Bài Tập Sử Dụng VTLG (P2)

BÀI TOÁN SỬ DỤNG VTLG (P2)

 

A: KIẾN THỨC CẦN CÓ

1. Tìm trạng thái quá khứ và tương lai đối với bài toán chưa cho biết phương trình của x, v, a, F...

 

+ Dựa vào trạng thái ở thời điểm t0 để xác định vị trí tương ứng trên vòng tròn lượng giác. + Để tìm trạng thái ở thời điểm (${{t}_{0}}-\Delta t$ ) ta quét theo chiều âm một góc $\Delta \varphi =\omega \Delta t.$ + Để tìm trạng thái ở thời điểm (${{t}_{0}}+\Delta t$ ) ta quét theo chiều dương một góc $\Delta \varphi =\omega \Delta t$

 

2. Tìm trạng thái quá khứ và tương lai đối với bài toán cho biết phương trình của x, v, a, F...

Phương pháp chung:

Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x₁.

Cách 1: Giải phương trình bằng PTLG.

Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng Δt.

* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + φ) cho x = x₁.

Lấy nghiệm $\omega t+\varphi =\alpha $ ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc $\omega t+\varphi =-\alpha $ ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)

(với$0\le \alpha =\arccos \left( {{x}_{1}}\div A \right)=shift\cos \left( {{x}_{1}}\div A \right)\le \pi $ )

* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Δt giây là:

Ngày nay với sự xuất hiện của máy tính cầm tay như Casio 570ES, 570ESplus...ta xây dựng quy trình giải nhanh như sau:

* Li độ và vận tốc sau thời điểm t một khoảng thời gian Δt lần lượt bấm như sau:

* Li độ và vận tốc trước thời điểm t một khoảng thời gian Δt lần lượt bấm như sau:

 (Lấy dấu cộng trước shift cos(\[{{x}_{1}}\div A\] ) nếu ở thời điểm t li độ đang giảm (đi theo chiều âm) và lấy dấu trừ nếu i độ đang tăng (đi theo chiều dương))

Cách 2: Dùng vòng tròn lượng giác (VTLG)

B: BÀI TẬP

Hướng dẫn

Cách 1: Dùng VTLG

Biên độ và tần số góc lần lượt là:

Góc cần quét: $\Delta \Phi =\omega \Delta t=34\,rad\approx 10,8225=5.2\pi +0,08225\pi $

+ Để tìm trạng thái ở thời điểm t = t₀  −  8,5 s ta chỉ cần quét theo chiều âm góc 0,8225π:

$x=25\cos \left( 0,3225\pi  \right)$ $\approx 13,2$ > 0 . Lúc này chất điểm nằm ở nửa dưới nên hình chiếu đi theo chiều dương.

+ Để tìm trạng thái ở thời điểm t = t₀ + 8,5 s ta chỉ cần quét theo chiều dương góc 0,8225π. Suy ra:  $x=-25\cos 0,3225\pi \approx -13,2cm$ < 0. Lúc này chất điểm nằm ở nửa dưới nên hình chiếu đi theo chiều dương.

Cách 2: Dùng PTLG

Không làm mất tính tổng quát của bài toán ta chọn gốc thời gian t = t₀ = 0 thì phương trình li độ và phương trình vận tốc có dạng:

Để tìm trạng thái trước thời điểm t0 một khoảng 8,5s ta chọn t =  −  8,5s Lúc này vật có li độ 13,2 cm và đang đi theo chiều dương. Để tìm trạng thái sau thời điểm t0 một khoảng 8,5 s ta cho t = +8,5 s:

Lúc này vật có li độ  − 13,2 cm và đang đi theo chiều dương.

Chú ý: Phối hợp cả hai phương pháp chúng ta có thể rút ra quy trình giải nhanh cho loại bài toán này như sau:

Bước 1: Chọn gốc thời gian t = t₀ = 0 và dùng VTLG để viết pha dao động: $\Phi =\omega t+\varphi $

Bước 2: Lần lượt thay t =  − Δt và t = +Δt để tìm trạng thái quá khứ và trạng thái tương lai:

v > 0: Vật đi theo chiều dương (x đang tăng)

v < 0: Vật đi theo chiều âm (x đang giảm)

Hướng dẫn

* Biên độ và tần số góc: $A=25\left( cm \right);\omega =\frac{{{v}_{T}}}{A}=3\left( rad/s \right)$ Pha dao động có dạng: $\Phi =3t+\frac{\pi }{3}$ Thay t = 8 s thì

Hướng dẫn

Chọn lại gốc thời gian t = t₀ = 4,25 s thì pha dao động có dạng: $\Phi =\frac{2\pi }{T}t=\pi t$

 

Để tìm trạng thái ban đầu ta cho t =  − 4,25 s thì Sau khi đã hiểu rõ phương pháp học sinh có thể rút gọn cách trình bày để phù hợp với hình thức thi trắc nghiêm.

Hướng dẫn

Chọn lại gốc thời gian t = t₀ = 3,25 s thì  $\phi =\frac{2\pi }{T}t+\pi =\frac{4\pi t}{3}+\pi $

Để tìm trạng thái ban đầu ta cho t =  − 3,25 s thì

Hướng dẫn

$A=0,25\left( m \right);\omega =\frac{{{v}_{T}}}{A}=3\left( rad/s \right)\Rightarrow \phi =3t+\frac{\pi }{2}$

Hướng dẫn

Chọn lại gốc thời gian t = t1 = 1,2 s thì pha dao động có dạng: $\phi =\omega t+\frac{\pi }{3}$ Từ M1 quay một vòng (ứng với thời gian T) thì vật qua vị trí cân bằng 2 lần, rồi quay tiếp một góc 2π/3 (ứng với thời gian T/3) vật đến biên âm và tổng cộng đã qua vị trí cân bằng 3 lần. Ta có: $T+\frac{T}{3}=9,2-1,2\Rightarrow T=6\left( s \right)$ $\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{\pi }{3}\left( rad/s \right)$

 Để tìm trạng thái ban đầu ta cho t =  − 1,2 s thì

Hướng dẫn

Cách 1:  Dùng PTLG:

$\Rightarrow {{x}_{\left( t+3 \right)}}=4\cos \left( \frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{2} \right)=-2\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn B.

Bấm máy tính chọn đơn vị góc rad

Bấm nhấm: $4\cos \left( \frac{\pi }{6}x3+shift\cos \left( 2\sqrt{3}\div 4 \right) \right)$ rồi bấm = sẽ được – 2 $\Rightarrow $ Chọn B.

Cách 2: Dùng VTLG:

Tại thời điểm t1 có li độ là $2\sqrt{3}$ cm và đang giảm nên chất điểm chuyển động đều nằm tại M1 + Để tìm trạng thái ở thời điểm t = t1 + 3 s ta quét theo chiều dương góc:$\Delta \Phi =\omega \Delta t+\frac{\pi }{2}$ và lúc này chuyển động tròn đều nằm tại M2. Điểm M2 nằm ở nửa trên vòng tròn nên hình chiếu của nó đi theo chiều âm (x đang giảm). Li độ của dao động lúc này là:  ${{x}_{2}}=4\cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2} \right)=-2\left( cm \right)$ => Chọn B.

 Chú ý: Phối hợp cả hai phương pháp chúng ta có thể rút ra quy trình giải nhanh cho loại bài toán này như sau:

Bước 1: Chọn gốc thời gian t = t₀ và dùng VTLG để viết pha dao động:$\phi =\omega t+\varphi .$ .

Bước 2: Thay t =  −  Δt và t = + Δt để tìm trạng thái quá khứ và trạng thái tương lai:

v > 0: Vật đi theo chiều dương (x đang tăng)

v < 0: Vật đi theo chiều âm (x đang giảm)

Cách 3: Chọn lại gốc thời gian t = t1 thì pha dao động có dạng: $\phi =\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{6}$ Để tìm trạng thái sau đó 3 s ta cho t = +3 s thì $\Rightarrow $ Chọn B.

 Kinh nghiệm:  Chọn lại gốc thời gian trùng với trạng thái đã biết tức là viết lại pha dao động $\phi =\omega t+\varphi $. Từ đó ta tìm được trạng thái quá khứ hoặc tương lai

Hướng dẫn

Chọn lại gốc thời gian t = t₀ và viết phương trình li độ dạng hàm cos thì pha  dao động

có dạng: $\phi =5\pi t-\arccos \frac{3}{5}$ . Để tìm trạng thái trước t0 là 0,1 s ta cho t =  − 0,1 s  Để tìm trạng thái sau t0 là 0,1 s ta cho t = +0,1 s thì

Kinh nghiệm: Đối với bài toán liên quan đến chiều tăng (giảm) (chiều dương, chiều âm) thì nên dùng VTLG. Đối với bài toán không liên quan đến chiều tăng giảm (chiều dương chiều âm) thì nên dùng PTLG.

Hướng dẫn

Bài toán này nên dàng phương pháp GPTLG vì bài toán không nói rõ qua li độ $10\sqrt{3}$cm đi theo chiều dương hay chiều âm:

${{x}_{\left( 1+1/12 \right)}}=20\cos 2\pi \left( t+\frac{1}{12} \right)=40\cos \left( \pm \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6} \right)=\left[ \begin{align}

  & 10\left( cm \right) \\

 & 20\left( cm \right) \\

\end{align} \right.\Rightarrow $ Chọn D

Bấm nhấp tính (chọn gốc rad)

Bấm nhập: $20\cos \left( 2x.\frac{1}{12}+shift\cos \left( 10\sqrt{3}\div 20 \right) \right)$ rồi bấm = sẽ được 10.

Bấm nhập: $20\cos \left( 2\pi .\frac{1}{12}-shift\cos \left( 10\sqrt{3}\div 20 \right) \right)$ rồi bầm = sẽ được 20.

Nếu tính vận tốc thì bấm máy tính (chọn đơn vị góc rad)

Bấm nhập: $20\cos \left( 2x.\frac{1}{12}+shift\cos \left( 10\sqrt{3}\div 20 \right) \right)$ rồi bấm = sẽ được  − 108,8.

Bấm nhập: $20\cos \left( 2\pi .\frac{1}{12}-shift\cos \left( 10\sqrt{3}\div 20 \right) \right)$ rồi bầm = sẽ được 0.

Hướng dẫn

 

${{x}_{\left( t+\frac{1}{3} \right)}}=A\cos \pi \left( t+\frac{1}{3} \right)=A\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)=A\cos \pi t.\cos \frac{\pi }{3}-A\sin \pi t.\sin \frac{\pi }{3}=7\left( cm \right)$

Bấm máy tính (chọn đơn vị góc rad):

Tính A trước: $A=\sqrt{x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}=2\sqrt{13}\left( cm \right)$

Bấm nhập: $2\sqrt{13}\cos \left( \pi .\frac{1}{3}-shift\cos \left( \frac{2}{2\sqrt{13}} \right) \right)$ rồi bấm = sẽ được 7

$\Rightarrow {{x}_{2}}=7\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn A.

Hướng dẫn

\[{{v}_{\left( t+\frac{1}{3} \right)}}=-\pi A\sin \left( t+\frac{1}{2} \right)=-\pi A\sin \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)=-\pi A\sin \pi t.\cos \frac{\pi }{3}-\pi A\cos \pi t.\sin \frac{\pi }{3}\]

$=\pi \sqrt{3}\left( cm/s \right)\approx 5,44\left( cm/s \right)\Rightarrow $ Chọn C.

Bấm máy tính (chọn đơn vị góc rad):

Tính A trước: $A=\sqrt{x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}=2\sqrt{3}\left( cm \right)$

Bấm nhập: $-2\pi \sqrt{13}\sin \left( \pi \,x\,\frac{1}{3}-shift\cos \left( \frac{2}{2\sqrt{13}} \right) \right)$ rồi bấm= sẽ được 5,44 $\Rightarrow $ Chọn C.

Hướng dẫn

Hướng dẫn

${{x}_{\left( t+\frac{1}{2} \right)}}=A\cos 4\pi \left( t+0,875 \right)=A\cos \left( 4\pi +7.\frac{\pi }{2} \right)=A\sin 4\pi t=-\sqrt{3}\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn B

Hướng dẫn

$\Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=1\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn A.

Hướng dẫn

$\Rightarrow m=\frac{k}{{{\omega }^{2}}}=1\left( kg \right)\Rightarrow $ Chọn D.

Hướng dẫn

Vì x, v vuông pha nhau mà hai thời điểm lại vuông ${{t}_{2}}-{{t}_{1}}=\left( 2n+1 \right)T/4$ nên $\omega =\left| \frac{{{v}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right|=\left| \frac{{{v}_{2}}}{{{x}_{1}}} \right|=\frac{50}{5}=10\left( rad/s \right)$

Độ dãn của lò xo ở vị ở VTCB: $\Delta {{l}_{0}}=\frac{mg}{k}=\frac{g}{{{\omega }^{2}}}=0,1\left( m \right)\Rightarrow $ Chọn C.

Hướng dẫn

Vì ${{t}_{2}}-{{t}_{1}}=2,75=\left( 2x5+1 \right)\frac{T}{4}=\left( 2n+1 \right)\frac{T}{4}\Rightarrow n=5:$ là số lẻ nên

 ${{v}_{2}}=+\omega {{x}_{1}}=-12\pi \left( cm/s \right)\Rightarrow $ Chọn C.

Bài viết gợi ý: