Quang Hệ Đồng Trục

QUANG HỆ ĐỒNG TRỤC(P1)

1. Giải bài tập quang hệ cho từng thấu kính.

1.1 Phương pháp giải.

      Giải bài toán hệ quang học nói chung (hệ thấu kính nói riêng) bao gồm hai bước:

     - Bước 1: Lập sơ đồ tạo ảnh.

     - Bước 2: Áp dụng các công thức liên quan cho mỗi khâu của sơ đồ để giải bài toán theo yêu cầu của đề (quy ước dấu đối với vật ở trước thấu kính thì d > 0 và ở sau thấu kính thì d < 0, d là khoảng cách từ vật tới thấu kính. Đối với khoảng cách \[\text{d }\!\!'\!\!\text{ }\] từ ảnh tới thấu kính thì quy ước ngược lại so với vật).

     + Công thức thấu kính:\[\frac{1}{d}+\frac{1}{{{d}^{'}}}=\frac{1}{f}\]

     + Xác định số phóng đại ảnh: \[k=\frac{{{d}^{'}}}{d}{{k}_{he}}={{k}_{1}}.{{k}_{2}}=\frac{d_{1}^{'}}{{{d}_{1}}}.\frac{d_{2}^{'}}{{{d}_{2}}}\]

     + Độ tụ của hệ 2 thấu kính mỏng đồng trục ghép sát:

D = D₁ + D₂ hay \[\frac{1}{f}=\frac{1}{{{f}_{1}}}+\frac{1}{{{f}_{2}}}\]. Đặc điểm ảnh của vật AB tạo bởi hệ 2 thấu kính ghép là đặc điểm ảnh của vật AB tạo bởi thấu kính tương đương.

     + Nguyên lý thuận nghịch của sự truyền ánh sáng: Nếu ánh sáng truyền đi theo đường nào thì cũng truyền ngược lại theo đường đó (nếu ánh sáng từ môi trường (1) sang môi trường (2) theo đường \[\text{AI{A}'}\] thì cũng truyền theo chiều \[\text{{A}'IA}\] từ môi trường (2) sang môi trường (1).

a. Hệ 2 thấu kính đồng trục ghép cách nhau một đoạn l:

Giả sử vật thật AB đặt trên trục chính của hệ 2 thấu kính đồng trục L₁ và L₂ . Giả sử  AB có ảnh A₁B₁tạo bởi L₁, ảnh A₁B₁ này coi là vật đối với L₂.

Nếu A₁B₁ ở trước L₂ thì đó là vật thật.

Nếu A₁B₁ ở sau L₂ thì đó là vật ảo.

Thấu kính L₂ cho ảnh A₂B₂  của vật A₁B₁ . Vậy A₂B₂ là ảnh cuối cùng qua hệ.

Vậy A₂B₂ là ảnh sau cùng của AB qua hệ thấu kính.

b. Hệ 2 thấu kính đồng trục ghép sát nhau:

Với hệ này có 2 cách:

+ Lập sơ đồ như hệ 2 thấu kính đồng trục ghép cách nhưng khoảng cách L₁  đến L₂ là l = 0.

+ Hoặc dùng thấu kính tương đương là tiện lợi:

 

Giả sử vật thật AB trên trục chính của hệ 2 thấu kính đồng trục L₁ và L­₂ ghép sát tương tự mục (a) ta có sơ đồ tạo ảnh

Khi áp dụng công thức về thấu kính để giải chỉ cần nhớ l là khoảng cách 2 thấu kính luôn bằng 0: \[d_{1}^{'}+{{d}_{2}}=0\Rightarrow {{d}_{2}}=-d_{1}^{'}\]  

Ta có: \[\frac{1}{{{d}_{1}}}+\frac{1}{d_{1}^{'}}=\frac{1}{{{f}_{1}}}\] và: \[\frac{1}{{{d}_{2}}}+\frac{1}{d_{2}^{'}}=\frac{1}{{{f}_{2}}}\]

Mà ta luôn có d₂ = -d₁  Suy ra: 

    \

+ Nhận thấy 2 thấu kính f₁, f₂ ghép sát tương ứng với hệ thấu kính có tiêu cự f: \[\frac{1}{{{f}_{1}}}+\frac{1}{{{f}_{2}}}=\frac{1}{f}\] hay D₁ + D₂ = D.

Lúc này ta có sơ đồ tạo ảnh:

    

Thực hiện tính toán.

     Nội dung khảo sát của 1 hệ thấu kính rất đa dạng, nhưng nhìn chung thường gặp 3 yêu cầu chính:

     (1). Xác định các đặc điểm của ảnh sau cùng.

     (2). Xác định các đặc điểm cấu tạo của hệ.

     (3). Tìm điều kiện để hệ cho ảnh ảo, ảnh thật, 2 ảnh, 1 ảnh duy nhất.

     Để giải đáp được 3 yêu cầu này, cần lưu ý đến 3 kết quả sau:

     + Ảnh A₁B₁ qua L₁ được xác định bởi \[{{\text{d}}_{1}}^{\prime }\].

     Khi A₁B₁  đóng vai trò vật với L₂ thì đặc điểm của nó được xác định bởi d₂, trong mọi trường hợp, ta luôn có \[{{\text{d}}_{1}}^{\prime }\] + d₂ = l; hay d₂ = l – \[{{\text{d}}_{1}}^{\prime }\] (l là khoảng cách giữa 2 thấu kính).

     + Số phóng đại ảnh sau cùng được xác định bởi:

                             \[k=\frac{\overline{{{A}_{2}}{{B}_{2}}}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{{{A}_{2}}{{B}_{2}}}}{\overline{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}}.\frac{\overline{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}}{\overline{AB}}={{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{d_{1}^{'}d_{2}^{'}}{{{d}_{1}}{{d}_{2}}}\]

     + Hệ vô tiêu: ảnh cuối cùng \[{{\text{A}}_{2}}^{\prime }{{\text{B}}_{2}}^{\prime }\] có độ lớn không đổi khi ta di chuyển vật lại gần thấu kính: l = f₁ + f₂ (chú ý: f₁, f₂ có giá trị đại số: dương với thấu kính hội tụ, âm với thấu kính phân kỳ).

1.2 Một số bài tập minh họa

Bài giải:

a. Xác định ảnh A₁B₁ Ta có: d₁ = 400cm >> f₁ cm.

Có thể coi là vật AB ở vô cực so với (L₁). Ảnh A₁B₁được tạo ra tại tiêu diện ảnh.

${{\text{d}}_{1}}^{\prime }=10\text{cm}$.

 

Do đó:${{\text{k}}_{1}}=-\frac{{{\text{d}}_{1}}^{\prime }}{{{\text{d}}_{1}}}=-\frac{1}{40}=-0,025$

Ảnh thật ngược chiều bằng 1/40 vật và cách thấu kính 10 cm.

Đường đi của chùm tia sáng từ B:

 

b. Xác định ảnh $\text{{A}'{B}'}$:

Sơ đồ tạo ảnh:

Theo trên ta có:

           \[{{\text{d}}_{1}}^{\prime }=10\text{cm}\text{.}\]\[{{\text{d}}_{1}}^{\prime }=10\text{cm}\text{.}\]

Do đó:

Ảnh $\text{{A}'{B}'}$ là ảnh thật, cách thấu kính (L₂) một đoạn 15cm.

Ta cũng có:

                                            

Ảnh ngược chiều với vật và bằng $\frac{1}{16}$ lần vật.

c. Tiêu cự và vị trí của thấu kính tương đương.

                              AB                $\text{{{A}'}'{{B}'}'}$

Vì $\overline{\text{{{A}'}'{{B}'}'}}=\overline{\text{{A}'{B}'}}$ nên $\text{{{A}'}'{{B}'}'}$ cũng ngược chiều với vật. (L) phải là thấu kính hội tụ.

Vì AB ở rất xa ta có:

                      $\text{{{A}'}'{{B}'}'}=\text{f}\text{. tan  }\!\!\alpha\!\!\text{ }\approx \text{f}\text{.  }\!\!\alpha\!\!\text{ }$($\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ góc trông của AB)

Đối với hệ (L₁ + L₂):

$\frac{\text{{A}'{B}'}}{{{\text{A}}_{1}}{{\text{B}}_{1}}}=\left| {{\text{k}}_{2}} \right|=\left| \frac{{{{\text{{d}'}}}_{2}}}{{{\text{d}}_{2}}} \right|;\text{ }{{\text{A}}_{1}}{{\text{B}}_{1}}={{\text{f}}_{1}}\text{. tan  }\!\!\alpha\!\!\text{ }\approx {{\text{f}}_{1}}\text{.  }\!\!\alpha\!\!\text{ }$$\Rightarrow \text{{A}'{B}'}=\left| \frac{{{{\text{{d}'}}}_{2}}}{{{\text{d}}_{2}}} \right|.{{\text{f}}_{1}}\text{.  }\!\!\alpha\!\!\text{ }.

