I. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
1. Xét vị trí các cặp góc tạo bởi hai đường thẳng định chứng minh song song với một đường thẳng thứ ba (so le, đồng vị…)
2. Sử dụng tính chất của hình bình hành.
3. Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
4. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành.
5. Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song.
6. Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng.
7. Sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên hay đi qua trung điểm của hai đường chéo của hình thang.
8. Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn.
9. Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.
II. Chứng minh hai đường thẳng song song
Để chứng minh hai đường thẳng trong không gian song song với nhau, ta cần trang bị cho bản thân các kiến thức sau đây:
1. Ghi nhớ lại các một số kiến thức trong hình học phẳng:
– Trong hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật,…: Các cặp cạnh đối song song với nhau.
– Đường trung bình của tam giác, hình bình hành,…: Đường thẳng đi qua hai trung điểm của cặp cạnh bên (cặp cạnh đối diện).
– Định lý Ta – let đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
2. Ghi nhớ các tính chất:
– Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
A \[\notin \] a \[\Rightarrow \] \[\exists \]! b: b \[\supset \] A và a//b
– Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
a//x; b//x và a \[\ne \] b \[\Rightarrow \] a//b
– Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng:
Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Phương pháp:
1. Nếu ta nhìn thấy được hai đường thẳng đó đồng phẳng thì ta sẽ sử dụng các kiến thức trong hình học phẳng để chứng minh.
2. Nếu ta chưa thấy hai đường thẳng đó đồng phẳng thì có thể áp dụng các tính chất 1, 2 và định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD căt BC. Hãy tìm điểm M trên cạnh SD và điểm N trên cạnh SC sao cho AM // BN.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh rằng ME // AC, MF // BD.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD. Chứng minh MN // BD.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh: MN // CD.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gòi M, N, P, Q làn lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. Chứng minh PQ // SA.
