PHÉP QUAY
A/ LÝ THUYẾT
I/ Định nghĩa
+ Cho điểm I và góc lượng giác $\alpha $ . Phép biến hình biến I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’ sao cho IM’ = IM và góc lượng giác $\left( IM'IM' \right)=\alpha $ được gọi là phép quay tâm I góc $\alpha $
+ Kí hiệu: ${{Q}_{\left( I,\alpha \right)}}$
+ Các trường hợp đặc biệt:
${{Q}_{\left( I,2k\pi \right)}}$ là phép đồng nhất (biến mọi điểm thành chính nó)
${{Q}_{\left( I,\left( 2k+1 \right)\pi \right)}}$ là phép đối xứng tâm I
II/ Biểu thức tọa độ của phép quay
Giả sử điểm $I\left( a;b \right)$ và góc quay $\alpha $. Khi đó ${{Q}_{\left( I,\alpha \right)}}$ biến điểm $M\left( x;y \right)$ thành điểm $M'\left( x';y' \right)$ , với $x'$ và $y'$ tính theo công thức sau:
.png)
III/ Tính chất
+ Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
+ Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
B/ VÍ DỤ
VD 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm $A\left( 3;3 \right)$ . Hỏi ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay ${{90}^{o}}$ là?
A.$\left( 3;-3 \right)$
B.$\left( -3;3 \right)$
C.$\left( 3;3 \right)$
D.$\left( -3;-3 \right)$
Giải:
.png)
Gọi $B\left( x;y \right)$ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay ${{90}^{o}}$
Áp dụng công thức, ta có:
.png)
$\Rightarrow B\left( -3;3 \right)$
Đáp án B
VD 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm $A\left( 3;3 \right)$ . Hỏi ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay $-{{90}^{o}}$ là?
A.$\left( 3;-3 \right)$
B.$\left( -3;3 \right)$
C.$\left( 3;3 \right)$
D.$\left( -3;-3 \right)$
Giải:
Gọi $B\left( x;y \right)$ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay $-{{90}^{o}}$
Áp dụng công thức, ta có:
.png)
$\Rightarrow B\left( 3;-3 \right)$
Đáp án A
VD 3: Cho hai điểm $A\left( 0;2 \right)$ và $B\left( 2;0 \right)$ hỏi phép quay nào dưới đây biến điểm A thành điểm B?
A.${{Q}_{\left( O;\frac{\pi }{2} \right)}}$
B.${{Q}_{\left( O;\pi \right)}}$
C.${{Q}_{\left( O;\frac{3\pi }{2} \right)}}$
D.${{Q}_{\left( O;-\pi \right)}}$
Giải:
Nhìn vào hình vẽ ta thấy chỉ có phép quay ${{Q}_{\left( O;\frac{3\pi }{2} \right)}}$ hoặc ${{Q}_{\left( O;-\frac{\pi }{2} \right)}}$biến điểm A thành điểm B
Đáp án C
VD 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $\left( d \right):x-y=0$ . Tìm ảnh của đường thẳng (d) qua phép quay tâm O góc quay ${{90}^{o}}$
A.$x+y+1=0$
B.$x+y-1=0$
C.$x+y=0$
D.$-x+y-2=0$
Giải:
Gọi điểm $O\left( 0;0 \right)$ và điểm $B\left( 2;2 \right)$ thuộc (d)
Khi đó ảnh của hai điểm O và B qua phép quay tâm O góc quay ${{90}^{o}}$ lần lượt là $\left( 0;0 \right)$ và:
.png)
$\Rightarrow C\left( -2;2 \right)$
Đường thẳng $\left( d' \right)$ qua $O\left( 0;0 \right)$ nhận $\overrightarrow{OC}\left( -2;2 \right)$ và VTCP
$\Rightarrow \left( d' \right):x+y=0$
Đáp án C
VD 5: Cho hình bình hành ABCD tâm O, phép quay tâm O, góc quay $-{{180}^{o}}$ biến đường thẳng AD thành đường thẳng nào trong số các đường thẳng dưới đây?