Theo đề ta suy ra:

\[\text{f}=\left| \frac{{{{\text{{d}'}}}_{2}}}{{{\text{d}}_{2}}} \right|.{{\text{f}}_{1}}=\frac{15}{6}.10=25\left( \text{cm} \right)\]

Vị trí của (L) được xác định bởi:

                       ${{\text{O}}_{\text{2}}}\text{O}=\text{f}-{{\text{d}}_{\text{2}}}^{\prime }=25-15=10\text{cm}\text{.}$

Bài giải:

a. Ta có sơ đồ tạo ảnh S qua hệ qua hệ L₁, L₂:

 

S cho qua L₁ ảnh ảo S₁ xác định bởi:

\[\overline{\text{O}{{\text{S}}_{1}}}={{\text{d}}_{1}}^{\prime }=\frac{{{\text{d}}_{1}}{{\text{f}}_{1}}}{{{\text{d}}_{1}}-{{\text{f}}_{1}}}=\frac{15.30}{15-30}=-15\text{cm}<0\Leftrightarrow {{\text{S}}_{1}}:\] ảo.

                  $\text{d}=1-{{\text{d}}_{1}}^{\prime }=15-\left( -15 \right)=30\text{cm}>0.$

$\Leftrightarrow {{\text{S}}_{\text{1}}}$ là vật thật của L₂ cho qua L₂ ảnh $\text{{S}'}$ xác định bởi:

                  ${{\text{d}}_{2}}^{\prime }={{\text{O}}_{\text{2}}}\text{{B}'}=\frac{{{\text{d}}_{2}}{{\text{f}}_{2}}}{{{\text{d}}_{2}}-{{\text{f}}_{2}}}=\frac{30.20}{30-20}=60\text{cm}>0$

$\Leftrightarrow \text{{S}'}$ là ảnh thật cách L₂ 60cm.

b. Giữ S và L₁ cố định nên S₁ cố định. Ở vị trí ban đầu điểm vật thật S₁ cách thấu kính L₂một đoạn d₂ = 30cm.

 

 

(Bài toán trở thành: cho điểm vật thật  S₁ cố định cách thấu kính hội tụ L₂ một đoạn x_s = d_o = 30 cm và S₁ ở trên trục chính kéo L₂ ra xa vật theo hướng song song trục chính. Khảo sát chiều chuyển động của ảnh $\text{{S}'}$).

Khi tịnh tiến L₂ ra xa S₁ luôn luôn là vật thật ở ngoài O₂F₂ nên $\text{{F}'}$ luôn luôn là ảnh thật $\Leftrightarrow \text{{d}'}>0$.

Chọn S₁ làm gốc tọa độ, chiều dương từ trái qua phải (chiều của tia sáng tới). Ta có:

${{\text{S}}_{\text{1}}}{{\text{O}}_{\text{1}}}=\text{d}=\text{x}$ với \[30\le \text{x}<\infty \].

Đặt:            y = S₁S = \[\text{d}+\text{{d}'}>\text{0}\]

                 

\[\text{{d}'}=\frac{\text{d}{{\text{f}}_{2}}}{\text{d}-{{\text{f}}_{2}}}=\frac{20\text{x}}{\text{x}-20}\]\[{{\text{S}}_{\text{1}}}\text{{S}'}=\text{f}\left( \text{x} \right)=\text{y}=\text{d}+\text{{d}'}=\text{x}+\frac{20\text{x}}{\text{x}-20}=\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{x}-20}.\]

Khi tịnh tiến L₂ thì x tăng trong [30, ∞] và [30, ∞] $\in $ miền xác định của y.

Ta có:         \[\text{{y}'}=\text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{\text{x}}^{2}}-40\text{x}}{{{\left( \text{x}-20 \right)}^{2}}}\]; vì \[{{\left( \text{x}-20 \right)}^{2}}>0,\]

$\Rightarrow \text{{y}'}$ theo dấu của \[{{\text{x}}^{2}}-40\text{x}\].

Ta có bảng biến thiên theo thực tế quang học:

x	30		40		60	∞
$\text{{y}'}$		$-$	0	+
$\text{y}=\text{f}\left( \text{x} \right)$	90		80		90

 

Xem bảng biến thiên trên ta thấy: Khi tịnh tiến L₂  ra xa khoảng cách x = d tăng từ 30 đến 40 thì y = ${{\text{S}}_{\text{1}}}\text{{S}'}$ giảm từ 90cm đến 80cm nghĩa là $\text{{S}'}$ chuyển động ngược chiều ánh sáng tới và $\text{{S}'}$ dừng lại tại vị trí cực tiểu cách S₁ một đoạn ${{\text{S}}_{\text{1}}}{{\text{{S}'}}_{\text{min}}}$= 80cm. Sau đó ${{\text{S}}_{\text{1}}}\text{{S}'}$ tăng dần tức là $\text{{S}'}$ lại chuyển động theo chiều ánh sáng tới.

c. Khoảng cách từ S tới L₁, L₂ không thay đổi nên khoảng cách \[{{\text{{d}'}}_{1}}=-15\text{cm}\] và d₂ = 30cm, \[{{\text{{d}'}}_{2}}=60\text{cm}\text{.}\] Nhưng khi dịch chuyển L₁ xuống một đoạn 2 cm thì S cách trục chính của L₁ đoạn SK = OO₁ = 2cm.

Dựng đường thẳng \[\left( \text{ }\!\!\delta\!\!\text{ } \right)\text{ // }{{\text{L}}_{2}}\] cách L₂ đoạn 60cm, cắt trục chính của L₂ tại $\text{{H}'}$. Ta có:

$\text{{S}'=}\left( \text{ }\!\!\delta\!\!\text{ } \right)\cap {{\text{S}}_{1}}{{\text{O}}_{2}}.$

Theo hình vẽ ta có:

\[\frac{\text{S{H}'}}{{{\text{S}}_{\text{1}}}\text{H}}=\frac{{{\text{O}}_{\text{2}}}\text{{H}'}}{{{\text{O}}_{\text{2}}}\text{H}}=\frac{60}{30}=2\]                                                         (a)

\[\frac{{{\text{S}}_{\text{1}}}\text{H}}{{{\text{O}}_{\text{2}}}{{{\text{{O}'}}}_{1}}}=\frac{\text{SH}}{\text{S}{{\text{O}}_{\text{1}}}}=\frac{15-10}{10}=\frac{5}{10}=0,5\]            (b)

Từ (a) và (b)   $\Rightarrow \frac{\text{{S}'{H}'}}{{{\text{S}}_{\text{1}}}\text{H}}.\frac{{{\text{S}}_{\text{1}}}\text{H}}{{{\text{O}}_{\text{1}}}\text{{H}'}}=1.$

$\frac{\text{{S}'{H}'}}{{{\text{O}}_{\text{1}}}\text{{O}'}}=1\Rightarrow \text{{S}'{H}'}=2\text{cm}\text{.}$

Vậy $\text{{S}'}$ ở phía dưới trục chính của L₂ , cách L₂ 60cm và cách trục chính của L₂ 2cm.

Bài giải:

a. Sơ đồ tạo ảnh:

 

 

 

          Xét lần lượt mỗi ảnh, ta có:

Với A₁B₁:       d₁ = 49 – 28 = 21 (cm)

        ${{\text{{d}'}}_{1}}=\frac{21{{\text{f}}_{1}}}{21-{{\text{f}}_{1}}}$

    ${{k}_{1}}=\frac{{{\text{f}}_{1}}}{{{\text{f}}_{1}}-{{\text{d}}_{1}}}=\frac{{{\text{f}}_{1}}}{{{\text{f}}_{1}}-\text{21}}$.

Với $\text{{A}'{B}'}$: d₂ = l - ${{\text{{d}'}}_{1}}$ = 28 - $\frac{21{{\text{f}}_{1}}}{21-{{\text{f}}_{1}}}$= $\frac{588-49{{\text{f}}_{1}}}{21-{{\text{f}}_{1}}}$

                      k₂ = $\frac{{{\text{f}}_{2}}}{{{\text{f}}_{2}}-{{\text{d}}_{2}}}=\frac{15}{15-\frac{588-49{{\text{f}}_{1}}}{21-{{\text{f}}_{1}}}}=\frac{15\left( 21-{{\text{f}}_{1}} \right)}{34{{\text{f}}_{1}}-273}$.

