CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC

            A. Tóm tắt lí thuyết

* Định nghĩa: Số phức là số có dạng z=a+bi(a,b∈R)z=a+bi(a,b\in R), i là đơn vị ảo, tức là i2=−1{{i}^{2}}=-1

a gọi là phần thực của z.

b gọi là phần ảo của z.

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

* Các phép toán trên số phức:

+) Cho z1=a1+b1i,   z2=a2+b2i{{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i,\,\,\,{{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i.

+) z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)+\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}} \right)i

+) z1−z2=(a1−a2)+(b1−b2)i{{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)+\left( {{b}_{1}}-{{b}_{2}} \right)i

+) z1.z2=(a1+b1i).(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \right).\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \right)={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{a}_{1}}{{b}_{2}}i+{{a}_{2}}{{b}_{1}}i+{{b}_{1}}{{b}_{2}}{{i}^{2}}=a1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)i={{a}_{1}}{{a}_{2}}-{{b}_{1}}{{b}_{2}}+({{a}_{1}}{{b}_{2}}+{{a}_{2}}{{b}_{1}})i

+)z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1+b1i)(a2−b2i)(a2+b2i)(a2−b2i)=a1a2−b1b2+(a2b1−a1b2)ia22+b22\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \right)}{\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \right)}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \right)\left( {{a}_{2}}-{{b}_{2}}i \right)}{\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \right)\left( {{a}_{2}}-{{b}_{2}}i \right)}=\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}-{{b}_{1}}{{b}_{2}}+({{a}_{2}}{{b}_{1}}-{{a}_{1}}{{b}_{2}})i}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}

* Mô đun của số phức, số phức liên hợp.

Cho số phức z=a+biz=a+bi. Khi đó :

+) Đại lượng a2+b2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}gọi là môđun của z. Kí hiệu ∣z∣=a2+b2\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}

+) Số phức z‾=a−bi\overline{z}=a-bi gọi là số phức liên hợp của z.

B. Hệ thống bài tập

I. Các phép toán trên số phức

Ví dụ 1: Cho z1=3+i,z2=2−i{{z}_{1}}=3+i,{{z}_{2}}=2-i Tính ∣z1+z1z2∣\left| {{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|

Lời giải

z1+z1z2=3+i+(3+i)(2−i)=10=10+0i{{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}=3+i+\left( 3+i \right)\left( 2-i \right)=10=10+0i ⇒∣z1+z1z2∣=102+02=10\Rightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{10}^{2}}+{{0}^{2}}}=10

Ví dụ 2. Tìm số phức z  biết z+2z‾=(2−i)3(1−i)z+2\overline{z}={{\left( 2-i \right)}^{3}}\left( 1-i \right)  (1)

Lời giải:

               

Ví dụ 3.  Cho z1=2+3i,   z2=1+i{{z}_{1}}=2+3i,\,\,\,{{z}_{2}}=1+i. Tính ∣z1+3z2∣\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|; ∣z1+z2z2∣\left| \frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}} \right|; ∣z13+3z2∣\left| {{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}} \right|

Lời giải

+) z1+3z2=2+3i+3+3i=5+6i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}=2+3i+3+3i=5+6i ⇒\Rightarrow ∣z1+3z2∣=52+62=61\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=\sqrt{61}

+) z1+z2z2=3+4i1+i=(3+4i)(1−i)1−i2=7+i2\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}}=\frac{3+4i}{1+i}=\frac{\left( 3+4i \right)\left( 1-i \right)}{1-{{i}^{2}}}=\frac{7+i}{2}⇒\Rightarrow ∣z1+z2z2∣=494+14=522\left| \frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}} \right|=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}

+) z13+3z2=8+36i+54i2+27i3−3−3i=−49+6i{{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}}=8+36i+54{{i}^{2}}+27{{i}^{3}}-3-3i=-49+6i ⇒\Rightarrow ∣z13+3z2∣=2437\left| {{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2437}

