Bài Toán Về Biến Thiên Chu Kì Con Lắc

BÀI TOÁN VỀ BIẾN THIÊN CHU KÌ CON LẮC

(SỰ NHANH CHẬM ĐỒNG HỒ QUẢ LẮC)

I. CHU KÌ THAY ĐỔI LỚN

Ví dụ 1: Một con lắc đơn khi dao động trên mặt đất, chu kì dao động 2 s. Dem con lắc lên Mặt Trăng mà không thay đổi chiều dài thì chu kì dao động của nó là bao nhiêu. Biết rằng khối lượng Trái Đất gấp 81 lần khối lượng Mặt Trăng, bán kính Trái Đất bằng 3,7 lần bán kính Mặt Trăng.

A. 4,865 s B. 4,566 s C. 4,685 s D. 4,658

Hướng dẫn:

$\frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{M}{M'}}.\frac{R'}{R}=\sqrt{81}.\frac{1}{3,7}\xrightarrow{T=2s}T'\simeq 4,865s$ $\to$ Chọn A

Ví dụ 2: Một con lắc đơn khi dao động trên mặt đất tại nơi có gia tốc trọng trường 9,819 $m/{{s}^{2}}$ chu kì dao động 2 s. Đưa con lắc đơn đến nơi khác có gia tốc trọng trường 9,793 $m/{{s}^{2}}$ mà không thay đổi chiều dài thì chu kì dao động là:

A. 2,002 s B. 2,003 s C. 2,004 s D. 2,005 s

Hướng dẫn:

$\frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{g}{g'}}\to \frac{T'}{2}=\sqrt{\frac{9,819}{9,793}}\to T'\approx 2,003$ (s) $\to$ Chọn B

II. CHU KÌ THAY ĐỔI NHỎ (sự nhanh chậm đồng hồ quả lắc)

Đồng hồ chạy đúng có chu kì ${{\text{T}}_{\text{0}}}$ với chiều dài dây treo là ${{\text{l}}_{\text{0}}}$ , gia tốc ${{\text{g}}_{\text{0}}}$ trên mặt đất ở nhiệt độ ${{\text{t}}_{\text{0}}}$ .

Đồng hồ chạy sai có chu kì T với chiều dài dây treo là l, gia tốc rơi tự do g, ở độ cao (hoặc độ sâu) ${{\text{h}}_{\text{c}}}$ (hoặc ${{\text{h}}_{\text{s}}}$ ) ở nhiệt độ t.

Trong khoảng thời gian t, đồng hồ chạy sai chỉ thời gian: $\frac{t}{T}.{{T}_{0}}$

Đồng hồ chạy sai: $\Delta t=\frac{t}{T}.{{T}_{0}}-t=t.\frac{{{T}_{0}}-T}{T}=t.\frac{\Delta T}{T}$

** $\Delta t>0$ : đồng hồ chạy nhanh

$\Delta t>0$ : đồng hồ chạy chậm

Công thức gần đúng:

1. Biến thiên chu kì do thay đổi nhiệt độ:

Chiều dài dây treo ở nhiệt độ t: $\text{l = }{{\text{l}}_{{{\text{0}}^{\text{0}}}\text{C}}}\text{(1+ }\!\!\alpha\!\!\text{ t)}$ ; ${{\text{l}}_{{{\text{0}}^{\text{0}}}\text{C}}}$ là chiều dài con lắc ở nhiệt độ ${{\text{0}}^{\text{0}}}\text{C}$ , $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ là hệ số nở dài dây treo.

${{T}_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{0}}}{{{g}_{0}}}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{{{0}^{0}}C}}(1+\alpha {{t}_{0}})}{{{g}_{0}}}}$ ; $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{{{g}_{0}}}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{{{0}^{0}}C}}(1+\alpha t)}{{{g}_{0}}}}$

$\to \frac{{{T}_{0}}}{T}=\frac{{{\left( 1+\alpha {{t}_{0}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}{{{(1+\alpha t)}^{\frac{1}{2}}}}\simeq \left( 1+\frac{1}{2}\alpha {{t}_{0}} \right)\left( 1-\frac{1}{2}\alpha t \right)=1-\frac{\alpha }{2}(t-{{t}_{0}})-\frac{{{\alpha }^{2}}}{4}.t.{{t}_{0}}\approx 1-\frac{\alpha }{2}(t-{{t}_{0}})$

$\to \frac{\Delta T}{T}=\frac{{{T}_{0}}-T}{T}=-\frac{\alpha \Delta t}{2}$

Thời gian đồng hồ chạy sai trong khoảng thời gian t là $\Delta t=t.\frac{\Delta T}{T}=t.\left( -\frac{\alpha \Delta t}{2} \right)$

2. Biến thiên chu kì do cắt (nối) một đoạn rất nhỏ ( $\Delta l$ ): $l={{l}_{0}}+\Delta l$

* $\Delta l<0$ : cắt bớt

$\Delta l>0$ : nối thêm

${{T}_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{0}}}{{{g}_{0}}}}$ , $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{{{g}_{0}}}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{0}}+\Delta l}{{{g}_{0}}}}$

$\to \frac{{{T}_{0}}}{T}=\sqrt{\frac{{{l}_{0}}}{{{l}_{0}}+\Delta l}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\Delta l}{{{l}_{0}}}}}={{\left( 1+\frac{\Delta l}{{{l}_{0}}} \right)}^{\frac{-1}{2}}}\simeq 1-\frac{\Delta l}{2{{l}_{0}}}$

$\to \frac{\Delta T}{T}=\frac{{{T}_{0}}-T}{T}=-\frac{\Delta l}{2{{l}_{0}}}$

Thời gian đồng hồ chạy sai trong khoảng thời gian t là $\Delta t=t.\frac{\Delta T}{T}=t.\left( -\frac{\Delta l}{2{{l}_{0}}} \right)$

3. Biến thiên chu kì do thay đổi vĩ độ: $g={{g}_{0}}+\Delta g$

${{T}_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{0}}}{{{g}_{0}}}}$ , $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{{{g}_{0}}}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{{{g}_{0}}+\Delta g}}$

$\to \frac{{{T}_{0}}}{T}=\sqrt{\frac{{{g}_{0}}+\Delta g}{{{g}_{0}}}}=\sqrt{1+\frac{\Delta g}{{{g}_{0}}}}\simeq 1+\frac{\Delta g}{2{{g}_{0}}}$

$\to \frac{\Delta T}{T}=\frac{{{T}_{0}}-T}{T}=\frac{\Delta g}{2{{g}_{0}}}$

Thời gian đồng hồ chạy sai trong khoảng thời gian t là $\Delta t=t.\frac{\Delta T}{T}=t.\left( \frac{\Delta g}{2{{g}_{0}}} \right)$

4. Biến thiên chu kì do thay đổi độ cao:

${{T}_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{0}}}{{{g}_{0}}}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{0}}{{R}^{2}}}{GM}}$ , $T=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{0}}}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{0}}{{\left( R+{{h}_{c}} \right)}^{2}}}{GM}}$

$\to \frac{{{T}_{0}}}{T}=\frac{R}{R+{{h}_{c}}}=\frac{1}{1+\frac{{{h}_{c}}}{R}}={{\left( 1+\frac{{{h}_{c}}}{R} \right)}^{-1}}=1-\frac{{{h}_{c}}}{R}$

$\to \frac{\Delta T}{T}=\frac{{{T}_{0}}-T}{T}=-\frac{{{h}_{c}}}{R}$

Thời gian đồng hồ chạy sai trong khoảng thời gian t là $\Delta t=t.\frac{\Delta T}{T}=t.\left( -\frac{{{h}_{c}}}{R} \right)$

5. Biến thiên chu kì do đưa con lắc xuống độ sâu ${{h}_{s}}$ :

${{g}_{0}}=\frac{GM}{{{R}^{2}}}=\frac{G.\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}.D}{{{R}^{2}}}=\frac{4}{3}\pi .G.D.R$ (D là khối lượng riêng Trái Đất)

$g=\frac{GM'}{{{\left( R-{{h}_{s}} \right)}^{2}}}=\frac{G.\frac{4}{3}\pi .{{\left( R-{{h}_{s}} \right)}^{3}}.D}{{{\left( R-{{h}_{s}} \right)}^{2}}}=\frac{4}{3}\pi .G.D.\left( R-{{h}_{s}} \right)$

$\to \frac{{{T}_{0}}}{T}=\sqrt{\frac{R-{{h}_{s}}}{R}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{R-{{h}_{s}}+{{h}_{s}}}{R-{{h}_{s}}}}}={{\left( 1+\frac{{{h}_{s}}}{R-{{h}_{s}}} \right)}^{\frac{-1}{2}}}\simeq 1-\frac{{{h}_{s}}}{2\left( R-{{h}_{s}} \right)}\simeq 1-\frac{{{h}_{s}}}{2R}$

$\to \frac{\Delta T}{T}=\frac{{{T}_{0}}-T}{T}=-\frac{{{h}_{s}}}{2R}$

Thời gian đồng hồ chạy sai trong khoảng thời gian t là $\Delta t=t.\frac{\Delta T}{T}=t.\left( -\frac{{{h}_{s}}}{2R} \right)$

6. Biến thiên chu kì do lực Acsimet:

$\frac{{{T}_{0}}}{T}=\sqrt{\frac{g}{{{g}_{0}}}}=\sqrt{\frac{{{g}_{0}}-\frac{d{{g}_{0}}}{D}}{{{g}_{0}}}}={{\left( 1-\frac{d}{D} \right)}^{\frac{1}{2}}}=1-\frac{d}{2D}$

$\to \frac{\Delta T}{T}=\frac{{{T}_{0}}-T}{T}=-\frac{d}{2D}$

Thời gian đồng hồ chạy sai trong khoảng thời gian t là $\Delta t=t.\frac{\Delta T}{T}=t.\left( -\frac{d}{2D} \right)$

Tổng quát: Thời gian đồng hồ chạy sai trong khoảng thời gian t là:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một con lắc đơn dao động nhỏ với chu kì 4,002 (s). Nếu tăng chiều dài 0,2% và giảm gia tốc trọng trường 0,3% thì chu kì dao động bằng:

A. 4,010 B. 4, 009 C. 4,012 D. 4,014

Hướng dẫn:

Ví dụ 2: Một con lắc đơn với quả cầu làm bằng chất có khối lượng riêng D, dao động điều hòa trong chân không. Nếu đưa ra không khí (không khí có khối lượng riêng d = D/500) thì chu kì dao động điều hòa tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm? Bỏ qua mọi ma sát.

A. giảm 0,1% B. giảm 0,05% C. tăng 0,05% D. tăng 0,1%

Hướng dẫn:

Ví dụ 3: Ở ${{23}^{0}}C$ tại mặt đất, một con lắc dao động điều hòa với chu kì T. Khi đưa con lắc lên cao 448 m thì chu kì vẫn là T. Biết hệ số nở dài của thanh treo con lắc là ${{2.10}^{-5}}$ (1/K), bán kính Trái Đất là 6400 km.Nhiệt độ ở độ cao này là:

A. ${{10}^{0}}C$ B. ${{12}^{0}}C$ C. ${{14}^{0}}C$ D. ${{16}^{0}}C$

Hướng dẫn:

$\Delta T=-\frac{1}{2}\alpha (t-{{t}_{0}})-\frac{h}{R}=0\to -\frac{1}{2}{{.2.10}^{-5}}(t-23)-\frac{448}{{{6400.10}^{3}}}=0\to t={{16}^{0}}C\to$ Chọn D

Ví dụ 4: Người ta đưa một đồng hồ quả lắc chạy đúng ở mặt đất lên độ cao h = 0,5 km, nhiệt độ không đổi. Biết bán kính Trái Đất là 6400 km. Mỗi ngày đêm đồng hồ nhanh chậm:

A. Nhanh 6,75 s B. Chậm 6,75 s C. Nhanh 6,5 s D. Chậm 6,5 s

Hướng dẫn:

t = 1 ngày = 24.3600 (s)

$\Delta t=t.\frac{\Delta T}{T}=t.\left( -\frac{h}{R} \right)=24.3600.\left( -\frac{0,5}{6400} \right)=-6,75$ (s) $\to$ Chọn B

Ví dụ 5: Đồng hồ quả lắc chạy đúng ở Hà Nội với chu kì 2 s, ${{g}_{1}}$ = 9,7926 $m/{{s}^{2}}$ và nhiệt độ ${{t}_{1}}={{10}^{0}}C$ . Khi chuyển đồng hồ vào Sài Gòn có ${{g}_{2}}$ = 9,7867 $m/{{s}^{2}}$ và nhiệt độ ${{t}_{2}}={{33}^{0}}C$ . Biết hệ số nở dài của thanh treo con lắc là ${{2.10}^{-5}}$ (1/K). Muốn đồng hồ chạy đúng thì tăng, giảm chiều dài dây treo như thế nào?

A. Giảm 1,05 cm B. Tăng 1,05 cm C. Giảm 1,05 mm D. Tăng 1,05 mm

Hướng dẫn:

$\Delta T=0\to -\frac{\Delta l}{2{{l}_{1}}}+\frac{{{g}_{2}}-{{g}_{1}}}{2{{g}_{1}}}-\frac{\alpha \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}{2}=0$

$\xrightarrow{{{l}_{1}}={{g}_{1}}.{{\left( \frac{T}{2\pi } \right)}^{2}}=0,9922}\Delta l=-0,00105$ (m) = -1,05 (mm) $\to$ Chọn C

Ví dụ 6: Cho một con lắcđơn treo ở đầu một sợi dây mảnh dài bằng kim loại, vặt nặng làm bằng chất có khối lượng riêng D = 8 $g/c{{m}^{3}}$ . Khi dao động nhỏ trong bình chân không đặt trên mặt đất thì chu kì dao động là T. Cho con lắc đơn dao động trong bình chứa một chất khí có khối lượng riêng 0,002 ( $g/c{{m}^{3}}$ ), đồng thời đưa bình lên độ cao h so với mặt đất. Ở trên đó nhiệt độ thấp hơn so với mặt đất là ${{20}^{0}}C$ thì thấy chu kì dao động vẫn là T.Biết hệ số nở dài của dây treo là 2,32. ${{10}^{-5}}$ (1/K). Coi Trái Đất hình cầu, bán kính là 6400 km. Xác định h.

A. 0,68 km B. 0,78 km C. 0,88 km D. 0,98 km

Hướng dẫn:

$\Delta T=0\to -\frac{h}{R}-\frac{\alpha \Delta t}{2}-\frac{d}{2D}=0$

$\to -\frac{h}{6400}-\frac{2,{{32.10}^{-5}}\left( -20 \right)}{2}-\frac{0,002}{2.8}=0\to h=0,6848$ (km)

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì 1 s trên mặt đất. Bán kính của Trái Đất là 6400 km. Nếu đưa nó lên độ cao 20 km (xem chiều dài không thay đổi) thì chu kì dao động điều hòa của nó sẽ:

A. tăng 0,156% B. giảm 0,156% C. tăng 0,3125% D. giảm 0,3125%

Bài 2: Một con lắc đơn dao động nhỏ với chu kì 2,032 s. Nếu giảm chiều dài 0,3% và giảm gia tốc trọng trường 0,3% thì chu kì dao động bằng bao nhiêu?

A. 2,023 s B. 2,019 s C. 2,016 s D. 2,032 s

Bài 3: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì 2,4495 s trên mặt đất. Đem con lắc lên Mặt Trăng mà không thay đổi chiều dài thì chu kì dao động của nó là bao nhiêu? Biết gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng bằng 1/6 gia tốc rơi tự do trên Trái Đất.

A. 0,5 s B. 1 s C. 2 s D. 4 s

Bài 4: Một con lắc đơn đếm giây có chu kì bằng 2 s ở nhiệt độ ${{0}^{0}}C$ và ở nơi có gia tốc trọng trường là 9,8 $m/{{s}^{2}}$ . Tính chu kì con lắc ở cùng vị trí nhưng có nhiệt độ ${{25}^{0}}C$ . Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là $1,{{2.10}^{-5}}$ (1/K).

A. 2,32 B. 2,032 C. 2,003 D. 2,0003

Bài 5: Người ta nâng một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao 0,64 km. Biết bán kính Trái Đất là 0,64 km, hệ số nở dài của thanh treo con lắc là . Hỏi nhiệt độ phải thay đổi thế nào để chu kì không thay đổi?

A. tăng ${{10}^{0}}C$ B. giảm ${{10}^{0}}C$ C. tăng ${{5}^{0}}C$ D. giảm ${{5}^{0}}C$

Bài 6: Một đồng hồ con lắc chạy đúng giờ khi đặt trên mặt đất ở nhiệt độ ${{25}^{0}}C$ . Biết hệ số dãn nở vì nhiệt của dây treo con lắc là ${{10}^{-4}}{{K}^{-1}}$ , bán kính Trái Đất là 6400 km. Nếu đưa con lắc xuống độ sâu 6,4 km so với bề mặt Trái Đất và ở nhiệt độ ${{45}^{0}}C$ thù mỗi ngày đêm đống hồ sẽ chạy:

A. nhanh 129,6 s B. chậm 86,4 s C. nhanh 86,4 s D. chậm 129,6 s

Bài 7: Một đồng hồ quả lắc được xem như con lắc đơn mỗi ngày chạy nhanh 86,4 s. Phải điều chỉnh chiều dài của dây treo như thế nào để đồng hồ chạy đúng?

A. tăng 0,2% B. giảm 0,2% C. tăng 0,4% D. giảm 0,4%

Bài 8: Một đồng hồ quả lắc được điều khiển bởi con lắc đơn chạy đúng giờ khi đặt ở địa cực Bắc có gia tốc trọng trường 9,832 $m/{{s}^{2}}$ . Đưa đồng hồ về xích đạo có gia tốc trọng trường 9,78 $m/{{s}^{2}}$ thì trong một ngày đêm nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Biết nhiệt độ không thay đổi.

A. chậm 229,38 s B. nhanh 210,72 s C. nhanh 60,72 s D. chậm 210,01 s

Bài 9: Dùng con lắc đơn có chiều dài 1 m để điều khiển đồng hồ quả lắc thì đồng hồ chạy đúng giờ. Do sơ suất khi bảo dưỡng nên đã làm giảm chiều dài thanh treo 0,2 mm. Hỏi đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu sau một ngày đêm?

A. nhanh 20,25 s B. nhanh 8,64 s C. nhanh 10,52 s D. chậm 10,52 s

Bài 10: Cho một con lắc đơn treo ở đầu một sợi dây mảnh dài bằng kim loại, vật nặng làm bằng chất có khối lượng riêng 8 $g/c{{m}^{3}}$ . Khi dao động nhỏ trong bình chân không thì chu kì dao động là 2 s. Cho con lắc đơn dao động trong bình chứa một chất khí thì thấy chu kì tăng một lượng 250 $\mu s$ . Khối lượng riêng của chất khí đó là: