PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

A.LÝ THUYẾT

I/Một số công thức cần nắm

1.Mũ

 STT Công thức 1 ${{a}^{n}}=\underbrace{a.a...a}_{n\text{ thua so}}$ 2 ${{a}^{1}}=a$  $\forall a$ 3 ${{a}^{0}}=1$   $\forall a\ne 0$ 4 ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$ 5 ${{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$ 6 ${{a}^{-\frac{m}{n}}}=\frac{1}{{{a}^{\frac{m}{n}}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{{{a}^{m}}}}$ 7 ${{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$ 8 $\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}$ 9 ${{({{a}^{m}})}^{n}}={{({{a}^{n}})}^{m}}={{a}^{m.n}}$ 10 ${{(a.b)}^{n}}={{a}^{n}}.{{b}^{n}}$ 11 ${{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}=\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}$ 12

2.Logarit

 1 ${{\log }_{a}}1=0$ 2 ${{\log }_{a}}a=1$ 3 ${{\log }_{a}}{{a}^{M}}=M$ 4 ${{a}^{{{\log }_{a}}N}}=N$ 5 ${{\log }_{a}}({{N}_{1}}.{{N}_{2}})={{\log }_{a}}{{N}_{1}}+{{\log }_{a}}{{N}_{2}}$ 6 ${{\log }_{a}}(\frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}})={{\log }_{a}}{{N}_{1}}-{{\log }_{a}}{{N}_{2}}$ 7 ${{\log }_{a}}{{N}^{\alpha }}=\alpha .{{\log }_{a}}N$ 8 ${{\log }_{a}}{{N}^{2}}=2.{{\log }_{a}}\left| N \right|$ 9 ${{\log }_{a}}N={{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}N$ 10 ${{\log }_{b}}N=\frac{{{\log }_{a}}N}{{{\log }_{a}}b}$ 11 ${{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}$ 12 ${{\log }_{{{a}^{k}}}}N=\frac{1}{k}{{\log }_{a}}N$ 13 ${{a}^{{{\log }_{b}}c}}={{c}^{{{\log }_{b}}a}}$

II/ Các định lý quan trọng

 STT CÔNG THỨC ĐIỀU KIỆN 1 aM = aN    $\Leftrightarrow$ M = N 0 < a $\ne$1 2 aM <  aN   $\Leftrightarrow$  M > N aM >  aN   $\Leftrightarrow$  M< N 0 < a <1 3 aM <  aN   $\Leftrightarrow$ M < N aM >  aN   $\Leftrightarrow$ M > N a > 1 4 loga M = loga N  $\Leftrightarrow$ M = N 0 < a $\ne$1 và M > 0; N > 0 5 loga M < loga N  $\Leftrightarrow$ M >N loga M > loga N  $\Leftrightarrow$ M 0 < a <1 và M > 0; N > 0 6 loga M < loga N  $\Leftrightarrow$ M < N loga M > loga N  $\Leftrightarrow$ M > N a > 1 và M > 0; N > 0

B. VÍ DỤ

VD1: Nghiệm của phương trình

${{25}^{x}}-{{6.5}^{x}}+5=0$

A. x=0; x=1

B. x=-1; x=2

C. x=1;x=-2

D. x=0;x=-1

HD: Đặt $t={{5}^{x}}$ . Phương trình đã cho trở thành:

Đáp án A

VD2: Nghiệm của phương trình ${{\log }_{x}}2+2{{\log }_{2x}}4={{\log }_{\sqrt{2x}}}8$

A. x=0; x=2

B. x=1; x=2

C. x=0; x=1

D. x=-1; x=2

HD: Điều kiện: $x>0$

VD3: Nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{\log }_{2}}\frac{2x+3}{x+1} \right)\ge 0$

A.x>-2

B.x<-2

C.x>2

D.x<2

HD: Điều kiện

Ta có ${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{\log }_{2}}\frac{2x+3}{x+1} \right)\ge 0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{2x+3}{x+1}<1\Leftrightarrow \frac{2x+3}{x+1}<2$

$\Leftrightarrow 2x+3<2x+2\Leftrightarrow -1<0$ (luôn đúng)

Vậy $x>-2$

Đáp án A

VD4: Nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{\frac{\pi }{4}}}\left[ {{\log }_{2}}\left( x+\sqrt{2{{x}^{2}}-x} \right) \right]<0$

A.$x\in (-\infty ;4)\cup (1;+\infty )$

B.$x\in (-\infty ;-4)\cup (1;+\infty )$

C.$x\in (-\infty ;-4)\cup (-1;+\infty )$

D.$x\in (-\infty ;3)\cup (1;+\infty )$

HD:

Điều kiện:

$\Leftrightarrow x+\sqrt{2{{x}^{2}}-x}>1$ (Ra phương trình tương đương luôn thõa mãn)

${{\log }_{\frac{\pi }{4}}}\left[ {{\log }_{2}}\left( x+\sqrt{2{{x}^{2}}-x} \right) \right]<0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+\sqrt{2{{x}^{2}}-x} \right)>1\Leftrightarrow \left( x+\sqrt{2{{x}^{2}}-x} \right)>2$

$\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}-x}>2-x$ $\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-4)\cup (1;+\infty )$

Đáp án B

VD5: Nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( \frac{3x-5}{x+1} \right)\le 1$

A.$x>\frac{5}{3}$

B.

C.

D.$x=1$

HD: Điều kiện:

${{\log }_{3}}\left( \frac{3x-5}{x+1} \right)\le 1\Leftrightarrow \frac{3x-5}{x+1}\le 3\Leftrightarrow 3x-5\le 3x+3\Leftrightarrow -5\le 3$ (Luôn đúng)

Vậy

C.BÀI TẬP

Câu 1: Nghiệm của phương trình ${{3}^{2x+1}}-{{9.3}^{x}}+6=0$

A.$x=0;x=1$

B.$x=0;x={{\log }_{3}}2$

C.$x=0;x={{\log }_{2}}3$

D.$x=0$

Câu 2: Nghiệm của phương trình ${{\log }_{x}}2+2{{\log }_{2x}}4={{\log }_{\sqrt{2x}}}8$

A.2

B.0

C.1

D.3

Câu 3: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}(x+2)+{{\log }_{4}}{{(x-5)}^{2}}+{{\log }_{\frac{1}{2}}}8=0$

A.3

B.1

C.2

D.0

Câu 4: Nghiệm của bất phương trình $({{\log }_{x}}8+{{\log }_{4}}{{x}^{2}}){{\log }_{2}}\sqrt{2x}\ge 0$

A.$x\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\cup \left( 1;+\infty \right)$

B.$x\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$

C.$x\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)$

D.$x\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\cup \left[ 1;+\infty \right)$

Câu 5: Nghiệm của bất phương trình $2{{\log }_{3}}(4x-3)+{{\log }_{\frac{1}{3}}}(2x+3)\le 2$

A.$\frac{3}{4}\le x\le 3$

B.

C.

D.$x=3$

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình: ${{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{x}^{2}}-6x+8 \right)+2{{\log }_{5}}\left( x-4 \right)>0$ là:

A.$x>4$

B.$x<2$

C.$\varnothing$

D.$0 Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình:${{\log }_{3}}x<{{\log }_{\sqrt{3}}}\left( 12-x \right)$là: A.$\left( 0;12 \right)$B.$\left( 0;9 \right)$C.$x<2$D.$0

Câu 8: Nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( x+1 \right)-2{{\log }_{4}}\left( 5-x \right)<1-{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)$ là:

A.$2 B.$1

C.$2 D.$-4

Câu 9: Bất phương trình: ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}\frac{3x-1}{{{x}^{2}}+1}>0$ có tập nghiệm là

A.x

B.$x\ge 1$

C.$x\ge -1$

D.$x>-1$

Câu 10: Bất phương trình: ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}\frac{3x-1}{{{x}^{2}}+1}>0$ có tập nghiệm là

A.x

B.$x\ge 1$

C.$x\ge -1$

D.$x>-1$

ĐÁP ÁN