Bài toán tính quãng đường đi được trong dao động điều hòa

I- Một số điểm cần nhớ để thuận tiện trong quá trình giải

- t = T => S = 4A

- t = T/2 => S = 2A

- t = T/4 => S = A

II- Dạng bài tính quãng đường trong giao động điều hòa

Dạng 1: Bài toán xác định quãng đường đi được trong khoảng thời gian ∆t

Bước 1: Tính ∆φ; ∆φ = ω. ∆t

Bước 2: Xoay thêm góc ∆φ kể từ vị trí t = 0 (s)

Bước 3: Tính quãng ñường bằng cách lấy hình chiếu trên trục cos

Dạng 2: Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 đến t2

Bước 1: Tìm ∆t ( ∆t = t₂ – t₁ )

Bước 2: ∆t / T

ð ∆t = n.T + t₃ => t₂ = t₁ + n.T + t₃

Bước 3: Tìm S₃; S₃ là quãng đường ứng với thời gian t₃ kể từ t₁

Bước 4: Tìm quãng đường. S = n.4A + S₃

III- Ví dụ minh họa

Câu 1: Một vật giao động điều hòa theo phương trình:

x = 1,25cos(2πt - π/12) (cm) (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t = 2,5s kể từ lúc bắt đầu dao động là:

A. 7,9 cm

B. 22,5 cm

C. 7,5 cm

D. 12,5 cm

Hưỡng dẫn

T = 2π / ω = 1

Theo đề có: t = 2,5 = T + T + $\frac{T}{2}$

ð S = 4A + 4A + 2A = 12,5

Câu 2: Cho dao động x = 6cos(5πt – π/4) cm). Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁ = $\frac{7}{60}$ s đến t₂ = 6,73 s ?

A. 384 cm

B. 397 cm

C. 384,5 cm

D. 397,5 cm

Hướng dẫn

T = 2π / ω = 0,4

∆t / T = 248/15 => ∆t = 16T + $\frac{8}{15}$ T

Trong t3 = $\frac{8}{15}$ T :

Thay t1 vào x => x1 = 3

ð S3 = 3 + 6 + (6 – 1,875) = 13,15

ð S = 16.4.6 + 13,15 = 397,5

IV- Bài tập tự luyện

Câu 1: Một vật nhỏ dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Quãng đường đi được trong nT là?

A. nA

B. 2nA

C. 3nA

D. 4nA

Hướng dẫn:

Ta có : t = T => s = 4A

Vậy t = nT => s = n4A

Câu 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa có biên độ A, chu kỳ T, ở thời điểm ban đầu t₀ = 0 vật đang ở vị trí biên. Quãng đường vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = T/4 là?

A. A/2

B. A

C. 2A

D. 4A

Hướng dẫn:

Vật ở vị trí biên

Ta có: t = T/4 => s = A

Câu 3: Một vật giao động điều hòa với chu kì T và biên độ A. Ở thời điểm ban đầu t₀ = 0 vật đang ở vị trí biên, phát biểu nào sau đây là sai?

A. Sau T/8 vật đi được quãng đường A/2	B. Sau T/4 vật đi được quãng đường A
C. Sau T/2 vật đi được quãng đường 2A	D. Sau T vật đi được quãng đường 4A

Hướng dẫn:

Vật ở vị trí biên

Ta có: t = T => s = 4A

t = T/2 => s = 2A

t = T/4 => s = A

t = T/8 => s = A - $\frac{\sqrt{2}}{2}$ A

Câu 4: Một vật giao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt + π/3) cm. Quãng đường mà vật đi được trong thời gian 3s.

A. 48cm

B. 15cm

C. 56 cm

D. 32cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 1

Theo đề ta có t = 3 = 3T

ð S = 3.4A = 48 (cm)

Câu 5: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox ( O là vị trí cân bằng ) có phương trình dao động x = 7cos(2πt - π/3) cm (t tính bằng s). Tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 5,5s.

A. 93 cm

B. 105 cm

C. 154 cm

D. 140 cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 1

Theo đề ta có: t = 5 = 5T + $\frac{1}{2}$ T

ð S = 5.4A + 2A = 154 cm

Câu 6: Một vật giao động điều hòa theo phương trình x = 6cos(4πt + π/3) cm. Tính quãng đường vật đi được sau t = 1(s) kể từ thời điểm ban đầu.

A. 24 cm

B. 60 cm

C. 64 cm

D. 48 cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 0,5

Theo đề ta có: t = 1 = 2T

ð s = 2.4A = 48 cm

Câu 7: Li độ của một vật giao động điều hòa có biểu thức x = 8cos(2πt – π) cm. Độ dài quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian ∆t = 8/3 (s) tính từ thời điểm ban đầu là:

A. 84

B. 82

C. 80

D. 80 + $2\sqrt{3}$

Hướng dẫn:

t₀= 0 => x₀= -8

T = 2π / ω = 1

Theo đề ta có t = 8/3 = 2T + $\frac{1}{2}$ T + $\frac{1}{6}$ T

ð S = 2.4A + 2A + $\frac{A}{2}$ = 64 + 16 + 4 = 84

Câu 8: Một vật giao động điều hòa với phương trình x = Acos(ω t + π/3) cm. Biết quãng đường vật đi được trong thời gian 1s là 2A và trong $\frac{2}{3}$ s đầu tiên là 9cm. Tính giá trị của A và ω ?

A. 9 cm và π rad/s	B. 12 cm và 2 π rad/s
C. 6 cm và π rad/s	D. 12 cm và π rad/s

Hướng dẫn:

Tại t₀ = 0 => x₀= A/2

Theo đề ta có: s = 2A => t = $\frac{T}{2}$ = 1 => T = 2

Mà T = 2π / ω = 2 => ω = π

Theo đề ta có : t = $\frac{2}{3}$ = $\frac{T}{4}$ + $\frac{T}{12}$

ð S = A + $\frac{A}{2}$ = 9 => A =6

Câu 9: Một vật giao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt + π/3) cm. Xác định quãng đường vật đi được sau t = $\frac{7T}{12}$ (s) kể từ thời điểm ban đầu?

A. 12 cm

B. 10 cm

C. 20 cm

D. 12,5 cm

Hướng dẫn:

t₀= 0 => x₀= $\frac{5}{2}$

Theo đề ta có : t = $\frac{7T}{12}$ = $\frac{T}{2}$ + $\frac{T}{12}$

ð S = 2A + $\frac{A}{2}$ = 10 + 2,5 = 12,5 cm

Câu 10: Một vật giao động điều hòa với phương trình x = Acos(6πt + π/3) cm. Sau khoảng thời gian ∆t = $\frac{7T}{12}$ vật đi được quãng được s = 10 cm. Tìm biên độ giao động của vật?

A. 5 cm

B. 4 cm

C. 3 cm

D. 6 cm

Hướng dẫn:

t₀= 0 => x₀= $\frac{A}{2}$

Theo đề ta có : t = $\frac{7T}{12}$ = $\frac{T}{2}$ + $\frac{T}{12}$

ð S = 2A + $\frac{A}{2}$ = 10 => A = 4

Câu 11: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 20cos(πt - 3π/4) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁ = 0,5s đến t₂ =6s là:

A. 211,7 cm

B. 201,2 cm

C. 101,2 cm

D. 202,2 cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 2

∆t / T = 2,75 => ∆t = 2T + 0,75T

Trong t₃ = 0,75T = 0,5T + $\frac{T}{8}$ + $\frac{T}{8}$

Thay t1 = 0,5 vào x => x1 = $10\sqrt{2}$

S₃ = (20 - $10\sqrt{2}$ ) + 2A + (20 - $10\sqrt{2}$ ) = 51,7 => S = 2.4A +51,7 = 211,7

Câu 12: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 8cos(2πt - 2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁ = 1s đến t₂ = 29/6s là:

A. 124 cm

B. 200 cm

C. 152 cm

D. 100 cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 1

∆t / T = $\frac{23}{6}\frac{23}{6} $=> ∆t = 3T +$ \frac{T}{2} $+$ \frac{T}{3}$

Trong t₃ = $\frac{T}{3}$ = $\frac{T}{12}$ + $\frac{T}{4}$

Thay t1 = 1 vào x => x1 = -4

ð S₃ = A + 0,5A = 12 cm

ð S = 3.4A + 2A +12 = 124

Câu 13: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(8πt + π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁= 0 đến t₂= 1,5s là:

A. 20 cm

B. 135 cm

C. 15 cm

D. 120 cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = ¼

∆t / T = 6 => ∆t = 6T

ð S = 4.6A = 120 cm.

Câu 14: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 6cos(4πt + π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁= 1,5 đến t₂= 3s là:

A. 38,42 cm

B. 39,99 cm

C. 39,8 cm

D. Đáp án khác

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 0,5

∆t / T = 3 => ∆t = 3T

ð S = 3.4A = 72 cm.

Câu 15: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 3cos(4πt - π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁= 0 đến t₂= 2/3s là:

A. 15 cm

B. 13,5 cm

C. 21 cm

D. 16,5 cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 0,5

∆t / T = $\frac{4}{3}$ => ∆t = T + $\frac{T}{3}$

Trong t₃ = $\frac{T}{3}$ = $\frac{T}{6}$ + $\frac{T}{6}$

Thay t1 = 0 vào x => x1 = 1,5

ð S₃= 1,5 + 1,5 = 3

ð S = 4A + 3 = 15

Câu 16: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(πt + 2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁= 2 đến t₂= 19/3s là:

A. 42,5 cm

B. 35 cm

C. 22,5 cm

D. 45 cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 2

∆t / T = $\frac{13}{6}$ => ∆t = 2T + $\frac{T}{6}$

Trong t₃ = $\frac{T}{6}$

Thay t1 = 2 vào x => x1 = -2,5

ð S₃= 2,5

ð S = 2.4A + 2,5 = 42,5

Câu 17: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(πt + 2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁= 2 đến t₂= 17/3s là:

A. 25 cm

B. 35 cm

C. 30 cm

D. 45 cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 2

∆t / T = $\frac{11}{6}$ => ∆t = T + $\frac{T}{2}$ + $\frac{T}{3}$

Trong t₃ = $\frac{T}{3}$ = $\frac{T}{6}$ + $\frac{T}{6}$

Thay t1 = 2 vào x => x1 = -2,5

ð S₃= 2,5 + 2,5 = 5

ð S = 4A + 2A + 5 = 35

Câu 18: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(πt + 2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁= 2 đến t₂= 29/6s là:

A. 25 cm

B. 35 cm

C. 27,5 cm

D. 45 cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 2

∆t / T = $\frac{17}{12}$ => ∆t = T + $\frac{5T}{12}$

Trong t₃ = $\frac{5T}{12}$ = $\frac{T}{6}$ + $\frac{T}{4}$

Thay t1 = 2 vào x => x1 = -2,5

ð S₃= 2,5 + 2,5 + 2,5 = 7,5

ð S = 4A + 7,5 = 27,5

Câu 19: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(πt - π/2) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁= 2 đến t₂= 4,25s là:

A. 16 + $\sqrt{2}$ cm

B. 18 cm

C. 16 + $2\sqrt{2}$ cm

D. 16 + $2\sqrt{3}$ cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 2

∆t / T = $\frac{9}{8}$ => ∆t = T + $\frac{T}{8}$

Trong t₃ = $\frac{T}{8}$

Thay t1 = 2 vào x => x1 = 0

ð S₃= $2\sqrt{2}$

ð S = 4A + $2\sqrt{2}$ = 16 + $2\sqrt{2}$

Câu 20: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình x = 10cos(2πt + π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁= 0s đến t₂= 13/12 s là:

A. 15 cm

B. 40 cm

C. 45 cm

D. 20 cm

Hướng dẫn:

T = 2π / ω = 1

∆t / T = $\frac{13}{12}$ => ∆t = T + $\frac{T}{12}$