Liên hệ giữa thứ tự và các phép toán
I . Lí thuyết :
- Hệ thức dạng a > b ( hay a < b ; a ≤ b ; a ≥ b ) được gọi là bất đẳng thức ; a là vế trái ; b là vế phải của bất đẳng thức.
- Khi cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho
a > b ó a + c > b + c , ∀ c.
- Khi nhân ( chia ) cả hai vế của một bất đẳng thức với ( cho ) một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho
a > b ó ac > bc , ∀ c > 0
- Khi nhân ( chia ) cả hai vế của một bất đẳng thức với ( cho ) một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
a < b ó ac > bc , ∀ c < 0
- Tính chất bắc cầu : Nếu a > b và b > c thì a > c
II . Các dạng toán và ví dụ :
Dạng 1 : So sánh hai số, hai biểu thức :
Ví dụ 1 : Hãy so sánh x và y, nếu :
a, -7x + 13 > -7y + 13;
b, 11x – 1 > 11y + 2.
Giải
a, Từ -7x + 13 > -7y + 13 suy ra -7x > -7y ( cộng hai vế với -13 )
=> x < y ( chia hai vế cho -7)
Vậy x < y
b, Vì 2 > -1 nên 11y + 2 > 11y -1
Lại có : 11x – 1 > 11y + 2, theo tính chất bắc cầu :
11x – 1 > 11y -1
=> 11x > 11y ( cộng hai vế với 1 )
=> x > y ( chia cả hai vế cho 11 )
Vậy x > y .
Ví dụ 2 : Cho a < b; c < d , hãy so sánh a + c và b + d .
Giải
Ta có : a < b => a + c < b + c (1)
c < d => c + b < d + b (2)
Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu , ta có : a + c < b + d .
Nhận xét : Từ kết quả ví dụ trên ta có quy tắc sau : Khi cộng các vế tương ứng của hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được một bất đẳng thức cùng chiều với hai bất đẳng thức đã cho
Dạng 2 : Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 3 : Cho a,b ϵ R. Chứng minh rằng :
\[2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{2}}\]
Giải
Xét hiệu : \[2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-{{\left( a+b \right)}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}-2ab-{{b}^{2}}\]
\[={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}={{(a-b)}^{2}}\ge 0,\forall a,b.\]
Vậy \[2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{2}}\]
Đẳng thức xảy ra khi a = b .
Nhận xét :
- Để chứng minh A > B ta xét hiệu A – B và chứng tỏ A – B > 0
- Bất đẳng thức có thể viết lại như sau :
\[\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\ge {{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}\]
Và \[{{\left( 1.a+1.b \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\]
Kết quả tổng quát của bất đẳng thức này được chứng minh trong ví dụ sau đây
Ví dụ 4 : Cho bốn số a, b, c, d. Chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi ad = bc hay \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\] ( với bd ≠0 )
Giải
Ta có bất đẳng thức trở thành : \[{{a}^{2}}{{b}^{2}}+2abcd+{{c}^{2}}{{d}^{2}}\le {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{d}^{2}}+{{c}^{2}}{{b}^{2}}+{{c}^{2}}{{d}^{2}}\]
\[\Leftrightarrow 2abcd\le {{a}^{2}}{{d}^{2}}+{{c}^{2}}{{b}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{d}^{2}}-2abcd+{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge 2\]
\[\Leftrightarrow {{\left( ad-bc \right)}^{2}}\ge 0\]
Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi a, b, c, d nên bất đẳng thức cũng đúng với mọi a, b, c, d.
Đẳng thức xảy ra khi ad = cb hay \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\]
Lưu ý : Khi b hoặc d = 0 , hiển nhiên bất đẳng trở thành đẳng thức : ở đây ta xét b,d ≠ 0
Nhận xét : Trong ví dụ trên ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức : Dùng các phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức hiển nhiên đúng .
Bất đẳng thức ( VD2) có tên gọi là bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số: (a,c) và ( b,d) .
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Cho x ≥ y , hãy so sánh :
a, -8x + 7 và -8y + 7 ;
b, 9x – 1 và 9y – 1 .
Bài 2: Hay so sánh số x và 0 nếu :
a, 5x < 9x ;
b, -7x ≤ 2x .
Bài 3 : Cho a > b, c > d. Hãy so sánh ac + bd và ad + bc.
Bài 4 : Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng :
\[\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\]
Bài 5 : Cho a, b > 0 . Chứng minh rằng :
\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\]
Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d, e ta có :
a, \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ac\];
b, \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}\ge a(b+c+d+e)\].
