[TOÁN 11] Vi Phân

VI PHÂN

A/ LÝ THUYẾT

I/ Định nghĩa vi phân

+ Cho hàm số $y=f(x)$ , xác định trên khoảng $\left( a;b \right)$ và có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}\in \left( a;b \right)$ . Cho số gia $\vartriangle x$ tại x sao cho $x+\vartriangle x\in \left( a;b \right)$

+ Gọi tích $f'(x).\vartriangle x$ là vi phân của hàm số $y=f(x)$ tại x ứng với số gia $\vartriangle x$

+ Ký kiệu: $dy$ hoặc $df(x)$

Khi đó ta có: $dy=y'\vartriangle x=f'(x)\vartriangle x$

            `Hoặc:$dy=y'\vartriangle x=f'(x)dx$

II/ Ứng dụng vi phân tính gần đúng

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:

$f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\vartriangle y}{\vartriangle x}$

Do đó với $\left| \vartriangle x \right|$ đủ nhỏ thì:

$f'({{x}_{0}})\approx \frac{\vartriangle x}{\vartriangle y}\Leftrightarrow f({{x}_{0}}+\vartriangle x)\approx f({{x}_{0}})+f'\left( {{x}_{0}} \right).\vartriangle x$

B/ VÍ DỤ

VD 1: Tìm vi phân của hàm số $y=x$

A.$dy=x$

B.$dy=1$

C.$dy=dx$

D.$dy=0$

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

$dy=x'dx=dx$

Đáp án C

VD 2: Tìm vi phân của hàm số $y={{x}^{2}}$

A.$dy=2x$

B.$dy=2xdx$

C.$dy=d{{x}^{2}}$

D.$dy=dx$

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

$dy=\left( {{x}^{2}} \right)'dx=2xdx$

Đáp án B

VD 3: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{1}{x}$

A.$dy=d\frac{1}{x}$

B.$dy=-\frac{1}{{{x}^{2}}}dx$

C.$dy=-\frac{1}{{{x}^{2}}dx}$

D.$dy=-d\frac{1}{{{x}^{2}}}$

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

$dy={{\left( \frac{1}{x} \right)}^{'}}dx=-\frac{1}{{{x}^{2}}}dx$

Đáp án B

VD 4: Tìm vi phân của hàm số $y=\sin x$

A.$dy=\sin xdx$

B.$dy=\cos xdx$

C.$dy=-\cos xdx$

D.$dy=\frac{1}{\sin x}dx$

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

$dy=\left( \operatorname{s}\text{inx} \right)'dx=\cos xdx$

Đáp án B

VD 5: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$

A.$\frac{-3}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}dx$

B.$\frac{3}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}dx$

C.$\frac{-3}{x-2}dx$

D.$\frac{3}{x-2}dx$

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

$dy=\left( \frac{x+1}{x-2} \right)'dx=\frac{-3}{{{(x-2)}^{2}}}dx$

Đáp án A

VD 6: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{\sqrt{x}}{a+b}$ (a; b là các tham số)

A.\[dy=\frac{dx}{\left( a+b \right)\sqrt{x}}\]

B.\[dy=\frac{2dx}{\left( a+b \right)\sqrt{x}}\]

C.\[dy=\frac{dx}{2\left( a+b \right)\sqrt{x}}\]

D.\[dy=\frac{1}{2\left( a+b \right)\sqrt{x}}\]

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

$dy={{\left( \frac{\sqrt{x}}{a+b} \right)}^{'}}dx=\frac{dx}{2\left( a+b \right)\sqrt{x}}$

Đáp án C

VD 7: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{1}{\sin x}$

A.$dy=\frac{\cos xdx}{{{\sin }^{2}}x}$

B.$dy=\frac{-\cos xdx}{{{\sin }^{2}}x}$

C.$dy=-\frac{\sin xdx}{{{\cos }^{2}}x}$

D.$dy=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

$dy={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{'}}dx=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}.\left( \sin x \right)'dx=-\frac{\cos xdx}{{{\sin }^{2}}x}$

Đáp án B

VD 8: Tìm vi phân của hàm số $y=\sqrt{\tan x}$

A.$\frac{{{\cos }^{2}}xdx}{2\sqrt{\tan x}}$

B.$\frac{{{\cos }^{2}}xdx}{\sqrt{\tan x}}$

C.$\frac{dx}{{{\cos }^{2}}\left( x \right)\sqrt{\tan x}}$

D. $\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\left( x \right)\sqrt{\tan x}}$

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

$dy=\left( \sqrt{\tan x} \right)'dx=\frac{\left( \tan x \right)'dx}{2\sqrt{\tan x}}=\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\left( x \right)\sqrt{\tan x}}$

Đáp án D

C/ BÀI TẬP

Bài 1: Tìm vi phân của hàm số $y={{x}^{2}}+3x$

A.$dy=\left( 2x+3 \right)dx$

B.$dy=\left( {{x}^{2}}+3x \right)dx$

C.$dy=\left( 3x+2 \right)dx$

D.$dy=dx$

Bài 2: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{1}{{{x}^{2}}+x}$

A.$dy=\frac{2x+1}{{{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{2}}}dx$

B.$dy=-\frac{2x+1}{{{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{2}}}dx$

C.$dy=-\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{2}}}dx$

D.$dy=\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{2}}}dx$

Bài 3: Tìm vi phân của hàm số $y=2\sqrt{{{x}^{2}}+2x}$

A.$dy=\frac{-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx$

B.$dy=\frac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx$

C.$dy=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx$

D.$dy=\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx$

Bài 4: Tìm phát biểu đúng?

A.$d\left( \sqrt{x} \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

B.$d\left( {{\sin }^{2}}x \right)=2\sin xdx$  

C.$d\left( {{\cos }^{2}}x \right)=\sin 2xdx$

D.$d\left( {{\sin }^{2}}x \right)=\sin 2xdx$

Bài 5: Tìm phát biếu đúng trong các phát biểu sau:

A.$d\left[ f'\left( x \right) \right]=f''(x)dx$

B.$d\left[ f(x) \right]=f'(x)$

C.$d\left[ f'(x) \right]=f'(x)dx$

D.$d\left[ f'(x) \right]=f''(x)$

Bài 6: Tìm vi phân của hàm số $y=\sqrt{{{\tan }^{2}}x}$

A.$\frac{dx}{{{\cos }^{2}}\left( x \right)}$

B.$\frac{\tan xdx}{{{\cos }^{2}}\left( x \right)\sqrt{{{\tan }^{2}}x}}$

C.$\frac{-dx}{{{\cos }^{2}}\left( x \right)}$

D.$\frac{dx}{{{\cos }^{2}}\left( x \right)\sqrt{{{\tan }^{2}}x}}$

Bài 7: Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau:

A.$d\left( \sqrt{\tan x} \right)=\frac{\tan xdx}{{{\cos }^{2}}\left( x \right)\sqrt{{{\tan }^{2}}x}}$

B.$d\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x} \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx$

C.$d\left( {{\sin }^{2}}x \right)=2\sin xdx$

D.$d\left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{-2dx}{{{x}^{3}}}$

Bài 8: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{\sin x}{\cos x}$

A. $dy=\frac{-2dx}{{{\cos }^{2}}x}$

B.$dy=\frac{-dx}{{{\cos }^{2}}x}$

C.$dy=\frac{2dx}{{{\cos }^{2}}x}$

D. $dy=\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}$

Bài 9: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{x-3}{x+2}$

A.$dy=\frac{5dx}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$

B.$dy=\frac{-dx}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$

C.$dy=\frac{-5dx}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$

D.$dy=\frac{dx}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$

Bài 10:  Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

A.$d\left[ \cot u\left( x \right) \right]=\frac{dx}{{{\sin }^{2}}u\left( x \right)}$

B.$d\left[ \cot u\left( x \right) \right]=\frac{u'\left( x \right)dx}{{{\sin }^{2}}u\left( x \right)}$

C.$d\left[ \tan u\left( x \right) \right]=\frac{dx}{{{\cos }^{2}}u\left( x \right)}$

D.$d\left[ \sin u\left( x \right) \right]=-u'\left( x \right).\cos u\left( x \right)dx$ 

 

 

ĐÁP ÁN

Bài viết gợi ý: