Tính toán số phức

CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC

A. Tóm tắt lí thuyết

* Định nghĩa: Số phức là số có dạng \[z=a+bi(a,b\in R)\], i là đơn vị ảo, tức là \[{{i}^{2}}=-1\]

a gọi là phần thực của z.

b gọi là phần ảo của z.

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

* Các phép toán trên số phức:

+) Cho \[{{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i,\,\,\,{{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i\].

+) \[{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)+\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}} \right)i\]

+) \[{{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)+\left( {{b}_{1}}-{{b}_{2}} \right)i\]

+) \[{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \right).\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \right)={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{a}_{1}}{{b}_{2}}i+{{a}_{2}}{{b}_{1}}i+{{b}_{1}}{{b}_{2}}{{i}^{2}}\]\[={{a}_{1}}{{a}_{2}}-{{b}_{1}}{{b}_{2}}+({{a}_{1}}{{b}_{2}}+{{a}_{2}}{{b}_{1}})i\]

+)\[\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \right)}{\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \right)}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \right)\left( {{a}_{2}}-{{b}_{2}}i \right)}{\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \right)\left( {{a}_{2}}-{{b}_{2}}i \right)}=\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}-{{b}_{1}}{{b}_{2}}+({{a}_{2}}{{b}_{1}}-{{a}_{1}}{{b}_{2}})i}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}\]

* Mô đun của số phức, số phức liên hợp.

Cho số phức \[z=a+bi\]. Khi đó :

+) Đại lượng \[\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\]gọi là môđun của z. Kí hiệu \[\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\]

+) Số phức \[\overline{z}=a-bi\] gọi là số phức liên hợp của z.

B. Hệ thống bài tập

I. Các phép toán trên số phức

Ví dụ 1: Cho \[{{z}_{1}}=3+i,{{z}_{2}}=2-i\] Tính \[\left| {{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\]

Lời giải

\[{{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}=3+i+\left( 3+i \right)\left( 2-i \right)=10=10+0i\] \[\Rightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{10}^{2}}+{{0}^{2}}}=10\]

Ví dụ 2. Tìm số phức z biết \[z+2\overline{z}={{\left( 2-i \right)}^{3}}\left( 1-i \right)\] (1)

Lời giải:

Ví dụ 3. Cho \[{{z}_{1}}=2+3i,\,\,\,{{z}_{2}}=1+i\]. Tính \[\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|\]; \[\left| \frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}} \right|\]; \[\left| {{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}} \right|\]

Lời giải

+) \[{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}=2+3i+3+3i=5+6i\] \[\Rightarrow \]\[\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=\sqrt{61}\]

+) \[\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}}=\frac{3+4i}{1+i}=\frac{\left( 3+4i \right)\left( 1-i \right)}{1-{{i}^{2}}}=\frac{7+i}{2}\]\[\Rightarrow \]\[\left| \frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}} \right|=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

+) \[{{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}}=8+36i+54{{i}^{2}}+27{{i}^{3}}-3-3i=-49+6i\] \[\Rightarrow \]\[\left| {{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2437}\]

Ví dụ 4. Tìm số phức z biết: \[\overline{z}+3z={{\left( 3-2i \right)}^{2}}\left( 2+i \right)\,\,(1)\]

Lời giải

Giả sử z=a+bi, ta có:

\[(1)\Leftrightarrow a-bi+3a+3bi=\left( 9-12i+4{{i}^{2}} \right)\left( 2+i \right)=\left( 5-12i \right).\left( 2+i \right)\]

\[\Leftrightarrow 4a+2bi=10-24i+5i-12{{i}^{2}}=22-19i\] \[\Leftrightarrow a=\frac{11}{12};b=\frac{-19}{2}\]. Vậy \[z=\frac{11}{2}-\frac{19}{2}i\]

Ví dụ 5. Tìm phần ảo của z biết: \[z+3\overline{z}={{\left( 2+i \right)}^{3}}\left( 2-i \right)\,\,(1)\]

Lời giải

Giả sử z=a+bi

\[(1)\Leftrightarrow a+bi+3a-3bi=\left( 8+12i+6{{i}^{2}}+{{i}^{3}} \right)\left( 2-i \right)=\left( 2+11i \right).\left( 2-i \right)\]

\[\Leftrightarrow 4a-2bi=4-2i+22i-11{{i}^{2}}=20i+15\]\[\Leftrightarrow a=\frac{15}{4};b=-10\].

Vậy phần ảo của z bằng -10

Ví dụ 6. Tìm môđun của z biết \[z+2\overline{z}=\frac{(1-i\sqrt{2}){{\left( 1+i \right)}^{2}}}{2-i}\,\,(1)\]

Lời giải

Ví dụ 7. (A+A\[_{1}\] 2012) Cho số phức z thỏa mãn \[\frac{5(\overline{z}+i)}{z+1}=2-i\,\,(1)\]

Tính môđun của số phức \[\omega =1+z+{{z}^{2}}\].

Lời giải

Ví dụ 8. (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: \[(2+i)z+\frac{2(1+2i)}{1+i}=7+8i\,\,(1)\]

Tìm môđun của số phức \[\omega =z+1+i\]

Lời giải

Ví dụ 9. (A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết \[{{z}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}+\overline{z}\,\,\,(1)\]

Lời giải

Ví dụ 10. ( A-2011) Tính môđun của số phức z biết:

\[(2z-1)(1+i)+(\overline{z}+1)(1-i)=2-2i\,\,(1)\]

Lời giải

Ví dụ 11. Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức \[z=x+iy\] thỏa mãn \[{{z}^{3}}=18+26i\]

Lời giải

Bài luyện tập

Bài 1. Thức hiện phép tính:

a. \[(3i+4)\left[ (-3+2i)-(4-7i) \right]\]

A.\[-55+15i\] B.\[-56+16i\] C.\[-58+18i\] D.\[-59+19i\]

b. \[\left( 7-5i \right)\left( 1+i \right)-\left( 3i+2i \right)\]

A.\[12-3i\] B.\[12-4i\] C.\[12-5i\] D.\[12-6i\]

c. \[{{\left( 1+i \right)}^{2012}}\]

A.\[{{2}^{1006}}\] B.\[-{{2}^{2012}}\] C.\[-{{2}^{1006}}\] D.\[{{2}^{2012}}\]

d. \[{{\left( 3+4i \right)}^{2}}\left( 5-7i \right)\]

A.\[133+196i\] B.\[133+169i\] C.\[132+199i\] D.\[133+199i\]

e. \[{{\left( 3-i \right)}^{3}}-{{\left( 1+2i \right)}^{2}}\]

A.\[-223-346i\] B.\[-222-346i\] C.\[-223+346i\] D.\[-222+346i\]

f. \[\left( -3+4i \right)+\frac{5-7i}{6+5i}\]

A.\[-\frac{118}{61}-\frac{177}{61}i\] B.\[-\frac{118}{61}+\frac{167}{61}i\] C.\[-\frac{118}{61}+\frac{177}{61}i\] D.\[-\frac{118}{61}-\frac{167}{61}i\]

g. \[\frac{8+5i}{3-4i}-\frac{2i-1}{3+2i}\]

A.\[\frac{27}{325}+\frac{411}{325}i\] B.\[-\frac{27}{325}-\frac{411}{325}i\] C.\[\frac{27}{325}-\frac{411}{325}i\] D. \[-\frac{26}{325}-\frac{411}{325}i\]