[TOÁN 12] Tính Lồi Lõm Và Điểm Uốn Của Đồ Thị Hàm Số

TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A/ LÝ THUYẾT

1/ Khái niệm

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ như hình vẽ, giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm

$f''(x)$ < 0 với mọi x thuộc (a;c): hàm số lồi trên (a;c)

$f''(x)$ > 0 với mọi x thuộc (c;b): hàm số lồi lõm trên (c;b)

$f''(x)$ đổi dấu khi x qua c: hàm số có điểm uốn tại x = c

+ Cung lồi: AC là một cung lồi khi tại mọi điểm thuộc AC, tiếp tuyến đều nằm trên cung AC. Khoảng [a;c] là khoảng lồi.

+ Cung lõm: CB là một cung lồi khi tại mọi điểm thuộc CB, tiếp tuyến đều nằm dưới cung CB. Khoảng [c;b] là khoảng lõm.

+ Điểm uốn: điểm chuyển tiếp giữa cung lồi sang cung lõm hoặc ngược lại

2/ Dấu hiệu và cách tìm khoảng lồi, khoảng lõm và điểm uốn

Định lý: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b)

+ Nếu $f''(x)<0$ với mọi $x\in \left( a;b \right)$ thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó

+ Nếu $f''(x)>0$ với mọi $x\in \left( a;b \right)$ thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó

+ Nếu $f''(x)$ đổi dấu khi đi qua ${{x}_{0}}$ thì điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ là điểm uốn của đồ thị hàm số

B/ VÍ DỤ

VD 1: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ thị hàm số $y={{x}^{5}}$ lần lượt là

A.$(-\infty ;0);\left( 0;+\infty \right);(0;0)$

B.$(-\infty ;0);\left( 0;+\infty \right);(1;1)$

C.$(0;+\infty );\left( -\infty ;0 \right);(0;0)$

D.$(0;+\infty );\left( -\infty ;0 \right);(1;1)$

HD:

D= R

$y'=5{{x}^{4}};y''=20{{x}^{3}}$ , ta có bảng xét dấu y’’

Vậy đồ thị hầm số lồi trên $\left( -\infty ;0 \right)$ , lõm trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ và điểm (0;0) là điểm uốn

Đáp án A

VD 2: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ thị hàm số $y=-\sin x$trên đoạn $\left[ 0;2\pi \right]$ lần lượt là

A.$\left( \frac{\pi }{2};2\pi \right);\left( 0;\frac{\pi }{2} \right);\left( \frac{\pi }{2};0 \right)$

B.$\left( 0;\frac{\pi }{2} \right);\left( \frac{\pi }{2};2\pi \right);\left( \frac{\pi }{2};0 \right)$

C.$\left( 0;\frac{\pi }{4} \right);\left( \frac{\pi }{4};\pi \right);\left( \frac{\pi }{2};0 \right)$

D.$\left( \frac{\pi }{4};\pi \right);\left( 0;\frac{\pi }{4} \right);\left( \frac{\pi }{2};0 \right)$

HD:

D=$\left[ 0;2\pi \right]$

$y'=-\cos x;y''=\sin x$ , ta có bảng xét dấu y’ trên $\left[ 0;2\pi \right]$:

Vậy hàm số $y=-\sin x$ lõm trên $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$ , lồi trên $\left( \frac{\pi }{2};2\pi \right)$ và điểm $\left( \frac{\pi }{2};0 \right)$ là điểm uốn của đồ thị

Đáp án B

VD 3: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ lần lượt là

A.$\left( -\infty ;0 \right);(0;+\infty );(0;-1)$

B.$\left( -\infty ;0 \right);(0;+\infty );\varnothing $

C.$\left( -\infty ;1 \right);(1;+\infty );\varnothing $

D.$\left( -\infty ;1 \right);(1;+\infty );(0;-1)$

HD:

$D=(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$

$y'=-\frac{2}{{{(x-1)}^{2}}};y''=\frac{4}{{{(x-1)}^{3}}}$ . Ta có bảng xét dấu dấu của y’’:

Đồ thị hàm số lồi trên $\left( -\infty ;1 \right)$ và lõm trên $\left( 1;+\infty \right)$ và không có điểm uốn

Đáp án C

VD 4: Đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+2}{{{x}^{2}}+x+1}$ có 3 điểm uốn. Tọa độ 3 điểm uốn này là

A.$\left( \frac{1}{2};\frac{1}{3} \right),\left( 1;-2 \right),\left( 2;0 \right)$

B.$\left( -\frac{1}{2};\frac{1}{3} \right),\left( -1;-2 \right),\left( -2;1 \right)$

C.$\left( -\frac{1}{2};-\frac{1}{3} \right),\left( 1;2 \right),\left( -2;0 \right)$

D.$\left( \frac{1}{2};-\frac{1}{3} \right),\left( -1;-2 \right),\left( 2;1 \right)$

HD:

$y'=\frac{-2{{x}^{2}}-2x+1}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{2}}}$

$y''=\frac{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{2}}(-4x-2)+(2{{x}^{2}}+2x-1)2({{x}^{2}}+x+1)(2x+1)}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{4}}}$ $=\frac{(2x+1)({{x}^{2}}+x+1)(-2{{x}^{2}}-2x-2+4{{x}^{2}}+4x-2)}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{4}}}$ $=\frac{(2x+1)(2{{x}^{2}}+2x-4)}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{3}}}$

$y''=0\Leftrightarrow (2x+1)(2{{x}^{2}}+2x-4)=0$

Đáp án C

C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho hàm số $y=2{{x}^{2}}+16\operatorname{cosx}-\cos 2x$ . Hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số này là

A.$x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

B.$x=\frac{\pi }{2}+k2\pi $

C.$x=\frac{\pi }{2}+k\pi $

D.$x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi $

Câu 2: Giá trị của m để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+(m+2)x-m+2$ có điểm uốn nằm trên trục hoành là

A.$1;\frac{-1-\sqrt{17}}{4};\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$

B.$-1;\frac{1+\sqrt{17}}{4};\frac{1-\sqrt{17}}{4}$

C.$1;-\frac{3}{4};\frac{5}{4}$

D.$-1;\frac{3}{4};-\frac{5}{4}$

Câu 3: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+x+1$ . Để điểm I(1;-2) là điểm uốn của đò thị hàm số, các giá trị của a, b lần lượt là

A.-2;6

B.2;-6

C.-2;-6

D.2;6

Câu 4: Đồ thị của hàm số $y=\frac{{{(x+1)}^{3}}}{{{x}^{2}}-x+1}$ có 3 điểm uốn. Tọa độ của các điểm uốn này là

A.$\left( -1;0 \right),\left( 2;9 \right),\left( \frac{1}{2};\frac{9}{2} \right)$

B.$\left( 1;2 \right),\left( 2;-9 \right),\left( \frac{1}{2};-\frac{9}{2} \right)$

C.$\left( 0;1 \right),\left( -2;-9 \right),\left( -\frac{1}{2};-\frac{9}{2} \right)$

D.$\left( -2;1 \right),\left( 1;-2 \right),\left( -\frac{1}{2};\frac{9}{2} \right)$

Câu 5: Đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+1}$ đều nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này có phương trình là

A.x + 4y – 3 = 0

B.x – 4y – 3 = 0

C.x + 4y + 3 = 0

D.x – 4y + 3 = 0

Câu 6: Đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1}$ đều nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này có phương trình là

A.2x – 3y + 1 = 0

B.2x – 3y – 1 = 0

C.2x + 3y + 1 =0

D.2x + 3y – 1 =0

Câu 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+(m+2)x+2m+3$ . Để điểm uốn của đồ thị hàm số nằm trên parabol $y=2{{x}^{2}}$ , giá trị thích hợp của m là

A.$m=1;m=-\frac{3}{2}$

B.$m=-1;m=\frac{3}{2}$

C.$m=1;m=-3$

D.$m=3;m=-1$

Câu 8: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}$ . Để đồ thị của hàm số nhận điểm I(-1;-2) là điểm uốn thì giác trị của a, b lần lượt là

A.1;3

B.-1;-3

C.-3;1

D.3;-1

Câu 9: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+x+1$ . Để điểm I(1;-2) là điểm uốn của đò thị hàm số, các giá trị của a, b lần lượt là

A.-2;6

B.2;-6