HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A.LÝ THUYẾT
I/Tích có hướng của 2 vecto
1.Định nghĩa
Trong hệ trục Oxyz, cho hai vecto $\overrightarrow{u}(a;b;c)$ và $\overrightarrow{v}(a';b';c')$ khi đó tích có hướng của $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được xác định như sau
.png)
2.Tính chất
a. $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
b. $\overrightarrow{u}$ và$\overrightarrow{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=0$
c. $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{\text{w}}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{\text{w}}=0$
II/ Các phương trình
1.Phương trình mặt phẳng:
Mặt phẳng (P) đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ với vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ có phương trình:
$A(x-{{x}_{0}})+B(y-{{y}_{0}})+C(z-{{z}_{0}})=0$
2.Phương trình đường thẳng:
Cho đường thẳng d đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(a;b;c)$ . Khi đó:
+Phương trình tham số của d là: .png)
+Phương trình chính tắc của d là: $\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}$ $(abc\ne 0)$
3/Phương trình mặt cầu
Mặt cầu tâm $I({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ bán kính R có phương trình
${{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{(y-{{y}_{0}})}^{2}}+(z-{{z}_{0}})={{R}^{2}}$
Hoặc
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$ có tâm $(a;b;c)$ bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}$
III/Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
+ $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right]=\overrightarrow{0}$ : d và d’ song song hoặc trùng nhau
- ${{M}_{0}}\in d'$ : d và d’ trùng nhau
- ${{M}_{0}}\notin d'$ : d và d’ song song
+ $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right]\ne 0$ : d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau
- $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right].\overrightarrow{M{{M}_{0}}}=0$ : d và d’ cắt nhau
- $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right].\overrightarrow{M{{M}_{0}}}\ne 0$ : d và d’ chéo nhau
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho $\left( \alpha \right)$ có phương trình \[Ax+By+Cz+D=0\] và $(\alpha ')$ có phương trình \[A'x+B'y+C'z+D'=0\]
+ $\left( \alpha \right)$ và $\left( \alpha ' \right)$ cắt nhau khi và chỉ khi $A:B:C\ne A':B':C'$
+ $\left( \alpha \right)$ và $\left( \alpha ' \right)$ song song khi và chỉ khi $\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\ne \frac{D}{D'}$
+ $\left( \alpha \right)$ và $\left( \alpha ' \right)$ trùng nhau khi và chỉ khi $\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}$
IV/Khoảng cách
+ Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ đến $mp\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+D=0$ :
$d\left( {{M}_{0}},\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$
+ Khoảng cách từ điểm ${{M}_{1}}$ đến đường thẳng .png)
:
$d\left( {{M}_{1}},\vartriangle \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
$d\left( \vartriangle ,\vartriangle ' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right].\overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{0}}'} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right] \right|}$
V/ Các công thức liên quan
+ Diện tích hình bình hành: ${{S}_{ABCD}}=\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right] \right|$
+ Diện tích tam giác: ${{S}_{ABC}}=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|}{2}$
+ Thể tích hình hộp: ${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right].\overrightarrow{AA'} \right|$
+ Thể tích tứ diện: ${{S}_{ABCD}}=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|}{6}$
B.VÍ DỤ
VD 1: Trong không gian cho điểm $A(2;2;1)$ . Tính độ dài đoạn OA
A.3
B.9
C.7
D.5
HD: $OA=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=3$ => A
VD 2: Trong không gian cho hai vecto $\overrightarrow{a}(2;1;0)$ và $\overrightarrow{b}(-1;0;-2)$ . Tính $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$
A.$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{2}{25}$
B.$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-\frac{2}{5}$
C.$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-\frac{2}{25}$
D.$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{2}{5}$
HD:
\[\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{2.(-1)+1.0+0.(-2)}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}.\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=-\frac{2}{5}\]
=> B
VD 3: Trong không gian cho ba điểm $M(2;3;-1);N(-1;1;1);P(1;m-1;2)$ . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N
A.-6
B.0
C.-4
D.2
HD: Ta có: $\overrightarrow{MN}(-3;-2;2);\overrightarrow{NP}(2;m-2;1)$
Tam giác MNP vuông tại N ↔ $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi$-3.2+(-2).(m-2)+2.1=0\leftrightarrow -2(m-2)=4\leftrightarrow m-2=-2\leftrightarrow m=0$ => B
VD 5: Trong không gian cho điểm $A(1;2;3)$ , trên trục Oz lấy điểm M sao cho $AM=\sqrt{5}$ . Tìm tọa độ điểm M
A.(0;0;3)
B.(0;0;2)
C.(0;0;-3)
D.(0;3;0)
HD: Gọi điểm M(0;0;z) $\in$ Oz → $AM=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}}$ ; $AM=\sqrt{5}$ $\leftrightarrow \sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}}=\sqrt{5}$ ↔ z – 3 =0 ↔ z = 3 => A
VD 6: Trong không gian cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh $A(5;3;-1);B(2;3;-4);C(1;2;0);D(3;1;-2)$ . Thể tích khối tứ diện đã cho là
A.3
B.$\frac{9}{2}$
C.4
D.$\frac{7}{2}$
HD: $\overrightarrow{AB}(-3;0;-3)$ ; $\overrightarrow{AC}(-4;-1;1)$ ; $\overrightarrow{AD}(-2;-2;-1)$
$V=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|}{6}=\frac{9}{2}$ => B
C.BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian cho hai điểm $A(4;0;1);B(-2;2;3)$ . Phương trình trung trực của đoạn thẳng AB là:
A.$3x-y-z=0$
B.$3x+y+z-6=0$
C.$3x-y-z+1=0$
D.$6x-2y-2z-1=0$
Câu 2: Trong không gian cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y+z-6=0$ . Điểm nào sau đây không thuộc $\left( \alpha \right)$
A.N(2;2;2)
B.Q(3;3;0)
C.P(1;2;3)
D.M(1;-1;1)
Câu 3: Trong không gian cho điểm $M(3;-1;-2)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x-y+2z+4=0$ . Phương trình mặt phẳng qua M và song song với $\left( \alpha \right)$ là
A.$3x+y-2z-14=0$
B.$3x-y+2z+6=0$
C.$3x-y+2z-6=0$
D.$3x-y-2z+6=0$
Câu 4: Trong không gian cho điểm $M(1;2;3)$ . Gọi ${{M}_{1}};{{M}_{2}}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy. Vecto nào sau đây là vecto chỉ phương của đường thẳng ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ ?
A.(1;2;0)
B.(1;0;0)
C.(-1;2;0)
D.(0;2;0)
Câu 5: Trong không gian cho mặt phẳng $(P):2x+y+z+5=0$ và đường thẳng $(d):\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{3}$ . Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)?
A.(17;9;20)
B.(17;-9;-20)
C.(-17;0;20)
D.(1;3;2)
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A\left( 3;1;1 \right),B\left( 7;3;9 \right),C\left( 2;2;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $x+y+z-3=0$ . Tìm trên $\left( P \right)$ điểm M sao cho $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất
A.$M\left( \frac{13}{9};-\frac{2}{9};\frac{16}{9} \right)$
B.$M\left( \frac{13}{9};\frac{2}{9};\frac{16}{9} \right)$
C.$M\left( \frac{13}{7};-\frac{2}{7};-\frac{16}{7} \right)$
D.$M\left( -\frac{13}{7};-\frac{2}{7};\frac{16}{7} \right)$
Câu 7: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm $A\left( 1;1;1 \right),B\left( 1;2;1 \right),C\left( 1;1;2 \right),D\left( 2;2;1 \right)$ . Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ là:
A.$\left( \frac{3}{2};-\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)$
B.$\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)$
C.$\left( 3;3;3 \right)$
D.$\left( 2;2;2 \right)$
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A\left( 1;5;4 \right),B\left( 0;1;1 \right),C\left( 1;2;1 \right)$ . Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đường thẳng CD nhỏ nhất
A.$\left( \frac{5}{26};\frac{6}{26};\frac{1}{26} \right)$
B.$\left( 1;-2;4 \right)$
C.$\left( -\frac{5}{24};-\frac{46}{26};\frac{41}{26} \right)$
D.$\left( \frac{5}{26};\frac{46}{26};\frac{41}{26} \right)$
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A\left( 1;1;1 \right),B\left( -1;-1;0 \right),C\left( 3;1;-1 \right)$ . Tọa độ điểm N thuộc (Oxyz) cách điều A, B, C là
A.$\left( 0;\frac{7}{2};2 \right)$
B.$\left( 2;\frac{7}{4};0 \right)$
C.$\left( 2;-\frac{7}{4};0 \right)$
D.$\left( -2;-\frac{7}{4};0 \right)$
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm $A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 3;0;4 \right),C\left( 2;1;-1 \right)$ . Độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC là:
A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{\frac{33}{50}}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$\sqrt{\frac{50}{33}}$
ĐÁP ÁN
.png)
