Phương trình số phức

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

A.Lý thuyết

1.Căn bậc hai số phức

Cho số phức w. Số phức z thỏa mãn \[{{z}^{2}}=\text{w}\] được gọi là một căn bậc hai của w

Số 0 có đúng một căn bạc hai số đối nhau (khác 0)

Số thực a>0 có hai căn bậc hai là \[\sqrt{a}\] và \[\text{-}\sqrt{a}\]

Số thực a<0 có hai căn bậc hai là \[\text{i}\sqrt{a}\] và \[\text{i}\sqrt{-a}\]

2.Phương trính phức

Xét phương trình bậc hai \[a{{z}^{2}}+bz+c\], với \[z\in \mathbb{C}\];a,b,c\[\in \mathbb{R}\] và \[a\ne 0\]

Xét biểu thức \[\Delta =\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}\]

Nếu \[\Delta \ne 0\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{{z}_{1}}=\frac{-b+\delta }{2a};{{z}_{2}}=\frac{-b-\delta }{2a}\], trong đó\[\delta \] là một căn bậc hai của \[\Delta \]

Nếu \[\Delta =0\] thì phương trình có nghiệm kép \[{{z}_{1}}={{z}_{2}}=\frac{-b}{2a}\]

Nhận xét:

Trên tập hợp số phức mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt)

Định lý viete: phương trình bậc hai \[a{{z}^{2}}+bz+c\], với \[z\in \mathbb{C}\];a,b,c\[\in \mathbb{R}\] và \[a\ne 0\] có hai nghiệm phức \[{{z}_{1}}\] và \[{{z}_{2}}\] thì \[{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\frac{-b}{a}\];\[{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\frac{c}{a}\]

B. Bài tập minh họa:

Lời giải:

Ta có : \[{{(z-i)}^{2}}+4=0\]\[\Leftrightarrow {{(z-i)}^{2}}=-4=4{{i}^{2}}\]

Vậy \[T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\]. Chọn C

Ta có: \[\Delta ={{\left( 3i-1 \right)}^{2}}-16+12i=-8+6i={{(1+3i)}^{2}}\]

Khi dó P t có hai nghiệm là \[{{z}_{1}}=2+i\];\[{{z}_{2}}=1-2i\]

Do đó: \[T=\left| {{z}_{1}}^{2} \right|+\left| {{z}_{2}}^{2} \right|\]=10. Chọn D

Lời giải:

Ta có: \[\Delta =9{{\left( i+1 \right)}^{2}}+20i=-2i={{(1-i)}^{2}}\]

Khi dó P t có hai nghiệm là \[{{z}_{1}}=2+i\];\[{{z}_{2}}=1+2i\]\[\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}\]

Do đó \[T=2\sqrt{5}\]. Chọn C

Lời giải:

Ta có: \[{{\left( 1+2i \right)}^{2}}+b\left( 1+2i \right)+c=0\Leftrightarrow -3+4i+b+2bi+c=0\].Chọn C

Lời giải

Thay và biểu thức ta có: $S=\frac{1}{z_{1}^{2}}+\frac{1}{z_{2}^{2}}+\frac{1}{z_{3}^{2}}+\frac{1}{z_{4}^{2}}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{{\left( 1-i \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1+i \right)}^{2}}}=\frac{5}{4}$

Chọn D

C. Bài tập tự luyện :

Câu 1: Gọi \[{{z}_{1}};{{z}_{2}}\] là hai nghiệm phức của phương trình phức của phương trình \[4{{z}^{2}}-4z+3=0\]. Giá trị biểu thức \[\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\] bằng.

A.\[3\sqrt{2}\] B.\[2\sqrt{3}\] C.3 D.\[\sqrt{3}\]

Câu 2: Phương trình nào dưới đây nhận hai nghiệm phức \[{{z}_{1}}=1+\sqrt{2}i\]và \[{{z}_{1}}=1-\sqrt{2}i\] :

A.\[{{z}^{2}}+2z+3=0\] B.\[{{z}^{2}}-2z-3=0\] C.\[{{z}^{2}}-2z+3=0\] D.\[{{z}^{2}}+2z-3=0\]

Câu 3: Gọi \[{{z}_{1}};{{z}_{2}}\] là hai nghiệm phức của phương trình phức của phương trình\[3{{z}^{2}}-z+1=0\]. Tính \[T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\]

A.\[\frac{\sqrt{3}}{3}\] B.\[\frac{2\sqrt{3}}{3}\] C.\[\frac{2}{3}\] D.-2

Câu 4: Kí hiệu\[{{z}_{1}};{{z}_{2}}\] là hai nghiệm phức của phương trình phức của phương trình \[{{z}^{2}}-z+6=0\] . Tính \[P=\frac{1}{{{z}_{1}}}+\frac{1}{{{z}_{2}}}\]

A.\[\frac{1}{6}\] B.\[\frac{1}{12}\] C.\[-\frac{1}{6}\] D.6

Ví dụ 5: Kí hiệu\[{{z}_{1}};{{z}_{2}}\] là hai nghiệm phức của phương trình phức của phương trình \[{{z}^{2}}+4\] . Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn \[{{z}_{1}};{{z}_{2}}\] trên mặt phẳng tọa độ. Tính T=OM+ON với O là góc tọa độ

A.T=\[\sqrt{2}\] B.T=2 C.T=8 D.T=4

Ví dụ 6: Kí hiệu \[{{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}};{{z}_{4}}\] là bốn nghiệm của phương trình phức \[{{z}^{4}}-{{z}^{2}}-12=0\]. Tính \[\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|\]

A.4 B.\[2\sqrt{3}\] C.\[4+2\sqrt{3}\] D.\[2+2\sqrt{3}\]

Ví dụ 7: Kí hiệu\[{{z}_{1}};{{z}_{2}}\] là hai nghiệm phức của phương trình phức của phương trình\[{{z}^{2}}+z+1=0\].Tính P=\[{{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}\].

A.P=1 B.P=2 C.P=-1 D.P=0

Ví dụ 8: Gọi \[{{z}_{1}};{{z}_{2}}\] là hai nghiệm phức của phương trình phức của phương trình \[{{z}^{2}}+4z+5=0\]. Tính \[\text{w=}{{\left( 1+{{z}_{1}} \right)}^{100}}+{{\left( 1+{{z}_{2}} \right)}^{100}}\].

A.\[\text{w=}{{\text{2}}^{50}}i\] B.\[\text{w=-}{{\text{2}}^{51}}i\] C.\[\text{w=}{{\text{2}}^{51}}\] D.\[\text{w=-}{{\text{2}}^{51}}\]

Ví dụ 9: Tìm các căn bậc hai của -12 trong số phức tập C

A.\[\pm 4\sqrt{3}i\] B.\[\pm 2\sqrt{3}i\] C.\[\pm 2\sqrt{2}i\] D.\[\pm 3\sqrt{2}i\]

Ví dụ 10: Cho số phức \[z=x+yi(x,y\in Z)\] thỏa mãn \[{{z}^{3}}=18+26i\]. Tính \[T={{(z-2)}^{2}}+{{\left( 4-z \right)}^{2}}\]

A.2 B.4 C.5 D.6