A.CD
B.BC
C.BA
D.AC
Giải:
Phép quay tâm O góc quay $-{{180}^{o}}$ biến điểm A thành điểm C
Phép quay tâm O góc quay $-{{180}^{o}}$ biến điểm B thành điểm B
$\Rightarrow $ Phép quay tâm O góc quay $-{{180}^{o}}$ biến đoạn thẳng AD thành đoạn thẳng BC
Đáp án B
C/ BÀI TẬP
Bài 1: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm $A\left( 4;4 \right)$ . Hỏi ảnh của điểm A qua phép quya tâm O góc quay $-{{90}^{o}}$ là điểm nào?
A.$\left( 4;4 \right)$
B.$\left( 4;-4 \right)$
C.$\left( -4;4 \right)$
D.$\left( -4;-4 \right)$
Bài 2: Cho hai điểm $A\left( 0;4 \right)$ và $B\left( 4;0 \right)$ . Hỏi phép quay nào dưới đây biến điểm A thành điểm B?
A.${{Q}_{\left( O;\frac{\pi }{2} \right)}}$
B.${{Q}_{\left( O;\frac{3\pi }{2} \right)}}$
C.${{Q}_{\left( O;\pi \right)}}$
D.${{Q}_{\left( O;-\pi \right)}}$
Bài 3: Cho hình vuông tâm ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Xác định ảnh của đường thẳng BC quay phép quay tâm O góc quay ${{90}^{o}}$
A.Đường thẳng CD
B.Đường thẳng DA
C.Đường thẳng AB
D.Đường thẳng CA
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình $x+y-2=0$ . Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc quay ${{90}^{o}}$ ?
A.$-x-y-2=0$
B.$x-y-2=0$
C.$x+y+2=0$
D.$x-y+2=0$
Bài 5: Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O, góc $\alpha \left( 0\le \alpha \le 2\pi \right)$ biến hình chữ nhật trên thành chính nó?
A.0
B.1
C.2
D.Vô số
Bài 6: Cho hình vuông ABCD tâm O. Xét phép quay tâm O góc quay $\varphi $ . Với giá trị nào sau đây của $\varphi $, phép quay $Q$ biến hình vuông ABCD thành chính nó?
A.$\varphi =\frac{\pi }{6}$
B.$\varphi =\frac{\pi }{4}$
C.$\varphi =\frac{\pi }{3}$
D.$\varphi =\frac{\pi }{2}$
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\left( d \right):x+y-2=0$ . Tìm ảnh của d qua phép quay tâm O, góc quay ${{90}^{o}}$
A.$x+y+2=0$
B.$x-y+2=0$
C.$x+y-2=0$
D.$x-y-2=0$
Bài 8: Cho hai đường thẳng bất kì d và d’. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?
A.0
B.1
C.2
D.Vô số
Bài 9: Trong các chữ cái và chữ số sau, dãy các chữ cái, chữ số nào mà khi ta thực hiện phép quay tâm A một góc ${{180}^{o}}$ thì ta được một phép đồng nhất?
A.$O,I,0,8,S$
B.$X,L,6,1,U$
C.$O,Z,V,9,5$
D.$H,J,K,4,8$
Bài 10: Cho tam giác ABC, ${{Q}_{\left( O{{,30}^{o}} \right)}}\left( A \right)=A'$ , ${{Q}_{\left( O{{,30}^{o}} \right)}}\left( B \right)=B'$ , ${{Q}_{\left( O{{,30}^{o}} \right)}}\left( C \right)=C'$ . Với O khác A, B, C. Kết luận nào sau đây là đúng?
A.$\vartriangle ABC$ đều
B.$\vartriangle ABC$ cân
C.$\vartriangle AOA'$ đều
D.$\vartriangle AOA'$ cân
ĐÁP ÁN
.png)
