Tổng và hiệu của hai vectơ

I.Lý thuyết:

1.Tổng của 2 vecto:

Định nghĩa: Cho hai vecto , , lấy một điểm A tùy ý, vẽ = , = . Vecto AC được gọi là tổng của hai vecto , . Ta kí hiệu tổng của hai vecto , là + . Vậy AC = + .

Phép toán tìm tổng của hai vecto gọi là phép cộng vecto.

a. Quy tắc hình bình hành:

Minh họa phép cộng hai vecto bằng quy tắc hình bình hành như sau:

Nếu ABCD là hình bình hành thì:: + = .

b. Tính chất phép cộng vecto:

Với 3 vecto , , tùy ý, ta có:

+ = + (Tính chất giao hoán).

( + ) ₊₌ + ( ₊

+ 0 = 0 + = (Tính chất của vecto – không)

2. Hiệu của hai vecto:

Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với được gọi là vecto đối của . Kí hiệu là -.

Mỗi vecto đều có vecto đối, chẳng hạn vecto đối của = . Có nghĩa là - =

Vecto đối của là vecto

Định nghĩa: Cho hai vecto a, b, ta gọi hiệu của a trừ b bằng tổng của vecto với vecto đối của vecto

Như vậy - = + ( -).

Minh họa:

3. Quy tắc tam giác:

Với 3 điểm A, B, C bất kì, theo quy tắc cộng trừ vecto, ta có:

= (Qui tắc 3 điểm)

- = (Qui tắc trừ hai vecto có chung điểm đầu)

4. Áp dụng:

a.Nếu I là trung điểm AB thì +

b. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì

Lấy D là điểm đối xứng với G qua E, khi đó BGCD là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) và G là trung điểm của AD (vì GA = 2GE = GD).

Ta có: + =

Suy ra: =

II. Bài tập vận dụng:

Giải:

Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M′ để có →

Như vậy = = '

Vậy vecto ' chính là vecto tổng của

' =

Ta lại có:

Theo tính chất giao hoán của tổng vecto ta có:

= = (quy tắc 3 điểm)

Vậy =

Giải:

= .

Giải:

Trong tam giác đều ABC, tâm O của đường tròn ngoại tiếp cũng là trọng tâm tam giác. Vậy

Giải:

Ta có:

Giải:

Ta có: - = , - = .

Từ đó suy ra: - -

III. Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC; BE cắt AM tại N. Chứng minh và là hai vecto đối nhau.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N, cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng = + .