Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm, GTLN

Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm, GTLN – GTNN của hàm số

A. Lý thuyết

Nắm vững công thức đạo hàm. Lập bảng biến thiên. Tìm max min của hàm số.

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là \[s\left( t \right)={{e}^{{{t}^{2}}+3}}+2t.{{e}^{3t+1}}\] (km) . Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu?

A. \[\text{5}{{\text{e}}^{4}}\left( km/s \right)\] B. \[\text{3}{{\text{e}}^{4}}\left( km/s \right)\] C. \[\text{9}{{\text{e}}^{4}}\left( km/s \right)\] D. \[\text{10}{{\text{e}}^{4}}\left( km/s \right)\]

Hướng dẫn: Chọn D.

\[v\left( t \right)=s'\left( t \right)=2t.{{e}^{{{t}^{2}}+3}}+2{{e}^{3t+1}}+6t.{{e}^{3t+1}}\Rightarrow v\left( 1 \right)=s'\left( 1 \right)=2{{\text{e}}^{4}}+2{{\text{e}}^{4}}+6{{\text{e}}^{4}}=10{{\text{e}}^{4}}\]. Nên chọn D.

Câu 2: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm hàng rào hình chữ nhật E dọc theo một con sông (như hình vẽ). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/m, còn đối với ba mặt hàng hàng rào song song nhau thì chi phí vật liệu là 50 000 đồng/m. Tìm diện tích lớn nhất của hàng rào?

A. 6250 \[{{m}^{2}}\] B. 1250 \[{{m}^{2}}\] C. 3125 \[{{m}^{2}}\] D. 50 \[{{m}^{2}}\]

Hướng dẫn: Chọn A.

Đặt các đại lượng x, y như hình vẽ.

Số tiền cần trả để làm là 15 000 000=60 000.3x+50 000y\[\Leftrightarrow \]1500=18x+5y.

Ta cần tìm S=xy max.

Cách 1: Sử dụng Cô Si.

\[xy=\frac{1}{90}.18\text{x}.5y\le \frac{1}{90}.{{\left( \frac{18\text{x}+5y}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{90}.{{\left( \frac{1500}{2} \right)}^{2}}=6250\]. Vậy \[{{S}_{\max }}=6250\left( {{m}^{2}} \right)\].

Cách 2: \[18\text{x}+5y=1500\Leftrightarrow y=\frac{1500-18\text{x}}{5}\].

Thay vào \[xy=x.\frac{1500-18\text{x}}{5}=\frac{-18}{5}{{\text{x}}^{2}}+300\text{x}=-\frac{18}{5}{{\left( x-\frac{125}{3} \right)}^{2}}+6250\le 6250\].

Vậy \[{{S}_{\max }}=6250\left( {{m}^{2}} \right)\]. Nên chọn A.

Câu 3: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần cắt thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

A. \[x=\frac{3\sqrt{34}-17\sqrt{2}}{2}\left( cm \right)\] B. \[x=\frac{3\sqrt{34}-19\sqrt{2}}{2}\left( cm \right)\]

C. \[x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}\left( cm \right)\] D. \[x=\frac{5\sqrt{34}-13\sqrt{2}}{2}\left( cm \right)\]

Hướng dẫn: Chọn C.

Cạnh của hình vuông thiết diện là: \[\frac{40}{\sqrt{2}}\left( cm \right)\]. Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của các hình chữ nhật xung quanh. Vậy diện tích tiết diện là: \[S={{\left( \frac{40}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+4\text{x}y\]. Cần tìm S max thì xy max.

Xét tam giác ABC vuông tại B như hình vẽ. Ta có: \[BC=\frac{40}{\sqrt{2}}+2\text{x}\]; AB=y. Nên theo Py-ta-go ta có: \[A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{40}^{2}}={{\left( \frac{40}{\sqrt{2}}+2\text{x} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow y=\sqrt{{{40}^{2}}-{{\left( \frac{40}{\sqrt{2}}+2\text{x} \right)}^{2}}}\].

Nên \[xy=x.\sqrt{{{40}^{2}}-{{\left( \frac{40}{\sqrt{2}}+2\text{x} \right)}^{2}}}=\sqrt{-4{{\text{x}}^{4}}-80\sqrt{2}{{x}^{3}}+800{{\text{x}}^{2}}}\].

Ta xét \[f\left( x \right)=-4{{\text{x}}^{4}}-80\sqrt{2}{{x}^{3}}+800{{\text{x}}^{2}}\Rightarrow f'\left( x \right)=-16{{\text{x}}^{3}}-240\sqrt{2}{{x}^{2}}+1600\text{x=0}\Leftrightarrow \]\[x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}\left( cm \right)\]. Lập bảng biến thiên ta thấy \[x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}\left( cm \right)\] là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nên chọn C.

Câu 4: Mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50 m. Mảnh đất sau khi bán đi là hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất nhận được khi bán đất, biết giá tiền là 1500000đ/\[{{m}^{2}}\].

A. 139923332 đ B. 113433234 đ

C. 17050403đ D. \[117187500\] đ

Hướng dẫn: Chọn D.

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và dài như hình vẽ. Chu vi hình chữ nhật là 50 nên nửa chu vi là x+y=25. Diện tích đất bán là S=x(y-x)=x(25-2x)=\[-2{{\text{x}}^{2}}+25\text{x}=-2{{\left( x-\frac{25}{4} \right)}^{2}}+\frac{625}{8}\le \frac{625}{8}\].

Vậy số tiền thu được max là \[\frac{625}{8}.1500000=117187500\]đ. Nên chọn D.

Câu 5: Một công ty có 50 căn hộ cho thuê. Mỗi căn hộ có giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho mỗi căn hộ 100 000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng.

A. 2 225 000 B. 2 100 000 C. 2 200 000 D. 2 250 000

Hướng dẫn: Chọn D.

Gọi x là chỉ số.

Số căn hộ là 50-2x. Số tiền một căn hộ là 2 000 000+100 000x.

Số tiền một tháng là (50-2x)( 2 000 000+100 000x). Ta cần tìm số tiền một tháng max.

Hay (50-2x)( 2 000 000+100 000x) max. Ta có:

\[\left( 50-2\text{x} \right)\left( {{2.10}^{6}}+{{10}^{5}}x \right)={{2.10}^{5}}.\left( 25-x \right)\left( 20+x \right)={{2.10}^{5}}\left( -{{\left( x-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{2025}{4} \right)\le {{2.10}^{5}}.\frac{2025}{4}=101250000.\]

Dấu “=” xảy ra khi \[x=\frac{5}{2}\]. Vậy số tiền mỗi căn hộ một tháng là 2 000 000+100 000.\[\frac{5}{2}\]=2 250 000. Nên chọn D.

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Người ta muốn sơn cái hộp hình chữ nhật không nắp, đáy hộp là hình vuông và có thể tích là 4? Tìm kích thước của hộp để dùng lượng sơn ít nhất.

A. Cạnh ở đáy là 2, chiều cao của hộp là 1.

B. Cạnh ở đáy là \[\sqrt{2}\], chiều cao của hộp là 2.

C. Cạnh ở đáy là 2\[\sqrt{2}\], chiều cao của hộp là 0,5.

D. Cạnh ở đáy là 1, chiều cao của hộp là 2.

Câu 2: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường CH=0,5 m xấp xỉ là:

A. 5,602 B. 6,5902 C. 5,4902 D. 5,5902

Câu 3: Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ sông rồi về B. Đoạn đường ngắn nhất người đó đi là bao nhiêu.

A. 596,5m B. 671,4m C. 779,8m D. 741,2m

Câu 4: Sau khi phát hiện bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là \[f\left( t \right)=45{{t}^{2}}-{{t}^{3}}\]. Nếu xem f’(t) là tốc độ truyền bệnh tại thời điểm t. Hỏi tốc độ sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

A. 12 B. 30 C. 20 D. 15

Câu 5: Trên đoạn đường như hình vẽ. Một nơi tại vị trí M cách OE 125 cm và cách Ox 1 km. Người ta muốn làm đoạn AB qua vị M. Biết rằng giá trị để làm 100 m đường là 150 triệu đồng. Tìm vị trí A, B để làm đường chi phí thấp nhất?

A. 1,9063 tỷ đồng B. 2,3965 tỷ đồng C. 2,0963 tỷ đồng D. 3 tỷ đồng

Câu 6: Một vật chuyển động theo phương trình \[s\left( t \right)=-{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}+t+10\]. Trong đó t tính bằng giây s tính bằng m. Thời gian vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất là

A. t=5s B. t=6s C. t=2s D. t=3s

Câu 7: Một người cần đi từ A đến C. Biết khoảng cách từ C đến B là 10 km. Khoảng cách từ A đến B là 40 km. Biết đi từ C đến K mất 5 USD/km và từ A đến K mất 3 USD/km. Hỏi người đó mất ít kinh phí nhất là bao nhiêu?

A. \[\frac{15}{2}\] B. \[\frac{65}{2}\] C. \[\frac{25}{2}\] D. \[\frac{25}{3}\]

Câu 8: Có hai chiếc cọc cao 10 m và 30 m lần lượt đặt tại hai vị trí A, B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24 m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc. Hỏi AM bằng bao nhiêu để tổng độ dài của hai sợi dây là ngắn nhất?

A. 6 B. 7 C. 4 D. 12

Câu 9: Thể tích nước của bể bơi sau t phút bơm tính theo công thức \[V\left( t \right)=\frac{1}{100}\left( 30{{t}^{3}}-\frac{{{t}^{4}}}{4} \right)\left( 0\le t\le 90 \right)\]. Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi V’(t). Trong các khẳng định sau. Khẳng định nào đúng?

A. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75.

B. Tốc độ bơm luôn giảm.

C. Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút 90.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 10: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng: