GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A/ LÝ THUYẾT
I/ Định nghĩa giới hạn hữu hạn
+ Dãy số $({{u}_{n}})$ được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left| {{u}_{n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Kí kiệu: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0$
+ Dãy số $({{u}_{n}})$ được gọi là có giới hạn a khi n dần tới dương vô cực và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{u}_{n}}-a \right)=0$
Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a$
II/ Định nghĩa giới hạn vô cực
+ Dãy số $({{u}_{n}})$ được gọi là có giới hạn $+\infty $ khi n dần tới dương vô cực, nếu $({{u}_{n}})$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=+\infty $
+ Dãy số $({{u}_{n}})$ được gọi là có giới hạn $-\infty $ khi n dần tới dương vô cực, và $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(-{{u}_{n}})=+\infty $
Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=-\infty $
III/ Các giới hạn đặc biệt
1/ $\lim \frac{1}{n}=0$ ; $\lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0$ ; $\lim {{n}^{k}}=+\infty $ (với k là số nguyên dương)
2/ $\lim {{q}^{n}}=0$ nếu $\left| q \right|<1$ và $\lim {{q}^{n}}=+\infty $ nếu $\left| q \right|>1$
3/ $\lim c=c$ (c là một hằng số)
IV/ Định lý về giới hạn hữu hạn
1/ Nếu $\lim {{u}_{n}}=a$ và $\lim {{v}_{n}}=b$ thì:
+ $\lim ({{u}_{n}}+{{v}_{n}})=a+b$
+ $\lim ({{u}_{n}}-{{v}_{n}})=a-b$
+ $\lim {{u}_{n}}{{v}_{n}}=ab$
+ $\lim \frac{{{u}_{b}}}{{{v}_{n}}}=\frac{a}{b}$ $(b\ne 0)$
2/ Nếu ${{u}_{n}}\ge 0$ với mọi n và $\lim {{u}_{n}}=a$ thì $a\ge 0$ và $\lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}$
V/ Định lý liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
+ $\lim {{u}_{n}}=a$ và $\lim {{v}_{n}}=+\infty $ thì $\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=0$
+ $\lim {{u}_{n}}=+\infty $ và $\lim {{v}_{n}}=a>0$thì $\lim {{u}_{n}}{{v}_{n}}=+\infty $
+ $\lim {{u}_{n}}=a>0$ , $\lim {{v}_{n}}=0$ và ${{v}_{n}}>0$ với mọi n thì $\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=+\infty $
VI/ Cấp số nhân lùi vô hạn
+ Cấp số nhận lùi vô hạn là cấp số nhân thõa mãn $\left| q \right|<1$
+ Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
$S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n-1}}+{{u}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}$
B/ VÍ DỤ
VD 1: Cho dãy số ${{u}_{n}}=1+{{n}^{2}}-\sqrt{{{n}^{4}}+3n+1}$ . Tính $\lim {{u}_{n}}$ ?
A.0
B.1
C.$\frac{1}{2}$
D.2
Giải:
\[\lim (1+{{n}^{2}}-\sqrt{{{n}^{4}}+3n+1})=\lim \frac{{{(1+{{n}^{2}})}^{2}}-({{n}^{4}}+3n+1)}{\sqrt{{{n}^{4}}+3n+1}+({{n}^{2}}+1)}\]
$=\lim \frac{2{{n}^{2}}-3n}{\sqrt{{{n}^{4}}+3n+1}+{{n}^{2}}+1}$
=$\lim \frac{{{n}^{2}}\left( 2-\frac{3}{n} \right)}{{{n}^{2}}\left( \sqrt{1+\frac{3}{{{n}^{3}}}+\frac{1}{{{n}^{4}}}}+1+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}=\frac{2}{1+1}=1$
Đáp án B
VD 2: Cho dãy số ${{a}_{n}}=\sqrt[3]{{{n}^{3}}+1}-n$ . Tính $\lim {{a}_{n}}$ ?
A.0
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
Giải:
$\lim \left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+1}-n \right)=\lim \frac{{{n}^{3}}+1-{{n}^{3}}}{{{\left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+1} \right)}^{2}}+n\sqrt[3]{{{n}^{3}}+1}+{{n}^{2}}}=0$
Đáp án A
VD 3: Cho dãy số ${{a}_{n}}=\sqrt[3]{{{n}^{3}}-3{{n}^{2}}+1}-\sqrt{{{n}^{2}}+4n}$ . Tính $\lim {{a}_{n}}$ ?
A.2
B.-2
C.3
D.-3
Giải:
$\lim (\sqrt[3]{{{n}^{3}}-3{{n}^{2}}+1}-\sqrt{{{n}^{2}}+4n})$
$=\lim (\sqrt[3]{{{n}^{3}}-3{{n}^{2}}+1}-n)-\lim (\sqrt{{{n}^{2}}+4n}-n)$
$=\lim \frac{-3{{n}^{2}}}{3{{n}^{2}}}-\lim \frac{4n}{2n}=-1-2=-3$
Đáp án D
VD 4: Tìm $\lim {{a}_{n}}$ biết ${{a}_{n}}=\frac{{{4.3}^{n}}+{{7}^{n+1}}}{{{2.5}^{n}}+{{7}^{n}}}$
A.$\frac{11}{3}$
B.7
C.$\frac{5}{3}$
D.2
Giải:
Áp dụng: $\lim {{q}^{n}}=0$ khi $\left| q \right|<1$
\[\lim \left( \frac{{{4.3}^{n}}+{{7}^{n+1}}}{{{2.5}^{n}}+{{7}^{n}}} \right)=\lim \frac{4.{{\left( \frac{3}{7} \right)}^{n}}+7}{2.{{\left( \frac{5}{7} \right)}^{n}}+1}=7\]
Đáp án B
VD 5: Tính $\lim \frac{1+a+{{a}^{2}}+...+{{a}^{n}}}{1+b+{{b}^{2}}+...+{{b}^{n}}}$ biết rằng $\left| a \right|<1;\left| b \right|<1$
A.$\frac{b}{a}$
B.$\frac{1+b}{1+a}$
C.$\frac{1-b}{1-a}$
D.$\frac{1-a}{1-b}$
Giải:
$\lim \frac{1+a+{{a}^{2}}+...+{{a}^{n}}}{1+b+{{b}^{2}}+...+{{b}^{n}}}=\lim \frac{\frac{1(1-{{a}^{n}})}{1-a}}{\frac{1(1-{{b}^{n}})}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}$
Đáp án C
C/ BÀI TẬP
Bài 1: Tính $\lim \left( \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)} \right)$
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.1
Bài 2: Tính $\lim \frac{{{2.1}^{2}}+{{3.2}^{2}}+...+(n+1){{n}^{2}}}{{{n}^{4}}}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.\[\frac{1}{6}\]
Bài 3: Tính $\lim \left( \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n+1}-\frac{2n+1}{2} \right)$
A.$\frac{3}{2}$
B.1
C.-1
D.$-\frac{3}{2}$
Bài 4: Tính $\lim \left( \frac{n.\sin n!}{{{n}^{2}}+1} \right)$
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.-1
D.0
Bài 5: Tính $\lim \left( \frac{{{n}^{2}}-2\sqrt{n+1}.\cos n}{{{n}^{2}}+2n} \right)$
A.1
B.2
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
Bài 6: Tính $\lim \frac{{{2}^{n}}{{.3}^{n}}-{{3}^{n}}{{.4}^{n}}+{{5}^{2n}}}{{{3}^{n}}{{.4}^{n}}-{{4}^{n}}{{.5}^{n}}+{{6}^{2n}}}$
A.0
B.1
C.2
D.$\frac{1}{2}$
Bài 7: Tính $\lim \left( {{n}^{4}}-2n.\sin 3n+1 \right)$
A.1
B.$-\infty $
C.$+\infty $
D.0
Bài 8: Tính $\lim \left( \sqrt{2{{n}^{2}}+2n-1}-\sqrt{2{{n}^{2}}-n-5} \right)$
A.$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{5}$
D.$\frac{3\sqrt{2}}{10}$
Bài 9: Tính $\lim \frac{\sqrt[4]{{{n}^{8}}-4{{n}^{4}}+2n}}{{{n}^{2}}+3n+1}$
A.1
B.2
C.4
D.$\frac{4}{3}$
Bài 10: Giới hạn nào sau đây có giá trị bằng 2?
A.$\lim (2n-\cos n)$
B.$\lim \frac{4{{n}^{2}}-2n\cos 3n+2}{\sqrt{4{{n}^{4}}+2{{n}^{2}}+8}}$
C.$\lim ({{n}^{2}}+n-4\sqrt[3]{n})$
D.$\lim \frac{3{{n}^{2}}+n}{n+2}$
ĐÁP ÁN
.png)
