Tóm tắt nội dung lý thuyết, ví dụ và bài tập có đáp án
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/LÝ THUYẾT
1.Các công thức tính thể tích
+ Thể tích khối hộp chữ nhật: V=abc
+ Thể tích khối chóp có diện tích đáy là B và chiều cao là h: S=31Bh
+ Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao là h: S=Bh
2. Các hệ thức lượng trong tam giác:
a) Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có các hệ thức sau:
a) AB2+AC2=BC2
b) AB.AC=BC.AH=2SABC
c) AB2=BH.BC;AC2=CH.CB
d) AH2=HB.HC
e) AH21=AB21+AC21
f) sinα=BCABcosα=BCAC
g) tanα=cosαsinα=ACABcotα=sinαcosα=ABAC
b) Hệ thức lượng trong tam giác thường:
a) Định lí côsin: a2=b2+c2−2bc.cosA; b2=c2+a2−2ca.cosB; c2=a2+b2−2ab.cosC
b) Định lí sin: sinAa=sinBb=sinCc=2R
c) Độ dài trung tuyến: ma2=42(b2+c2)−a2; mb2=42(a2+c2)−b2; mc2=42(a2+b2)−c2
II/ VÍ DỤ
VD 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a3. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
A.3a32
B.2a32
C.a32
D.3a33
HD:
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác SAB vuông tại A
SA=SB2−AB2=3a2−a2=a2
VS.ABCD=31.SA.SABCD=31.SA.AB.AD=3a32
Đáp án A
VD 2:Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC
A.2a3
B.6a3
C.3a3
D.6a2
HD:
VS.ABC=31.SA.SABC=61.SA.BA.BC=6a3
Đáp án B
VD 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
A.6a33
B.2a36
C.6a36
D.18a33
HD:
Ta có (SBD)∩(ABCD)=BD ; BD⊥(SAC)
⇒∠((SBD);(ABCD))=∠SOA=60o
tan60o=OASA=3⇒SA=OA3=21.a2+a2.3=2a6
⇒VS.ABCD=31.SA.SABCD=31.2a6.a2=6a36
Đáp án C
VD 4:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA= BC = a. Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
A.2a32
B.6a33
C.4a33
D.2a33
HD:
tanA′BA=ABAA′=tan60o=3⇒AA′=AB3
VABC.A′B′C′=AA′.SABC=AB3.21.AB.BC=2a33
Đáp án D
VD 5:Tính thể tích của khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA=3; góc giữa các cạnh SA, SB, SC với mặt phẳng (ABC) bằng600
A.43a3
B.49a3
C.4a3
D.a3
HD:
Gọi M là trung điểm của BC, I là trọng tâm tam giác ABC
Câu 1:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I la trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp SABI
A.12a311
B.24a311
C.8a311
D.4a311
Câu 2:Cho hình lăng trụ đứngABCA′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính thể tích khối tứ diện IABC
A.94a3
B.34a3
C.92a3
D.3a3
Câu 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O; SA = SB = SC = SD. Biết AB = 3a, BC =4a vàSAO=45o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A.8a3
B.5a3
C.a3
D.10a3
Câu 4:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc 60o. Tính thể tích của khối lăng trụ.
A.8a33
B.4a33
C.2a33
D.a33
Câu 5:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có B’B =a, góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 60o; tam giác ABC vuông tại C và BAC=60o. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC
A.2083a3
B.1043a3
C.2089a3
D.208a3
Câu 6:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp đáy, SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
A.6a35
B.2a35
C.18a35
D.a35
Câu 7:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thanh vuông tại A và D; AB=AD=2a, CD=a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mp (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mp (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
A.53a35
B.53a315
C.5a315
D.59a315
Câu 8:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc 60o. Tính thể tích của khối lăng trụ.