}}{{I}_{1}}\] thuộc đường tròn tâm \[O\], bán kính \[\frac{l}{2}\](phần nằm trong góc \[xOy\]).

Ví dụ 5: Cho một góc vuông \[xOy.\]hai điểm \[A,B\] cố didngj chạy trên \[Ox\] và một điểm \[M\] chạy trên \[Oy.\] Đường thẳng vuông góc với \[MA\] kẻ từ \[A\] cắt đường thẳng vuông góc với \[MB\] kẻ từ \[B\] tại điểm \[N.\] Tìm tập hợp các điểm \[N.\]

Giải:

Phần thuận

Kẻ \[NH\bot Ox.\]

Gọi \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[MN.\]

Do \[IA=IB=\frac{1}{2}MN\] nên \[I\] nằm trên trung trực của đoạn thẳng \[AB.\] Nếu gọi \[K\] là trung điểm của \[AB\] thì \[IK\bot AB.\]

Ta lại có \[IK//OM//NH\] mà \[I\] là trung điểm của \[MN\] nên \[K\] là trung điểm của \[OH\], suy ra \[OH=2OK\]=không đổi. Vậy điểm \[N\] di chuyển trên tia \[Hz\] vuông góc với cạnh \[Ox\] tại điểm \[H\] sao cho \[OH=2OK.\]

Phần đảo

Lấy điểm \[M'\] trên \[Oy,\] nối \[M'A.\] Đường thẳng vuông góc với \[M'A\] kẻ từ \[A\] cắt tia \[Hz\] tại \[N'.\] Nối \[N'B\] và \[M'b.\]

Ta cần chứng minh \[N'B\bot M'B\]

Gọi \[I'\] là trung điểm của \[M'N'.\]

Ta có \[I'A=\frac{1}{2}M'N'\] (1) ( \[I'A\] là trung tuyến ứng với cạnh huyền \[M'N'\] của tam giác vuông \[M'AN'\])

Mặt khác \[I'\] là trung điểm của \[M'N',\] \[K\]là trung điểm của \[OH\] nên \[I'K//M'O\] suy ra \[I'K\bot AB\] mà \[K\] là trung điểm của \[AB\] nên \[I'K\] là trung trực của \[AB,\] cho ta \[I'A=I'B\](2)

Từ (1) và (2) suy ra \[I'B=\frac{1}{2}M'N'=I'M'=I'N'\]

Hay tam giác \[M'BN'\] vuông góc tại \[B.\] Vậy \[N'B\bot M'B\]

Kết luận: tập hợp các điểm \[N\] là tia \[Hz\] nằm trong góc\[xOy,\] vuông góc với cạnh \[Ox\] tại điểm \[H,\] sao cho \[OH=2OK\](\[K\] là trung điểm của đoạn \[AB\])

Lưu ý: trong bài toán này, liên hệ giữa hai điểm \[M\] và \[N\] phải thông qua các giả thiết \[M\in Oy,\widehat{MAN}=lv,\widehat{MBN}=lv\] và \[N\] là giao điểm của hai đường vuông góc kẻ từ \[A\] với \[MA,\] kẻ từ \[B\] với \[MB.\] Do vậy ta phải chọn một trong ba phương hướng sau đây để chứng minh phần đảo