Theo đề:

                      \[\text{k}=\frac{\text{{A}'{B}'}}{\text{AB}}=\frac{\text{{A}'{B}'}}{{{\text{A}}_{1}}{{\text{B}}_{1}}}.\frac{{{\text{A}}_{1}}{{\text{B}}_{1}}}{\text{AB}}=\left| {{\text{k}}_{\text{2}}} \right|.{{\left| \text{k} \right|}_{\text{1}}}=3.\]

Suy ra:

                      $\frac{15\left| {{\text{f}}_{1}} \right|}{\left| 34{{\text{f}}_{1}}-273 \right|}=3\Rightarrow 5\left| {{\text{f}}_{1}} \right|=\left| 34{{\text{f}}_{1}}-273 \right|.$

Ta có hai trường hợp:

                                      

Vậy O₁ là thấu kính hội tụ có tiêu cự 7cm hoặc 9,4cm.

b. Đường đi của chùm tia sáng:

 

Bài giải:

Ta có sồ tạo ảnh 

Ảnh A₁B₁ cách L₁ một đoạn:

${{\text{{d}'}}_{1}}=\frac{{{\text{d}}_{1}}{{\text{f}}_{1}}}{{{\text{d}}_{1}}-{{\text{f}}_{1}}}=\frac{20{{\text{d}}_{1}}}{{{\text{d}}_{1}}-20}$

A₁B₁ trở thành vật của L₂ cách L₂ một hoành độ:

                           \[{{\text{d}}_{\text{2}}}=\text{l}~\text{ }{{\text{{d}'}}_{1}}=30-\frac{20{{\text{d}}_{1}}}{{{\text{d}}_{1}}-20}=\frac{10{{\text{d}}_{1}}-600}{{{\text{d}}_{1}}-20}.\]

${{\text{{d}'}}_{2}}=\overline{{{\text{O}}_{2}}\text{{A}'}}=\frac{{{\text{d}}_{2}}{{\text{f}}_{2}}}{{{\text{d}}_{2}}-{{\text{f}}_{2}}}=\frac{\left( 10{{\text{d}}_{1}}-600 \right)\left( -40 \right)}{\left( {{\text{d}}_{1}}-20 \right)\left( \frac{10{{\text{d}}_{1}}-600}{{{\text{d}}_{1}}-20}+40 \right)}$

${{\text{{d}'}}_{2}}=\frac{8\left( 60-{{\text{d}}_{1}} \right)}{{{\text{d}}_{1}}-28}$.

Xét dấu của ${{\text{{d}'}}_{2}}$ theo d₁, ta có bảng xét dấu sau:

d1	0		28		60		$+\infty $
60 - d1		+		+	0	-
d1 - 28		-	0	+		+
${{\text{{d}'}}_{2}}$			-		+	0	-

 

Theo bảng xét dấu, ta có:

a. Hệ cho ảnh thật $\Leftrightarrow {{\text{{d}'}}_{2}}>0$ khi 28 < d₁< 60.

b. Hệ cho ảnh ảo $\Leftrightarrow {{\text{{d}'}}_{2}}<0$ khi $0\le {{\text{d}}_{1}}<28$ và d₁> 60.

c. Độ phóng đại ảnh của hệ:

 

\[\text{k}=\frac{\overline{\text{{A}'{B}'}}}{\overline{\text{AB}}}={{\text{k}}_{1}}\text{. }{{\text{k}}_{2}}=\frac{20}{{{\text{d}}_{1}}-20}\frac{8\left( 60-{{\text{d}}_{1}} \right)}{\left( {{\text{d}}_{1}}-28 \right)}\frac{\left( {{\text{d}}_{1}}-20 \right)}{\left( 10{{\text{d}}_{1}}-600 \right)}\]

                    \[\text{k}=\frac{16}{{{\text{d}}_{1}}-28}.\]                                              

Vì không biết rõ chiều của $\text{{A}'{B}'}$so với AB nên ta viết: \[\frac{\overline{\text{{A}'{B}'}}}{\overline{\text{AB}}}=\pm \frac{8}{2}=\pm 4\]

Giải hai phương trình:

                $\frac{16}{{{\text{d}}_{1}}-28}=4\Rightarrow {{\text{d}}_{1}}=32\text{cm }\Leftrightarrow \text{ AB}$ thật.

               $\frac{16}{{{\text{d}}_{1}}-28}=-4\Rightarrow {{\text{d}}_{1}}=24\text{cm }\Leftrightarrow \text{ AB}$thật.

Vậy cả 2 giá trị đều thỏa mãn điều kiện AB thật, nhưng theo bảng xét dấu khi d₁ =32cm thì $\text{{A}'{B}'}$ là ảnh thật không thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Vậy vật cho ảnh ảo cao 8cm ngược chiều với vật AB khi AB cách L₁ 24cm.

 

Bài viết gợi ý: