[TOÁN 12] Thể Tích Khối Đa Diện

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I/LÝ THUYẾT

1.Các công thức tính thể tích

+ Thể tích khối hộp chữ nhật: $V=abc$

+ Thể tích khối chóp có diện tích đáy là B và chiều cao là h: $S=\frac{1}{3}Bh$

+ Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao là h: $S=Bh$

2. Các hệ thức lượng trong tam giác:

a) Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có các hệ thức sau:

a) $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$

b) \[AB.\text{ }AC\text{ }=\text{ }BC.AH=2{{S}_{ABC}}\]

c) \[A{{B}^{2}}=\text{ }BH.BC~~;A{{C}^{2}}=\text{ }CH.CB\]

d) \[A{{H}^{2}}=\text{ }HB.HC~\]

e) $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}$

f) $\sin \alpha =\frac{AB}{BC}$ $\cos \alpha =\frac{AC}{BC}$

g) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{AB}{AC}$ $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{AC}{AB}$

b) Hệ thức lượng trong tam giác thường:

a) Định lí côsin: ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.\cos A$; ${{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ca.\cos B$; ${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab.\cos C$

b) Định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

c) Độ dài trung tuyến: $m_{a}^{2}=\frac{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})-{{a}^{2}}}{4}$; $m_{b}^{2}=\frac{2({{a}^{2}}+{{c}^{2}})-{{b}^{2}}}{4}$; $m_{c}^{2}=\frac{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})-{{c}^{2}}}{4}$

II/ VÍ DỤ

VD 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$

B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$

C.${{a}^{3}}\sqrt{2}$

D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$

HD:

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác SAB vuông tại A

$SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$

${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.AB.AD=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$

Đáp án A

VD 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC

A.$\frac{{{a}^{3}}}{2}$

B.$\frac{{{a}^{3}}}{6}$

C.$\frac{{{a}^{3}}}{3}$

D.$\frac{{{a}^{2}}}{6}$

HD:

${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{6}.SA.BA.BC=\frac{{{a}^{3}}}{6}$

Đáp án B

VD 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60^o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$

B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$

C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$

D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$

HD:

Ta có $\left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD$ ; $BD\bot \left( SAC \right)$

$\Rightarrow \angle \left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle SOA={{60}^{o}}$

$\tan {{60}^{o}}=\frac{SA}{OA}=\sqrt{3}\Rightarrow SA=OA\sqrt{3}=\frac{1}{2}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$

Đáp án C

VD 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA= BC = a. Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 60^o. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$

B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$

C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$

D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$

HD:

$\tan A'BA=\frac{AA'}{AB}=\tan {{60}^{o}}=\sqrt{3}\Rightarrow AA'=AB\sqrt{3}$

${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{ABC}}=AB\sqrt{3}.\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$

Đáp án D

VD 5: Tính thể tích của khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA=\[\sqrt{3}\]; góc giữa các cạnh SA, SB, SC với mặt phẳng (ABC) bằng \[{{60}^{0}}\]

A.$\frac{3{{a}^{3}}}{4}$

B.$\frac{9{{a}^{3}}}{4}$

C.$\frac{{{a}^{3}}}{4}$

D.${{a}^{3}}$

HD:

Gọi M là trung điểm của BC, I là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó $AI=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=a$

\[\tan SAI=\frac{SI}{AI}=\sqrt{3}\Rightarrow SI=AI\sqrt{3}=a\sqrt{3}\]

${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SI.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.SI.\frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3{{a}^{3}}}{4}$

Đáp án A

III/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I la trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp ${{S}_{ABI}}$

A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{12}$

B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{24}$

C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{8}$

D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{4}$

Câu 2: Cho hình lăng trụ đứng$ABCA'B'C'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính thể tích khối tứ diện IABC

A.$\frac{4{{a}^{3}}}{9}$

B.$\frac{4{{a}^{3}}}{3}$

C.$\frac{2{{a}^{3}}}{9}$

D.$\frac{{{a}^{3}}}{3}$

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O; SA = SB = SC = SD. Biết AB = 3a, BC =4a và\[\widehat{SAO}=\text{ }{{45}^{o}}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A.$8{{a}^{3}}$

B.$5{{a}^{3}}$

C.${{a}^{3}}$

D.$10{{a}^{3}}$

Câu 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc ${{60}^{o}}$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$

B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$

C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$

D.${{a}^{3}}\sqrt{3}$

Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có B’B =a, góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng ${{60}^{o}}$; tam giác ABC vuông tại C và $\widehat{BAC}={{60}^{o}}$. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC

A.$\frac{3{{a}^{3}}}{208}$

B.$\frac{3{{a}^{3}}}{104}$

C.$\frac{9{{a}^{3}}}{208}$

D.$\frac{{{a}^{3}}}{208}$

Câu 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp đáy, SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45^o. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$

B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{2}$

C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{18}$

D.${{a}^{3}}\sqrt{5}$

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thanh vuông tại A và D; AB=AD=2a, CD=a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60^o. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mp (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mp (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

A.$\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{5}}{5}$

B.$\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}$

C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}$

D.$\frac{9{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}$

Câu 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc ${{60}^{o}}$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$

B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$

C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$

D.${{a}^{3}}\sqrt{3}$

ĐÁP ÁN