Ví dụ 4.  Tìm số phức z biết:   z‾+3z=(3−2i)2(2+i)  (1)\overline{z}+3z={{\left( 3-2i \right)}^{2}}\left( 2+i \right)\,\,(1)

Lời giải

Giả sử z=a+bi, ta có:

(1)⇔a−bi+3a+3bi=(9−12i+4i2)(2+i)=(5−12i).(2+i)(1)\Leftrightarrow a-bi+3a+3bi=\left( 9-12i+4{{i}^{2}} \right)\left( 2+i \right)=\left( 5-12i \right).\left( 2+i \right)

              ⇔4a+2bi=10−24i+5i−12i2=22−19i\Leftrightarrow 4a+2bi=10-24i+5i-12{{i}^{2}}=22-19i ⇔a=1112;b=−192\Leftrightarrow a=\frac{11}{12};b=\frac{-19}{2}. Vậy z=112−192iz=\frac{11}{2}-\frac{19}{2}i

Ví dụ 5. Tìm phần ảo của z biết: z+3z‾=(2+i)3(2−i)  (1)z+3\overline{z}={{\left( 2+i \right)}^{3}}\left( 2-i \right)\,\,(1)

Lời giải

Giả sử z=a+bi

(1)⇔a+bi+3a−3bi=(8+12i+6i2+i3)(2−i)=(2+11i).(2−i)(1)\Leftrightarrow a+bi+3a-3bi=\left( 8+12i+6{{i}^{2}}+{{i}^{3}} \right)\left( 2-i \right)=\left( 2+11i \right).\left( 2-i \right)

    ⇔4a−2bi=4−2i+22i−11i2=20i+15\Leftrightarrow 4a-2bi=4-2i+22i-11{{i}^{2}}=20i+15⇔a=154;b=−10\Leftrightarrow a=\frac{15}{4};b=-10.

Vậy phần ảo của z  bằng -10

Ví dụ 6. Tìm môđun của z biết z+2z‾=(1−i2)(1+i)22−i  (1)z+2\overline{z}=\frac{(1-i\sqrt{2}){{\left( 1+i \right)}^{2}}}{2-i}\,\,(1)

Lời giải

Ví dụ 7. (A+A1_{1} 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5(z‾+i)z+1=2−i  (1)\frac{5(\overline{z}+i)}{z+1}=2-i\,\,(1)

                            Tính môđun của số phức ω=1+z+z2\omega =1+z+{{z}^{2}}.

           Lời giải

Ví dụ 8. (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2+i)z+2(1+2i)1+i=7+8i  (1)(2+i)z+\frac{2(1+2i)}{1+i}=7+8i\,\,(1)

                                   Tìm môđun của số phức ω=z+1+i\omega =z+1+i

           Lời giải

Ví dụ 9. (A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết z2=∣z∣2+z‾   (1){{z}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}+\overline{z}\,\,\,(1)

             Lời giải

Ví dụ 10. ( A-2011) Tính môđun của số phức z biết:

                                           (2z−1)(1+i)+(z‾+1)(1−i)=2−2i  (1)(2z-1)(1+i)+(\overline{z}+1)(1-i)=2-2i\,\,(1)

          Lời giải

         

 

Ví dụ 11. Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z=x+iyz=x+iy thỏa mãn z3=18+26i{{z}^{3}}=18+26i

            Lời giải

                   

Bài luyện tập

Bài 1. Thức hiện phép tính:

a. (3i+4)[(−3+2i)−(4−7i)](3i+4)\left[ (-3+2i)-(4-7i) \right]  

A.−55+15i-55+15i           B.−56+16i-56+16i          C.−58+18i-58+18i          D.−59+19i-59+19i

 

   b. (7−5i)(1+i)−(3i+2i)\left( 7-5i \right)\left( 1+i \right)-\left( 3i+2i \right)     

