[TOÁN 12] Số Phức

SỐ PHỨC

A. LÝ THUYẾT

1.Khái niệm số phức

a) Dạng đại số: z = a + bi

Trong đó: $a,b\in R$ , a là phần thực, b là phần ảo

i là đơn vị ảo, ${{i}^{2}}=-1$

- z là số thực ó b = 0, z là số thuần ảo khi a = 0

- Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo

- Hai số phức bằng nhau:

b) Dạng lượng giác: $z=r(\sin \alpha +i\cos \alpha )$(r>0) là dạng lượng giác của z=a+bi

-$\varphi $ là một acgumen của z, $\varphi =(Ox,OM)$

-$\left| z \right|=1\Leftrightarrow z=\cos \varphi +i\sin \varphi $ $(\varphi \in R)$

2. Biểu diễn hình học

Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hay bởi $\overrightarrow{u}(a;b)$ trong mặt phẳng phức

3. Cộng trừ nhân chia hai số phức

$(a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i$
$(a+bi)-(a'+b'i)=(a-a')+(b-b')i$
$\overrightarrow{u}$ biểu diễn $z$ ,$\overrightarrow{u'}$ biểu diễn$z'$ thì $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'}$ biểu diễn $z+z'$ và $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u'}$ biểu diễn $z-z'$
$(a+bi)(a'+b'i)=(aa'-bb')+(ab'+ba')i$
$k(a+bi)=ka+kbi$ $(k\in R)$
${{z}^{-1}}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\overline{z}$ $(z\ne 0)$
$\frac{z'}{z}=z'{{z}^{-1}}=\frac{z'\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{z'\overline{z}}{z\overline{z}}$
$\frac{z'}{z}=w\Leftrightarrow z'=wz$

4. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của $z=a+bi$ là $\overline{z}=a-bi$
$\overline{\overline{z}}=z;\overline{z\pm z'}=\overline{z}\pm \overline{z'};\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'};\overline{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}}$
$z$ là số thực khi $z=\overline{z}$
Z là số ảo khi $z=-\overline{z}$

5. Modun của số phức

$z=a+bi$

$\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{z\overline{z}}=\left| \overrightarrow{OM} \right|$
$\left| z \right|=0$ ó $z=0$
$\left| z.z' \right|=\left| z \right|.\left| z' \right|$
$\left| \frac{z}{z'} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| z' \right|}$
$\left| \left| z \right|-\left| z' \right| \right|\le \left| z+z' \right|\le \left| z \right|+\left| z' \right|$

6. Căn bậc hai của số phức

$z=x+yi$ là căn bậc hai của số phức \[\text{w=a+bi}\]
\[\text{w}=0\] có đúng 1 căn bậc hai là $z=0$
\[\text{w}\ne 0\] có đúng hai căn bậc hai đối nhau
Hai căn bậc hai của $a>0$ là $\pm \sqrt{a}$
Hai căn bậc hai của $a<0$ là $\pm \sqrt{a}.i$

7. Phương trình bậc hai của số phức

$A{{z}^{2}}+Bz+C=0$ (A, B, C là các số phức cho trước,$A\ne 0$ )

$\vartriangle ={{B}^{2}}-4AC$

$\vartriangle \ne 0$: có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1,2}}=\frac{-B\pm \delta }{2A}$ , ($\delta $ là 1 căn bậc hai của $\vartriangle $ )
$\vartriangle =0$ : có 1 nghiệm kép ${{z}_{1}}={{z}_{2}}=-\frac{B}{2A}$
${{z}_{0}}$ là một nghiệm của phương trình thì $\overline{{{z}_{0}}}$ cũng là nghiệm

8. Nhân, chia số phức lượng giác

$z.z'=rr'.\left[ \cos (\varphi +\varphi ')+i\sin (\varphi -\varphi ') \right]$
$\frac{z}{z'}=\frac{r}{r'}\left[ \cos (\varphi -\varphi ')+isin(\varphi -\varphi ') \right]$

9. Công thức Moa-vrơ

${{\left[ r(\cos \varphi +i\sin \varphi ) \right]}^{n}}={{r}^{2}}\left( \operatorname{cosn}\varphi +i\operatorname{sinn}\varphi \right)$ $(n\in {{N}^{*}})$
${{(cos\varphi +isin\varphi )}^{n}}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi $

10. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Số phức $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ $(r>0)$ có căn bậc hai là:

$\sqrt{r}\left( \cos \frac{\varphi }{2}+i\sin \frac{\varphi }{2} \right)$ và $-\sqrt{r}\left( \cos \frac{\varphi }{2}+i\sin \frac{\varphi }{2} \right)=\sqrt{r}\left[ \cos \left( \frac{\varphi }{2}+\pi \right)+i\sin \left( \frac{\varphi }{2}+\pi \right) \right]$

B/ VÍ DỤ

VD 1: Cho số phức $z=4+11i$ .Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

Phần thực bằng 4 phần ảo bằng 11i
Phần thực bằng 4 phần ảo bằng -11
Phần thực bằng 4 phần ảo bằng 11
Phần thực bằng -4 phần ảo bằng 11

Đáp án C

VD 2: Tìm số phức liên hợp của số phức $z=i(4+11i)$

$-11+4i$
$-11-4i$
$11+4i$
$11-4i$

HD: $z=-11+4i$

Đáp án B

VD 3: Tìm số thực x, y thõa mãn $3+(4-y)i=(x-6)+11i$

$x=9;y=-7$
$x=-9;y=-7$
$x=-7;y=9$
$x=7;y=9$

HD: Ta có hệ phương trình

Đáp án A

VD 4: Cho số phức $z=i+1$ . Tính môđun của số phức \[\text{w}=\frac{\overline{z}+i}{z-1}\]

$\left| \text{w} \right|=-1$
$\left| \text{w} \right|=1$
$\left| \text{w} \right|=\sqrt{2}$
$\left| \text{w} \right|=2$

HD: \[\text{w}=\frac{1-i+i}{1-i-1}=-i\] $\Rightarrow $ $\left| \text{w} \right|=1$

Đáp án B

VD 5: Cho số phức $z={{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{2017}}$ . Tính${{z}^{5}}+{{z}^{6}}+{{z}^{7}}+{{z}^{8}}$

HD: Ta có $z={{i}^{2017}}=i$

$\Rightarrow {{i}^{5}}+{{i}^{6}}+{{i}^{7}}+{{i}^{8}}$ =0

Đáp án C

C/ BÀI TẬP

Câu 1: Số phức $1+(1+i)+{{(1+i)}^{2}}+...+{{(1+i)}^{20}}$ bằng

$-{{2}^{10}}$
$-{{2}^{10}}+({{2}^{10}}+1)i$
${{2}^{10}}+({{2}^{10}}+1)i$
${{2}^{10}}+{{2}^{10}}i$

Câu 2: Số phức $z=1+(a+2)i$ là số thuần thực khi

$a>-2$
$a=-1$
$a=-2$
$a<-1$

Câu 3: Số phức $z=1+ai$ có môđun bằng $\sqrt{10}$ khi

$a=3$
$a=\pm 3$
$a=-3$
$a=\sqrt{10}$

Câu 4: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+z+1=0$ . Tính giá trị biểu thức $P=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$

-2
-1
0
2

Câu 5: Cho số phức z thõa mãn $\left| z-1-2i \right|=3$.Tìm tâm và bán kính của đường tròn biểu diễn các số phức z

$I(-1;-2);R=3$
$I(1;2);R=3$
$I(1;-2);R=3$
$I(-1;2);R=3$

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$ , biết rằng số phức z thõa mãn điều kiện $\left| z-1+i \right|=1$

A.$\sqrt{2}+1$

B.$1-\sqrt{2}$

C.$\sqrt{2}-1$

D.$3-2\sqrt{2}$

A.$z=-\frac{3}{5}-\frac{3}{10}i$

B.$z=-\frac{3}{5}+\frac{3}{10}i$

C.$z=\frac{3}{5}+\frac{3}{10}i$

D.$z=\frac{3}{5}-\frac{3}{10}i$

Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$ , biết rằng số phức z thõa mãn điều kiện $\left| \frac{-2-3i}{3-2i}z+1 \right|=1$

A.1

B.2

C.$\sqrt{2}$

D.3

Câu 9: Cho số phức z thõa mãn điều kiện $v=\left( z-i \right)\left( 2+i \right)$ là một số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z-2+3i \right|$

A.$\frac{8\sqrt{5}}{5}$

B.$\frac{\sqrt{85}}{5}$

C.$\frac{64}{5}$

D.$\frac{17}{5}$

A.26

B.$\sqrt{26}$

C.$5\sqrt{2}$

D.50

ĐÁP ÁN