ĐẠI CƯƠNG VỀ CON LẮC ĐƠN

Đại cương con lắc đơn

A.Kiến thức cơ bản

*  Khảo sát con lắc dao động điều hòa:

Điều kiện để con lắc dao động điều hòa là góc lệch cực đại của dây treo \[{{\alpha }_{0}}\le {{10}^{0}}\]

(hay \[{{\alpha }_{0}}<<1\]). Lúc này có thể coi vật nặng dao động điều hòa trên đoạn thẳng BB’:

+ Phương trình dao động của con lắc: \[s={{S}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )\]

Với \[S=\alpha l\] là li độ dao động

       \[{{S}_{0}}={{\alpha }_{0}}l\]là biên độ dao động

\[=>\]Phương trình dao động theo li độ góc \[\alpha ={{\alpha }_{0}}\cos (\omega t+\varphi )\]

Với \[\alpha \] là li độ dao động

       \[{{\alpha }_{0}}\] là biên độ dao động

+ Phương trình sao động vận tốc: \[v={s}'=-\omega {{S}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )\]

ð \[\left| {{v}_{\max }} \right|=\omega {{S}_{0}}=\sqrt{gl}{{\alpha }_{0}}\]: Khi vật đi qua vị trí cân bằng

+Phương trình gia tốc: \[a={v}'=-{{\omega }^{2}}{{S}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )\]

ð \[\left| {{a}_{\max }} \right|={{\omega }^{2}}{{S}_{0}}=g{{\alpha }_{0}}\]( ở hai biên)

*Lực kéo về của con lắc đơn: \[{{F}_{kv}}=ma=-m{{\omega }^{2}}s=-ma\alpha \]

ð \[\left| {{F}_{kv\max }} \right|=m{{\omega }^{2}}{{S}_{0}}=mg{{\alpha }_{0}}\]

* Năng lượng dao động điều hòa của con lắc đơn:

Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng.

+Thế năng: \[{{E}_{t}}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{s}^{2}}}{2}=\frac{mgl{{\alpha }^{2}}}{2}\]

+ Động năng: \[{{E}_{d}}=\frac{m{{v}^{2}}}{2}\]

+ Cơ năng: \[E={{E}_{t}}+{{E}_{d}}=>E={{E}_{t\max }}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{S}_{0}}^{2}}{2}=\frac{mgl{{\alpha }_{0}}^{2}}{2}\]và \[E={{E}_{d\max }}=\frac{mv_{\max }^{2}}{2}\]

Chú ý: Khi \[{{E}_{d}}=n{{E}_{t}}=>s=\pm \frac{{{S}_{0}}}{\sqrt{n+1}};\alpha =\pm \frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{n+1}};v=\pm \sqrt{\frac{n}{n+1}}{{v}_{\max }}\]

B. BÀI TẬP:

Hướng dẫn:

Tần số góc \[\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\,\]rad/s.

Khi \[\alpha =0,1\] rad \[=>s=\alpha l=2\,cm\];\[v=10\sqrt{2}\] cm/s

ð Biên độ \[{{S}_{0}}=\sqrt{{{s}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{^{2}}}}=2\sqrt{2}\](cm)

Hướng dẫn:

Động năng bằng thế năng khi \[\alpha =\pm \frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{2}}\]

Con lắc đang chuyển động nhanh dần theo chiều dương => Vật nặng đang từ biên âm về vị trí cân bằng \[=>\alpha =-\frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{2}}\].

Hướng dẫn:

+Thời gian giữa hai lần liên tiếp vật qua vị trí cân bằng là \[\frac{T}{2}=1\,s\]

ð T=2 s => Chiều dài dây treo là l=1 m

+Quãng đường vật đi được khi đó \[S=2{{S}_{0}}=10\,cm=>{{S}_{0}}=0,05\,m\]

ð Góc lệch cực đại của dây treo là \[{{\alpha }_{0}}=\frac{{{S}_{o}}}{l}=0,05\,rad\]

Hướng dẫn

Khi góc lệch dây treo bằng nữa góc lệch cực đại (\[\alpha =\frac{{{\alpha }_{0}}}{2}\]) thì \[{{E}_{d}}=3{{E}_{t}}\]

\[=>E=4{{E}_{t}}={{8.10}^{-3}}\,J\]

Hướng dẫn:

Khi \[\alpha =0,1\,rad=>\,s=\alpha l=2\,cm\]

Khi vật đi được quãng đường 4 cm(kể từ lúc truyền vận tốc cho con lắc, vận tốc 

\[{{v}_{0}}\] theo phương vuông góc sợi dây về vị trí cân bằng) thì li độ s=-2 cm nên:

\[{{E}_{t}}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{s}^{2}}}{2}=\frac{mgl{{\alpha }^{2}}}{2}={{9,8.10}^{-4}}\,J\]

Hướng dẫn:

\[{{6}^{0}}=\frac{6\pi }{180}=\frac{\pi }{30}\,rad\]

Khi \[{{E}_{t}}=3{{E}_{d}}=>\,{{E}_{d}}=\frac{{{E}_{t}}}{3}\]thì \[\left| v \right|=\sqrt{\frac{n}{n+1}}{{v}_{\max }}=\sqrt{\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}}\omega {{S}_{0}}=\frac{\sqrt{gl}{{\alpha }_{0}}}{2}=0,165\,m/s\]

Hướng dẫn:

Hướng dẫn:

+Cứ sau khi vật nặng đi dược quãng đường ngắn nhất bằng 4 cm thì động năng lại cứ bằng 3 lần thế năng \[=>{{S}_{0}}=4\,cm\]

+Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp tốc ddoojj của ật đạt cực đại là 0,25 s=0,5T => T= 0,5s => \[\omega =4\pi \] rad/s.

+Tốc độ cực đại \[{{v}_{\max }}=\omega {{S}_{0}}=16\pi \,cm/s\]

+Khi \[v=8\pi \,cm/s=0,5{{v}_{\max }}\] thì \[\left| s \right|=\frac{{{S}_{0}}\sqrt{3}}{2}\]

+Khi \[v=8\pi \sqrt{3}\,cm/s=\frac{{{v}_{\max }}\sqrt{3}}{2}\] thì \[\left| s \right|=\frac{{{S}_{0}}}{2}=>\vartriangle {{t}_{\min }}=\frac{T}{6}-\frac{T}{12}=\frac{T}{12}=\frac{1}{24}s\]

Hướng dẫn:

Hướng dẫn:

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1:  Một con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ ( a0 < 150). Câu nào sau đây là sai đối với chu kì của con
lắc ?
A. Chu kì phụ thuộc chiều dài con lắc
B. Chu kì phụ thuộc gia tốc trọng trường nơi có con lắc
C. Chu kì phụ thuộc biên độ dao động
D. Chu kì không phụ thuộc vào khối lượng của con lắc

Câu 2: Khi đưa một con lắc đơn lên cao theo phương thẳng đứng (coi chiều dài của con lắc không
đổi) thì tần số dao động điều hoà của nó sẽ
A. giảm vì gia tốc trọng trường giảm theo độ cao.
B. tăng vì chu kỳ dao động điều hoà của nó giảm.
C. tăng vì tần số dao động điều hoà của nó tỉ lệ nghịch với gia tốc trọng trường.
D. không đổi vì chu kỳ dao động điều hoà của nó không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường

Câu 3: (CĐ 2007): Một con lắc đơn gồm sợi dây có khối lượng không đáng kể, không dãn, có chiều dài l và viên bi nhỏ có khối lượng m. Kích thích cho con lắc dao động điều hoà ở nơi có gia tốc trọng trường g. Nếu chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng của viên bi thì thế năng của con lắc này ở li độ góc α có biểu thức là
A. mg l (1 - cosα).       B. mg l (1 - sinα).       C. mg l (3 - 2cosα).     D. mg l (1 + cosα).

Câu 4: Phát biểu nào sau đây là sai khi nói về dao động của con lắc đơn (bỏ qua lực cản của môi
trường)?
A. Khi vật nặng ở vị trí biên, cơ năng của con lắc bằng thế năng của nó.
B. Chuyển động của con lắc từ vị trí biên về vị trí cân bằng là nhanh dần.
C. Khi vật nặng đi qua vị trí cân bằng, thì trọng lực tác dụng lên nó cân bằng với lực căng của dây.
D. Với dao động nhỏ thì dao động của con lắc là dao động điều hòa.

Câu 5: Một con lắc đơn dao động điều hòa. Dây treo có độ dài không đổi. Nếu đặt con lắc tại nơi có gia tốc rơi tự do là \[{{g}_{0}}\] thì chu kỳ dao động là 1s. Nếu đặt con lắc tại nơi có gia tốc rơi tự do là g thì chu kỳ dao động là
A.\[\frac{{{g}_{0}}}{g}\]                            B.\[\frac{g}{{{g}_{0}}}\]                             C.\[\sqrt{\frac{{{g}_{0}}}{g}}\]                 D.\[\sqrt{\frac{g}{{{g}_{0}}}}\]

Câu 6: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là ℓ, dao động điều hòa với biên độ góc a0 (rad). Biên độ dao động của con lắc đơn là

A.\[l{{\alpha }_{0}}\]                                    B.\[\frac{l}{{{\alpha }_{0}}}\]                                 C.\[\frac{{{\alpha }_{0}}}{l}\]                                 D.\[{{\alpha }_{0}}{{l}^{2}}\]

Câu 7: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc a0. Biết khối lượng vật nhỏ của con lắc là m, chiều dài dây treo là , mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng củacon lắc là
A. \[\frac{1}{2}mgl{{\alpha }_{0}}^{2}\]                   B.\[\frac{1}{4}mgl{{\alpha }_{0}}^{2}\]                C.\[mgl{{\alpha }_{0}}^{2}\]              D.\[\frac{1}{8}mgl{{\alpha }_{0}}^{2}\]

Câu 8: Tại một vị trí trên Trái Đất, con lắc đơn có chiều dài 1 dao động điều hòa với chu kì \[{{T}_{1}}\];con lắc đơn có chiều dài 2 ( \[{{l}_{2}}<{{l}_{1}}\]) dao động điều hòa với chu kì \[{{T}_{2}}\]. Cũng tại vị trí đó, con lắc đơn có chiều dài \[{{l}_{1}}-{{l}_{2}}\] dao động điều hòa với chu kì là

A.\[\frac{{{T}_{1}}{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}+{{T}_{2}}}\]                     B.\[\sqrt{T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}\]                        C.\[\frac{{{T}_{1}}{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}-{{T}_{2}}}\]                      D.\[\sqrt{{{T}_{1}}^{2}+T_{2}^{2}}\]

Câu 9: Tại một nơi hai con lắc đơn dao động điều hòa. Trong cùng một khoảng thời gian, người ta thấy con lắc thứ nhất thực hiện được 4 dao động, con lắc thứ hai thực hiện được 5 dao động. Tổng chiều dài của hai con lắc là 164 cm. Chiều dài của mỗi con lắc lần lượt là
A. l1 = 100 m, l2 = 6,4 m.                               B. l1 = 64 cm, l2 = 100 cm .
C. l1 = 1,00 m, l2 = 64 cm                              D. l1 = 6,4 cm, l2 = 100 cm.
Câu 10: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn có chiều dài dao động điều hòa với chu kì 2,83 s. Nếu chiều dài của con lắc là 0,5 thì con lắc dao động với chu kì là
A. 1,42 s.                     B. 2,00 s.                     C. 3,14 s.                     D. 0,71 s. 

Bài viết gợi ý: