Định nghĩa lãi kép: Gửi tiền vào ngân hàng, nếu đến kì hạn người gửi khôngrút lãi ra và số tiền lãi được tính vào vốn để tính lãi cho kì kế tiếp.
Ta cùng xét một số dạng bài toán hay gặp là nền tảng kiến thức để giải quyết các trường hợp riêng như sau:
Dạng 1: Theo hình thức lãi kép, gửi $a$ đồng, lãi suất $r$ một kì theo hình thức lãi kép. Tính số tiền thu về sau $n$ kì.
Sau kì thứ nhất số tiền thu về ${{A}_{1}}=a+ar=a(1+r).$
Sau kì thứ hai số tiền thu về ${{A}_{2}}={{A}_{1}}(1+r)=a{{(1+r)}^{2}}.$
Sau kì thứ $n$ số tiền thu về ${{A}_{n}}=a{{(1+r)}^{n}}.$
Ta có công thức lãi kép tính tổng số tiền thu về ${{A}_{n}}$ (gồm gốc và lãi) sau $n$ kì là
\[{{A}_{n}}=a{{(1+r)}^{n}},\]
trong đó $a$ là số tiền gốc gửi vào đầu kì và $r$ là lãi suất.
Từ công thức trên ta suy ra các công thức liên hệ:
-
Số tiền lãi thu về sau $n$ kì là ${{L}_{n}}=a{{(1+r)}^{n}}-a=a[{{(1+r)}^{n}}-1]$ (đồng).
-
Số tiền gửi ban đầu $a=\dfrac{{{A}_{n}}}{{{(1+r)}^{n}}}$ (đồng).
-
Lấy logarit hai vế, ta được: $n={{\log }_{1+r}}\dfrac{{{A}_{n}}}{a}(*).$
Công thức (*) cho thấy để tổng số tiền thu về sau $n$ kì ít nhất là ${{A}_{n}}$ thì phải sau ít nhất $n={{\log }_{1+r}}\dfrac{{{A}_{n}}}{a}$ kì gửi.
Trong thực tế, khi ${{\log }_{1+r}}\frac{{{A}_{n}}}{a}$ nguyên thì $n={{\log }_{1+r}}\dfrac{{{A}_{n}}}{a},$ khi ${{\log }_{1+r}}\dfrac{{{A}_{n}}}{a}$ lẻ thì $n=\left[ {{\log }_{1+r}}\dfrac{{{A}_{n}}}{a} \right]+1.$
Ví dụ 1.Theo hình thức lãi kép, một người gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 năm là 6% thì sau 2 năm người này thu về số tiền là ?
|
A. 11,236 (triệu đồng). |
B. 11 (triệu đồng). |
C. 12,236 (triệu đồng). |
D. 11,764 (triệu đồng). |
Giải. Số tiền thu về sau 2 năm là
\[10.{{(1+0,06)}^{2}}\approx 11,236\] (triệu đồng).
Chọn đáp án A.
-
Số tiền lãi là $11,236-10=1,236$ (triệu đồng).
Ví dụ 2.Theo hình thức lãi kép, một người gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 tháng là 0,5% thì sau 2 năm người này thu về số tiền lãi là ?
|
A. 11,272 (triệu đồng). |
B. 10,617 (triệu đồng). |
C. 1,272 (triệu đồng). |
D. 0,617 (triệu đồng). |
Giải. Tổng số tiền người này thu về là
\[10.{{(1+0,005)}^{24}}\approx 11,272\] (triệu đồng).
-
Số tiền lãi thu về là $11,272-10=1,272$ (triệu đồng).
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3.Theo hình thức lãi kép, một người gửi vào ngân hàng 15 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 năm là 6%. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền người này thu về ít nhất là 19 triệu đồng ?
|
A. 4 năm. |
B. 6 năm. |
C. 3 năm. |
D. 5 năm. |
Giải. Số tiền người này thu về sau $n$ năm là $15.{{(1+0,06)}^{n}}$ (triệu đồng).
Theo giả thiết, ta có
$15.{{(1+0,06)}^{n}}\ge 19\Leftrightarrow n\ge {{\log }_{1,06}}\frac{19}{15}\approx 4,057.$
Vậy sau ít nhất 5 năm thì số tiền người này thu về là ít nhất 19 triệu đồng.
Chọn đáp án D.
Dạng 2:Theo hình thức lãi kép, đầu mỗi kì gửi $a$ đồng, lãi suất $r$ một kì. Tính số tiền thu được sau $n$ kì (gồm cả gốc và lãi)
Số tiền thu về sau kì thứ nhất là ${{A}_{1}}=a(1+r).$
Số tiền thu về sau kì thứ hai là ${{A}_{2}}=a(1+r)+a{{(1+r)}^{2}}.$
Số tiền thu về sau $n$ kì là ${{A}_{n}}=a(1+r)+a{{(1+r)}^{2}}+...+a{{(1+r)}^{n}}.$
Áp dụng công thức tính tổng riêng thứ $n$ của cấp số nhân với số hạng đầu và công bội 
, ta có
\[{{A}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}=a(1+r).\frac{{{(1+r)}^{n}}-1}{r}.\]
tổng số tiền lãi nhận được: ${{L}_{n}}={{A}_{n}}-na=a(1+r).\frac{{{(1+r)}^{n}}-1}{r}-na$ (đồng).
Từ đây ta có các công thức liên hệ khác tuỳ thuộc vào yêu cầu bài toán:
Số tiền gửi đều đặn đầu mỗi kì là $a=\frac{{{A}_{n}}r}{(1+r)[{{(1+r)}^{n}}-1]}$(đồng).
Số kì gửi là \[n={{\log }_{1+r}}\left[ \frac{{{A}_{n}}r}{a(1+r)}+1 \right].\]
*Chú ý.Ta nên quan niệm số tiền thu về là số tiền thu về của $n$ khoản gửi, mỗi khoảng $a$ đồng với kì hạn gửi tương ứng là $n,n-1,...,1$ khi đó số tiền thu về theo công thức lãi kép là
\[{{A}_{n}}=a{{(1+r)}^{n}}+a{{(1+r)}^{n-1}}+...+a(1+r)=a(1+r).\frac{{{(1+r)}^{n}}-1}{r}.\]
Ví dụ 1.Theo hình thức lãi kép, đầu mỗi tháng một người gửi đều đặn vào ngân hàng cùng một số tiền 10 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 tháng là 0,5% thì sau 2 năm số tiền người này thu về (cả gốc và lãi) là ?
|
A.255,591 (triệu đồng). C.254,591 (triệu đồng). |
B.254,320 (triệu đồng). D.255,320 (triệu đồng). |
Giải.Số tiền người này thu về sau 2 năm là
\[10{{(1+0,005)}^{24}}+10{{(1+0,005)}^{23}}+...+10{{(1+0,005)}^{1}}=10(1+0,005).\frac{{{(1+0,005)}^{24}}-1}{0,005}\approx 255,591\] (triệu đồng). Chọn đáp án A.
Ví dụ 2.Theo hình thức lãi kép, đầu mỗi tháng một người gửi đều đặn vào ngân hàng cùng một số tiền $m$ (triệu đồng), lãi suất theo kì hạn 1 tháng là 0,5% thì sau 2 năm số tiền người này thu về (cả gốc và lãi) là 100 (triệu đồng). Tính số tiền $m.$
|
A. \[m=\frac{100}{201\left[ {{(1,005)}^{24}}-1 \right]}\](triệu đồng). C. \[m=\frac{1}{2\left[ {{(1,005)}^{24}}-1 \right]}\] (triệu đồng). |
B. \[m=\frac{100}{201\left[ {{(1,005)}^{25}}-1 \right]}\] (triệu đồng). D. \[m=\frac{1}{2\left[ {{(1,005)}^{25}}-1 \right]}\] (triệu đồng). |
Giải.Số tiền người này thu về sau 2 năm là
\[m{{(1+0,005)}^{24}}+m{{(1+0,005)}^{23}}+...+m{{(1+0,005)}^{1}}=m(1+0,005).\frac{{{(1+0,005)}^{24}}-1}{0,005}.\]
Theo giả thiết, ta có
\[m(1+0,005).\frac{{{(1+0,005)}^{24}}-1}{0,005}=100\Leftrightarrow m=\frac{100}{201\left[ {{(1,005)}^{24}}-1 \right]}\] (triệu đồng).
Chọn đáp án A.
Dạng 3:Theo hình thức lãi kép, vay $A$ đồng, lãi suất $r,$ trả nợ đều đặn mỗi kì số tiền $m$ đồng. Hỏi sau bao nhiêu kì thì trả hết số nợ gồm cả gốc và lãi ?
Gọi $m$ là số tiền trả đều đặn mỗi kì.
Sau kì thứ nhất số tiền còn phải trả là ${{A}_{1}}=A(1+r)-m.$
Sau kì thứ hai số tiền còn phải trả là
${{A}_{2}}={{A}_{1}}(1+r)-m=\left[ A(1+r)-m \right](1+r)-m=A{{(1+r)}^{2}}-\left[ m+m(1+r) \right].$
Sau kì thứ n số tiền còn phải trả là
\[{{A}_{n}}=A{{(1+r)}^{n}}-\left[ m+m(1+r)+...+m{{(1+r)}^{n-1}} \right].\]
Theo công thức tổng riêng thứ $n$ của một cấp số nhân, ta có
\[{{A}_{n}}=A{{(1+r)}^{n}}-m\frac{{{(1+r)}^{n}}-1}{r}.\]
Sau kì thứ $n$ trả hết nợ nên ${{A}_{n}}=0,$ do đó
\[A{{(1+r)}^{n}}-m\frac{{{(1+r)}^{n}}-1}{r}=0\Leftrightarrow m=\frac{Ar{{(1+r)}^{n}}}{{{(1+r)}^{n}}-1}\] (đồng).
Từ công thức trên ta có các công thức liên hệ:
-
Số tiền vay gốc là $A=\frac{m\left[ {{(1+r)}^{n}}-1 \right]}{r{{(1+r)}^{n}}}$ (triệu đồng).
-
Lấy logarit hai vế, ta có \[n={{\log }_{1+r}}\frac{m}{m-Ar}.\]
Ví dụ 1.Theo hình thức lãi kép, một người vay ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 tháng là 1%. Người này trả nợ đều đặn cho ngân hàng mỗi tháng cùng một số tiền $m$ triệu đồng. Sau đúng một năm thì người này trả hết nợ. Tính số tiền $m.$
|
A. \[m=\frac{100\times {{(1,01)}^{12}}}{12}\] (triệu đồng). C. \[m=\frac{{{(1,01)}^{12}}}{{{(1,01)}^{12}}-1}\] (triệu đồng). |
B. \[m=\frac{10\times {{(1,1)}^{12}}}{{{(1,1)}^{12}}-1}\] (triệu đồng). D. \[m=\frac{10\times {{(1,01)}^{12}}}{{{(1,01)}^{12}}-1}\] (triệu đồng). |
Giải.
Số tiền còn phải trả sau tháng thứ nhất là ${{A}_{1}}=100(1+0,01)-m.$
Số tiền còn phải trả sau tháng thứ hai là ${{A}_{2}}={{A}_{1}}(1+0,01)-m=100{{(1+0,01)}^{2}}-m-m(1+0,01).$
Số tiền còn phải trả sau tháng thứ 12 là ${{A}_{12}}=100{{(1+0,01)}^{12}}-\left[ m+m(1+0,01)+...+m{{(1+0,01)}^{11}} \right].$
Theo công thức tổng riêng của cấp số nhân, ta có
\[{{A}_{12}}=100{{(1+0,01)}^{12}}-m.\frac{{{(1+0,01)}^{12}}-1}{0,01}.\]
Sau tháng 12 người này trả hết nợ nên ${{A}_{12}}=0,$ do đó
\[100{{(1+0,01)}^{12}}-m.\frac{{{(1+0,01)}^{12}}-1}{0,01}=0\Leftrightarrow m=\frac{100\times 0,01\times {{(1+0,01)}^{12}}}{{{(1+0,01)}^{12}}-1}=\frac{{{(1,01)}^{12}}}{{{(1,01)}^{12}}-1}\] (triệu đồng).
Chọn đáp án C.