A.12−3i12-3i               B.12−4i12-4i              C.12−5i12-5i               D.12−6i12-6i

c. (1+i)2012{{\left( 1+i \right)}^{2012}}

A.21006{{2}^{1006}}                  B.−22012-{{2}^{2012}}                C.−21006-{{2}^{1006}}              D.22012{{2}^{2012}}

            d. (3+4i)2(5−7i){{\left( 3+4i \right)}^{2}}\left( 5-7i \right)

A.133+196i133+196i          B.133+169i133+169i            C.132+199i132+199i         D.133+199i133+199i

            e. (3−i)3−(1+2i)2{{\left( 3-i \right)}^{3}}-{{\left( 1+2i \right)}^{2}}       

A.−223−346i-223-346i        B.−222−346i-222-346i         C.−223+346i-223+346i          D.−222+346i-222+346i

f. (−3+4i)+5−7i6+5i\left( -3+4i \right)+\frac{5-7i}{6+5i}           

A.−11861−17761i-\frac{118}{61}-\frac{177}{61}i        B.−11861+16761i-\frac{118}{61}+\frac{167}{61}i          C.−11861+17761i-\frac{118}{61}+\frac{177}{61}i        D.−11861−16761i-\frac{118}{61}-\frac{167}{61}i

 g. 8+5i3−4i−2i−13+2i\frac{8+5i}{3-4i}-\frac{2i-1}{3+2i}

A.27325+411325i\frac{27}{325}+\frac{411}{325}i          B.−27325−411325i-\frac{27}{325}-\frac{411}{325}i           C.27325−411325i\frac{27}{325}-\frac{411}{325}i      D. −26325−411325i-\frac{26}{325}-\frac{411}{325}i  

           

Bài 2. Tìm phần ảo của số phức z, biết: zˉ=(2+i)2(1−2i)\bar{z}={{(\sqrt{2}+i)}^{2}}(1-\sqrt{2}i).

A.−2A.-\sqrt{2}            B.2iB.\sqrt{2}i         C.2C.\sqrt{2}           D.−2iD.-\sqrt{2}i

Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn: (2−3i)z+(4+i)zˉ=−(1+3i)2(2-3i)z+(4+i)\bar{z}=-{{(1+3i)}^{2}}.

              Xác định phần thực và phần ảo của z.

A.Phần thực là  12\frac{1}{2} , phần ảo là  32\frac{3}{2}

B.Phần thực là −12-\frac{1}{2}, phần ảo là −32-\frac{3}{2}

C.Phần thực là  32\frac{3}{2}, phần ảo là −12-\frac{1}{2}

D.Phần thực là  −32-\frac{3}{2} ,phần ảo là 12\frac{1}{2}

 

Bài 4. Tính mô đun của số phưc sau  z3=(2i−1)2−(3+i)2\,\,{{z}_{3}}={{(2i-1)}^{2}}-{{(3+i)}^{2}}

  A.220\sqrt{220}             B.221\sqrt{221}            C.222\sqrt{222}             D.223\sqrt{223}                                         

Bài 5. Cho số phức z thỏa mãn: zˉ=(1−3i)31−i\bar{z}=\frac{{{(1-\sqrt{3}i)}^{3}}}{1-i}. Tìm môđun của zˉ+iz\bar{z}+iz.

  A.4                   B.5                  C.7                D.8

Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn: z+z‾=6;  z.z‾=25z+\overline{z}=6;\,\,z.\overline{z}=25

  A.3+4i3+4i        B.3−4i3-4i          C.3−3i3-3i                D.Cả A và B

Bài viết gợi ý:

1. Đề thi thử môn Toán THPT QG 2019

2. Đề thi thử môn Toán THPT QG

3. Thử sức với đề thi Môn Toán THPT

4. Thử sức với đề thi Môn Toán THPTQG trên cả nước

5. [TOÁN 11] Tập Hợp

6. [TOÁN 11] Phép Tịnh Tiến

7. [TOÁN 11] Phép Quay