PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A/ LÝ THUYẾT
I/ Định nghĩa
+ Cho một điểm I, phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I
Ví dụ:
Điểm $B\left( 8;8 \right)$ là ảnh của điểm $A\left( 4;4 \right)$ qua phép đối xứng tâm $C\left( 6;6 \right)$
+ Kí hiệu: $M'={{D}_{I}}\left( M \right)$
+ Nếu điểm M’ là ảnh của điểmm M qua phép đối xứng tâm I thì:
$\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IM'}=0$
II/ Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm $I\left( a;b \right)$ . Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm $M\left( x;y \right)$ thành điểm $M'\left( x';y' \right)$ thì:
.png)
Chứng minh:
Thật vậy,
$\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IM'}=0$
Nên $\left( x-a;y-b \right)+\left( x'-a;y'-b \right)=\left( 0;0 \right)$
$\Rightarrow \left( x+x'-2a;y+y'-2b \right)=\left( 0;0 \right)$
$\Rightarrow x';y'$
III/ Tâm đối xứng của một hình
Là điểm I sao cho phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó
Ví dụ: Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo
B/ VÍ DỤ
VD 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\left( d \right):x+y+1=0$ . Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình:
A.$-x-y+1=0$
B.$-x+y+1=0$
C.$x-y+1=0$
D.$-x-y-1=0$
Giải:
Mỗi điểm $M'(x';y')$ thuộc d’ là ảnh của $M\left( x;y \right)$ thuộc d qua phép đối xứng tâm O nên $x'=-x$ và $y'=-y$
$\Rightarrow (d'):-x-y+1=0$
Đáp án A
VD 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn tâm $I\left( 1;1 \right)$ bán kính R = 1. Tìm phương trình ảnh của đường tròn qua phép đói xứng qua gốc tọa độ?
A.${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$
B.${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$
C.${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$
D.${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$
Giải:
Gọi I’ tâm của đường tròn ảnh
$\Rightarrow I'\left( -1;-1 \right)$
Phép đối xứng tâm không làm thay đổi bán kính đường tròn, nên phương trình của đường tròn ảnh là:
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$
Đáp án B
VD 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\left( d \right):x+y+1=0$ để phép đối xứng tâm I biến $\left( d \right)$ thành chính nó thì I có thể là điểm nào sau đây?
A.$\left( 0;1 \right)$
B.$\left( 1;0 \right)$
C.$\left( -1;-1 \right)$
D.$\left( -1;0 \right)$
Giải:
Để phép đối xứng tâm I biến một đường thẳng thành chính nó thì tâm I phải thuộc đường thẳng đó
Nên từ 4 đáp án, ta thấy chỉ đáp án D thõa mãn $I\in \left( d \right)$
Đáp án D
VD 4: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm $A\left( 1;2 \right)$ và $B\left( -3;6 \right)$ . Tìm tọa độ tâm đối xứng biết phép đối xứng tâm I biến điểm A thành B.
A.$\left( -2;2 \right)$
B.$\left( -1;4 \right)$
C.$\left( -2;8 \right)$
D.$\left( -4;4 \right)$
Giải:
Theo biểu thức tọa độ, ta có $I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right)$ nên:
${{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\frac{1-3}{2}=-1$
${{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=\frac{2+6}{2}=4$
$\Rightarrow I\left( -1;4 \right)$
Đáp án B
VD 5: Cho đường thẳng $\left( d \right):x+y+2=0$ và điểm $I\left( 1;1 \right)$ . Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I
A.$x-y+2=0$
B.$-x+y-2=0$
C.$x-y-2=0$
D.$x+y+2=0$
Giải:
+ Chọn điểm $A\left( -2;0 \right)\in \left( d \right)$
Gọi $A'\left( {{x}_{A'}};{{y}_{A'}} \right)$ là ảnh của $A\left( -2;0 \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( 1;1 \right)$ , suy ra:
${{x}_{A'}}=2.1-\left( -2 \right)=4$
${{y}_{A'}}=2.1-0=2$
$\Rightarrow A'\left( 4;2 \right)$
+ Chọn điểm $A\left( 0;-2 \right)\in \left( d \right)$
Gọi $B'\left( {{x}_{B'}};{{y}_{B'}} \right)$ là ảnh của $A\left( 0;-2 \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( 1;1 \right)$ , suy ra:
${{x}_{B'}}=2.1-0=2$
${{y}_{B'}}=2.1-\left( -2 \right)=4$
$\Rightarrow B'\left( 2;4 \right)$
$\Rightarrow $ $\left( d' \right)$ đi qua $A'\left( 4;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{A'B'}\left( -2;2 \right)$ làm VTCP
$\Rightarrow \left( d' \right):-2\left( x-4 \right)+2\left( y-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow -2x+2y+4=0$
$\Leftrightarrow x-y-2=0$
Đáp án C
C/ BÀI TẬP
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\left( d \right):3x-2y-1=0$ . Anhir của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình:
A.$3x+2y-1=0$
B.$-3x+2y-1=0$
C.$3x-2y-1=0$
D.$3x+2y+1=0$
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\left( d \right):Ax+By+C=0$ và $M\left( a;b \right)$. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng $\left( d \right)$ thành đường thẳng $\left( d' \right)$ . Phương trình đường thẳng $\left( d' \right)$ là:
A.$Ax+By+C-2aA-2bB=0$
B.$Ax-By+C-2aA-2bB=0$
C.$Ax-By-C-2aA-2bB=0$
D.$Ax+By-C-2aA-2bB=0$
Bài 3: Hợp thành của một phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm là phép nào?
A.Phép đối xứng trục
B.Phép tịnh tiến
C.Phép đối xứng tâm
D.Phép đồng nhất
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn tâm $I\left( 3;2 \right)$ bán kính R = 1. Tìm phương trình ảnh của đường tròn qua phép đói xứng qua gốc tọa độ?
A.${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=1$
B.${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1$
C.${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=1$
D.${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1$
Bài 5: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.Tam giác đều có tâm đối xứng
B.Tứ giác có tâm đối xứng
C.Hình thang cân có tâm đối xứng
D.Hình bình hành có tâm đối xứng
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng x = 4. Tìm phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng trên qua phép đối xứng tâm O
A.$x=-4$
B.$y=4$
C.$y=-4$
D.$x=4$
Bài 7: Cho điểm $A\left( 2;3 \right)$ . Tìm tọa độ điểm B biết phép đối xứng tâm O biến điểm B thành điểm A.
A.$\left( -2;3 \right)$
B.$\left( -2;-3 \right)$
C.$\left( 2;-3 \right)$
D.$\left( 3;2 \right)$
Bài 8: Cho điểm $A\left( 1;1 \right)$ và $B\left( 3;7 \right)$ . Tìm điểm C là ảnh của A qua phép đối xứng tâm B
A.$\left( 4;8 \right)$
B.$\left( 2;6 \right)$
C.$\left( -5;13 \right)$
D.$\left( 5;13 \right)$
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\left( d \right):2x+3y=0$ . Để phép đối xứng tâm I biến d thành chính nó thì I có thể là điểm nào sau đây?
A.$\left( -3;-2 \right)$
B.$\left( 3;2 \right)$
C.$\left( -3;2 \right)$
D.$\left( 3;-2 \right)$
Bài 10: Cho điểm $A\left( 1;4 \right)$ và $B\left( 3;2 \right)$ . Tìm tọa độ tâm đối xứng I biết phép đối xứng tâm I biến điểm A thành điểm B.
A.$\left( 4;6 \right)$
B.$\left( 1;1 \right)$
C.$\left( 2;3 \right)$
D.$\left( 3;2 \right)$
ĐÁP ÁN
.png)
