Dạng 1: Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng $\left( SAB \right);\left( SBC \right);\left( SAC \right)$ đôi một vuông góc với nhau, diện tích các tam giác SAB,SBC,SAC lần lượt là ${{S}_{1}};{{S}_{2}};{{S}_{3}}$. Khi đó thể tích của khối chóp S.ABC là:
$V=\frac{\sqrt{2{{S}_{1}}.{{S}_{2}}.{{S}_{3}}}}{3}$
Áp dụng: Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng $\left( SAB \right);\left( SBC \right);\left( SAC \right)$ đôi một vuông góc với nhau, diện tích các tam giác SAB,SBC,SAC lần lượt là $15{{a}^{2}};18{{a}^{2}};20{{a}^{2}}$. Khi đó thể tích của khối chóp S.ABC là:
|
|
|
|
Đáp án C
Dạng 2: Cho hình chóp SABC với đường cao SA,hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ vuông góc với nhau, $\overset\frown{BSC}=\alpha ;\overset\frown{ASB}=\beta $.Thể tích khối chóp SABC là:
$V=\frac{S{{B}^{3}}.\sin 2\alpha .\tan \beta }{12}$
Áp dụng: Cho hình chóp đều SABC có SA là đường cao,hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ vuông góc với nhau, $SB=a\sqrt{3};\overset\frown{BSC}=45{}^\circ ;\overset\frown{ASB}=30{}^\circ $.Thể tích khối chóp SABC là:
|
|
|
|
Đáp án A
Dạng 3: Cho hình chóp đều SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Thể tích của khối chóp SABC là:
$V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}$
Áp dụng: Cho hình chóp đều SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và cạnh bên bằng a. Thể tích của khối chóp SABC là:
|
A . $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ |
B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$ |
C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ |
D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ |
Đáp án B
Dạng 4: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc α. Thể tích của khối chóp SABC là:
$V=\frac{{{a}^{3}}\tan \alpha }{24}$
Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc bằng $60{}^\circ $ . Thể tích của khối chóp SABC là:
|
B. $\frac{{{a}^{3}}}{24}$ |
C. $\frac{{{a}^{3}}}{12}$ |
D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ |
Đáp án D
Dạng 5: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với đáy một góc $\beta $ . Thể tích của khối chóp SABC là:
$V=\frac{\sqrt{3}{{b}^{3}}.\sin \beta .{{\cos }^{2}}\beta }{4}$
Dạng 6: Cho hình chóp tam giác đều SABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc $\beta $ . Thể tích của khối chóp SABC là:
$V=\frac{{{a}^{3}}.\tan \beta }{12}$
Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều SABC có các cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc $30{}^\circ $ . Thể tích của khối chóp SABC là:
|
A . $\frac{{{a}^{3}}}{48}$ |
B. $\frac{{{a}^{3}}}{24}$ |
C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ |
D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{36}$ |
Đáp án D
Dạng 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $SA=SB=SC=SD=b$. Thể tích của khối chóp SABCD là:
$V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{4{{b}^{2}}-2{{a}^{2}}}}{6}$
Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a và các cạnh bên bằng nhau và bằng a. Thể tích của khối chóp SABCD là: $$
|
A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$ |
B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$ |
C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$ |
D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ |
Đáp án C
Dạng 8: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng α.Khi đó thể tích của khối chóp là:
$V=\frac{{{a}^{3}}.\tan \alpha }{6}$
Dạng 9: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a,$\overset\frown{SAB}=\alpha ,\alpha \in \left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)$ .Khi đó thể tích của khối chóp là:
$V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{{{\tan }^{2}}\alpha -1}}{6}$
Dạng 10: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên với đáy bằng α $\left( \alpha \in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \right)$ .Khi đó thể tích của khối chóp là:
.png)
Dạng 11: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng . Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua A và song song với BC, vuông góc với mặt phẳng $\left( SBC \right)$ , góc giữa $\left( P \right)$ và mặt phẳng đáy là α.Khi đó thể tích khối chóp là:
$V=\frac{{{a}^{3}}.\cot \alpha }{24}$
Dạng 12: Thể tích của khối tứ diện có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và bằng a,b,c là:
$V=\frac{1}{6\sqrt{2}}\sqrt{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}$
Dạng 13: Cho khối tứ diện SABC có $SA=a;SB=b;SC=c,\overset\frown{ASB}=\alpha ;\overset\frown{ASC}=\beta ;\overset\frown{BSC}=\delta $ . Khi đó thể tích khối chóp bằng
$V=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\beta -{{\cos }^{2}}\delta +2\cos \alpha .\cos \beta .\cos \delta }$
