Thể tích khối đa diện

B. Bài tập mẫu

Câu 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$.

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\cdot $          B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}\cdot $        C. ${{a}^{3}}$.                  D. $\frac{{{a}^{3}}}{6}\cdot $

Hướng dẫn giải:

Gọi tứ diện $ABCD$ đều cạnh$a$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( BCD \right)$. Ta có: $BH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ ${{S}_{\Delta BCD}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.

Câu 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot \left( ABCD \right)$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Tính thể tích $S.ABCD$ biết $AB=a$, $AD=2a$, $SA=3a$.

A. ${{a}^{3}}$.             B. $6{{a}^{3}}$.        B. $2{{a}^{3}}$.        D. $\frac{{{a}^{3}}}{3}\cdot $

Hướng dẫn giải:

${{S}_{\Delta ABCD}}=2a.a=2{{a}^{2}}$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=2{{a}^{3}}$

.

Câu 3: Cho hình chóp$S.ABC$ có đáy$ABC$ là tam giác vuông tại \[B\]. Biết $\Delta SAB$  là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ biết $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$.

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\cdot $          B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}\cdot $        C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}\cdot $                 D. $\frac{{{a}^{3}}}{4}\cdot $

Hướng dẫn giải:

$\Delta ABC\,$ vuông tại $B$ $\Rightarrow BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$ . ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}BA.BC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$ Gọi $H$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Ta có: $\Delta SAB$ đều $\Rightarrow SH\bot AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$(vì $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ ). $\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$

A

Hướng dẫn giải:

Ta có: $MN\text{//}BC\Rightarrow \frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}$ Ta có: $\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}={{\left( \frac{SM}{SB} \right)}^{2}}$ Ta có:  $\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{SM}{SB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Câu 5: Cho hình chóp đều \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi tâm \[O\], \[AC=2\sqrt{3}a\], \[BD=2a\], hai mặt phẳng \[\left( SAC \right)\] và \[\left( SBD \right)\] cùng vuông góc với mặt phẳng \[\left( ABCD \right)\]. Biết khoảng cách từ điểm \[O\] đến mặt phẳng \[\left( SAB \right)\] bằng \[\frac{a\sqrt{3}}{4}\]. Tính thể tích của khối chóp \[S.ABCD\] theo \[a\].

A. \[\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}\].                  B. \[\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}\]. C. \[\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\].                         D. \[\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\].

Hướng dẫn giải

Ta có tam giác ABO vuông tại O và \[AO=a\sqrt{3}\], \[BO=a\]. Do đó \[\frac{AO}{BO}=\sqrt{3}=\tan {{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{ABO}={{60}^{0}}\]. Suy ra \[\Delta ABD\] đều. Trong tam giác đều \[ABD\], gọi H là trung điểm AB, K là trung điểm BH,
suy ra \[DH\bot AB\] và \[DH=a\sqrt{3}\]; \[OK//DH\] và \[OK=\frac{1}{2}DH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]. Suy ra \[OK\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( SOK \right)\]. Gọi I là hình chiếu của O lên SK, ta có:\[OI\bot SK;\,AB\bot OI\Rightarrow OI\bot \left( SAB \right)\].\[\Rightarrow OI=d\left[ O;\,\,\left( SAB \right) \right]\]. Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao: \[\frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{K}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\Rightarrow SO=\frac{a}{2}\]. \[{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABCD}}.SO=\frac{1}{3}.4.{{S}_{\Delta ABO}}.SO=\frac{1}{3}.4.\frac{1}{2}.OA.OB.SO=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\]   .

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích $S.ABC$ tăng lên bao nhiêu lần?

A. $4$.                            B. $2$.                          C. $3$.                          D. $\frac{1}{2}$.

Câu 2: Có bao nhiêu khối đa diện đều?

A. $4$.                            B. $5$.                          C. $3$.                          D. $2$.

Câu 3: Cho $S.ABCD$ là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ biết $AB=a$, $SA=a$.

A. ${{a}^{3}}$              B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$                   C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.                         D. $\frac{{{a}^{3}}}{3}$

Câu 4 : Cho hình chóp$S.ABC$ có $SA\bot \left( ABC \right)$, đáy$ABC$ là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ biết $AB=a$, $SA=a$.

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.                  B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.    C. ${{a}^{3}}$.                                        D. $\frac{{{a}^{3}}}{3}$

Câu 5: Thể tích khối tam diện vuông \[O.ABC\] vuông tại \[O\] có \[OA=a,\text{ }OB=OC=2a\] là

A.$\frac{2{{a}^{3}}}{3}\cdot $                            B.$\frac{{{a}^{3}}}{2}\cdot $ C. $\frac{{{a}^{3}}}{6}\cdot $                              D. $2{{a}^{3}}$.

Câu 6: Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA\] vuông góc mặt đáy, tam giác\[ABC\]vuông tại\[A,\text{ }SA=2cm\], \[AB=4cm,\text{ }AC=3cm\]. Tính thể tích khối chóp.

A. $\frac{12}{3}c{{m}^{3}}$.                          B. $\frac{24}{5}c{{m}^{3}}$.          C. $\frac{24}{3}c{{m}^{3}}$.                               D. $24c{{m}^{3}}$.

Câu 7: Cho hình chóp \[S.ABCD\] đáy hình chữ nhật, \[SA\] vuông góc đáy, \[AB=a,\text{ }AD=2a\]. Góc giữa \[SB\] và đáy bằng \[{{45}^{0}}\]. Thể tích khối chóp là

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\cdot $            B. $\frac{2{{a}^{3}}}{3}\cdot $       C. $\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{3}}\cdot $                   D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}\cdot $

Câu 8: Hình chóp \[S.ABCD\] đáy hình vuông, \[SA\]vuông góc với đáy, $SA=a\sqrt{3},AC=a\sqrt{2}$. Khi đó thể tích khối chóp \[S.ABCD\]là

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}\cdot $            B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\cdot $        C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\cdot $                 D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\cdot $

Câu 9: Cho hình chóp$S.ABCD$ có đáy$ABCD$ là hình thoi. Mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác vuông cân tại $S$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ biết $BD=a$, $AC=a\sqrt{3}$.

A. ${{a}^{3}}$.             B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\cdot $          C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\cdot $               D. $\frac{{{a}^{3}}}{3}\cdot $

Câu 10: Cho hình chóp$S.ABC$ có đáy$ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$là trung điểm $H$ của $BC$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ biết $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $SB=a\sqrt{2}$.

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}\cdot $            B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\cdot $        C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\cdot $                 D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}\cdot $

Câu 11: Cho hình chóp$S.ABCD$ có đáy$ABCD$ hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$là trung điểm $H$ của $AD$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ biết $SB=\frac{3a}{2}$.

A. $\frac{{{a}^{3}}}{3}\cdot $                         B. ${{a}^{3}}$.          C. $\frac{{{a}^{3}}}{2}\cdot $                                        D. $\frac{3{{a}^{3}}}{2}\cdot $

Câu 12: Hình chóp \[S.ABCD\] đáy là hình vuông cạnh $a,\text{ }SD=\frac{a\sqrt{13}}{2}$. Hình chiếu của S lên \[\left( ABCD \right)\] là trung điểm \[H\]của\[AB\]. Thể tích khối chóp là

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\cdot $            B. $\frac{{{a}^{3}}2}{3}\cdot $       C. ${{a}^{3}}\sqrt{12}$.   D. $\frac{{{a}^{3}}}{3}\cdot $

Câu 13: Hình chóp \[S.ABCD\] đáy hình thoi, \[AB=2a\], góc \[\widehat{BAD}\] bằng \[{{120}^{0}}\]. Hình chiếu vuông góc của \[S\] lên \[\left( ABCD \right)\] là \[I\] giao điểm của 2 đường chéo, biết $SI=\frac{a}{2}$. Khi đó thể tích khối chóp \[S.ABCD\] là

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{9}\cdot $            B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}\cdot $        C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\cdot $                 D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\cdot $

Câu 14: Cho hình chóp $S.ABC$, gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,SB$. Tính tỉ số $\frac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.MNC}}}$.

A.$4$.                             B. $\frac{1}{2}\cdot $ C. $2$.                          D. $\frac{1}{4}\cdot $

Câu 15: Cho khối chop \[O.ABC\]. Trên ba cạnh \[OA,OB,OC\]lần lượt lấy ba điểm \[A,{B}',{C}'\] sao cho \[2O{A}'=OA,\text{ }4O{B}'=OB,\text{ }3O{C}'=OC\]. Tính tỉ số $\frac{{{V}_{O.A'B'C'}}}{{{V}_{O.ABC}}}$

A. $\frac{1}{12}$.         B. $\frac{1}{24}$.       C. $\frac{1}{16}$.       D. $\frac{1}{32}$.

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	B	C	A	A	A	B	D	C	C	A	A	D	A	B.

 

 

Bài viết gợi ý: