Ôn tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông – Hình học 9

Kiến thức cần ghi nhớ:

1. Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
2. Trong tam giác vuông ta có định lí Pytago dùng đế tính cạnh hoặc chứng minh các đẳng thức có liên quan đên bình phương của cạnh.

     Tam giác ABC vuông tại A khi đó: \[B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}.\]

3. Trong tam giác vuông tại A thì trung tuyến \[AM=\frac{BC}{2}.\]
4. Công thức tính diện tích tam giác ABC vuông tại A: \[S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}a.h.\]
5. Từ công thức diện tích ta có ngay: \[a.h=b.c\]
6. Công thức về cạnh góc vuông và hình chiếu: \[b'c'={{h}^{2}}\]
7. Công thức về cạnh góc vuông và hình chiếu: \[{{b}^{2}}=a.b'\] và \[{{c}^{2}}=a.c'\]
8. Công thức về nghịch đảo đường cao: \[\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\]
9. Các cách để chứng minh một tam giác là tam giác vuông
   1. Chỉ ra tam giác đó có một góc vuông.
   2. Chỉ ra tam giác thỏa định lý Pytago đảo tức là: \[B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}.\] thì tam giác vuông tại A.
   3. Chỉ ra một trung tuyến \[AM=\frac{BC}{2}.\] Thì tam giác đó vuông tại A.

Bài tập:

1. Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB=3cm;BC=5cm.\] \[AH\]là đường cao. Tính \[BH;CH;AC\] và \[AH.\]
2. Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] có \[BC=16cm;AH=6cm.\] Một điểm \[D\in BH;BD=3.5cm.\] Chứng minh \[\vartriangle DAC\] vuông.
3. Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB=10cm;AB=8cm.\] Tính:

1. \[BC.\]
2. Hình chiếu của \[AB\] và \[AC\] lên \[BC.\]
3. Đường cao \[AH.\]

4. Cho \[\vartriangle ABC\] vuông tại \[A\] có \[BC=20cm;AC=18cm.\] Tính \[AB;BH;CH\] và \[AH.\]
5. Cho \[\vartriangle ABC\] vuông tại \[A\] có \[BC=12cm.\] Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết \[AB=\frac{2}{3}AC.\]
6. Cho \[\vartriangle ABC\] vuông tại \[A\] có đường cao \[AH.\] Biết \[BH=10cm;CH=42cm.\] Tính \[BC;AH;AB\] và \[AC.\]
7. Cho đường tròn tâm \[O\] bán kính \[R=10cm.\] Dây cung \[AB\] bất kỳ có trung điểm \[I.\]

1. Tính \[AB\] nếu \[OI=7cm.\]
2. Tính \[OI\] nếu  \[AB=14cm.\]

8. Cho đường tròn tâm \[O\] có đường kính \[AB=26.5cm.\] Vẽ dây cung \[AC=22.5cm.\] \[H\] là hình chiếu của \[C\] trên \[AB,\] nối \[BC.\] Tính \[BC;BH;CH\] và \[OH.\]
9. Hình thang \[ABCD\] cân; đáy lớn \[AB=30cm,\] đáy nhỏ \[CD=10cm\] và góc \[A\] là \[{{60}^{0}}.\]

1. Tính cạnh \[BC.\]
2. Gọi \[M;N\] lần lượt là trung điểm \[AB\] và \[CD\]. Tính \[MN.\]

10. Cho đa giác lồi \[ABCD\] có \[AB=AC=AD=10cm,\] góc \[B\] bằng \[{{60}^{0}}\] và góc \[A\] là \[{{90}^{0}}.\]

1. Tính đường chéo \[BD.\]
2. Tính khoảng cách \[BH\] và điều kiện từ \[B\] và \[D\] đến \[AC.\]
3. Tính \[HK.\]
4. Vẽ \[BE\bot DC\] kéo dài. Tính \[BE;CE\] và \[DC.\]

11. Cho đoạn thẳng  \[AB=2a.\] Từ trung điểm \[O\] của \[AB\] vẽ \[Ox\bot AB\] tại \[O.\] Trên \[Ox\] lấy \[D:\] \[OD=\frac{a}{2}.\] Từ B kẻ \[BC\bot AD\] kéo dài.

1. Tính \[AD;AC\] và \[BC\] theo \[a.\]
2. Kéo dài \[DO\] một đoạn \[OE=a.\] Chứng minh bốn điểm \[A;B;C\] và \[E\] cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xác định tính chất \[CE\] với góc \[ACB.\]
4. Vẽ đường vuông góc với \[BC\] tại \[B\] cắt \[CE\] tại \[F\]. Tính \[BF.\]
5. Gọi \[P\] là giao điểm của \[AB\] và \[CE.\] Tính \[AP\] và \[BP.\]

12.  Cho \[\vartriangle ABC\] nhọn, nội tiếp \[(0;R)\] có góc \[\widehat{AOB}={{90}^{0}}\] và góc \[\widehat{AOC}={{120}^{0}}.\]

1. Chứng minh \[O\] ở trong \[\vartriangle ABC\]
2. Tính các góc của tam giác \[\vartriangle ABC\]

Tính đường cao \[AH\] và \[BC\] theo \[R.\]

Bài viết gợi ý: