Hướng dẫn học sinh nắm vững, áp dụng các công thức và dạng bài tập về tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp đa diện.
Chuyên đề: Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp của đa diện
A. Lý thuyết
I. Cạnh bên vuông góc với đáy
Nếu cạnh bên SA vuông góc với đáy nội tiếp thì bán kính ngoại tiếp chóp là: R2=RD2+4SA2.
Trong đó: RD là bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và R là bán kính của hình cầu ngoại tiếp chóp.
Đặc biệt:
Nếu SA vuông góc với đáy và ABC=900 thì R=2SC và tâm là trung điểm SC.
Nếu chóp SABC là tam diện vuông tại A thì bán kính ngoại tiếp là R2=41(SA2+AB2+AC2).
II. Chóp có các cạnh bên bằng nhau
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là R=2SOSA2. Trong đó: O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Đặc biệt:
ABCD là hình vuông, hình chữ nhật thì O là giao của hai đường chéo.
ΔABC vuông thì O là trung điểm cạnh huyền.
ΔABC đều thì O là trực tâm, trọng tâm
ABCD là nửa lục giác đều, khi đó O là trung điểm của đáy lớn hình thang.
III. Mặt bên vuông góc với đáy
Cho hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau và có giao tuyến AB. R1,R2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và ABC thì bán kính đường tròn mặt cầu ngoại tiếp là R2=R12+R22−4AB2.
IV. Mặt cầu tổng quát
Chóp SABCD có đường cao SH, tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O. Khi đó ta có phương trình:
(SH−x)2+OH2=x2+RD2. Với giá trị x tìm được ta có: R2=x2+RD2.
V. Mặt cầu nội tiếp
Ta có công thức: r=S3V. Trong dó S là tổng diện tích các mặt của đa diện.
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
Câu 1: Chóp S.ABCD có các mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với đáy. ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 450. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
A. R=a
B. R=a2
C. R=a3
D. R= 2a
Lời giải: Chọn A.
Đây là bài thuộc dạng 1. ABCD là hình chữ nhật. AC=a2⇒SA=a2. RD=2a2. Nên R2=RD2+4SA2=(2a2)2+4(a2)2=a2⇒R=a.
Câu 2: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SA=SB=SC=a3, tam giác ABC vuông tại B có AC=2a.
A. R=53a3
B. R=a
C. R=43a2
D. R=a2
Lời giải: Chọn C.
Ta thấy bài trên thuộc dạng 2. Gọi O là trung điểm của BC.
Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Nên R=2SOSA2=2SA2−OC2(a3)2=23a2−a23a2=43a2.
Câu 3: Chóp S.ABCD có mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đáy là hình chữ nhật có AB=a, AD=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.
A. R=32a3
B. R=6a39
C. R=6a57
D. R=343a
Lời giải: Chọn A.
Ta thấy bài toán trên thuộc dạng 3. Tam giác đều ABC cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R1=3a3 và đáy ABCD có bán kính đường tòn ngoại tiếp là R2=2a5. Nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là R=R12+R22−4AB2=(3a3)2+(2a5)2−4a2=32a3.
Câu 4: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, đồng thời tam giác SAB vuông cân và tam giác SCD đều.
A. R=3a21
B. R=6a21
C. R=6a2
D. R=83a
Lời giải: Chọn B.
Gọi E, F là trung điểm AB, CD. Khi đó (SEF)⊥(ABCD). Kẻ SH⊥EF⇒SH⊥(ABCD). Nên SH là đường cao của chóp. Ta có SE=2a và SF=2a3. Xét tam giác SEF có độ dài ba cạnh nên theo công thức Hê – rông ta tính được S=p(p−a)(p−b)(p−c)=21EF.SH⇒SH=4a3.
Nên OH=OE−EH=2a−(2a)2−(4a3)2=4a.
Ta có phương trình: (SH−x)2+OH2=x2+RD2⇔(4a3−x)2+(4a)2=x2+(2a2)2⇔x=6a3⇒R=(6a3)2+(2a2)2=6a21.
Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABC
A. r=12−1+13a
B. r=51−1+213a
C. r=51−1+13a
D. r=12−1+213a
Lời giải: Chọn A.
Ta thấy bài toán thuộc dạng 5. Ta có: HA=3a3⇒SH=HA.tan600=3a3.3=a.
SK=HK2+SH2=(6a3)2+a2=6a39. Nên tổng diện tích 4 mặt của tứ diện là: S=SABC+SSAB+SSBC+SSAC=SABC+3SSBC=4a23+3.21.BC.SK=4a23+3.(21.a.6a39)=439+3a2.
Mà V=31.SABC.SH=31.4a23.a=12a33. Nên r=S3V=439+3a23.12a33=12−1+13a.
II. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho chóp S.ABC biết SA⊥(ABC), tam giác ABC vuông cân tại B có diện tích bằng 2a2, góc giữa SB và (ABC) bằng 450. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
A. R=a2
B. R=2a2
C. R=a3
D. R=2a
Câu 2: Chóp S.ABCD có SA vuông góc đáy, ABCD là nửa lục giác đều có AD=6>BC và AD song song BC. Góc giữa SD và (SAB) là 450. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
A. R=237
B. R=236
C. R=235
D. R=32
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có AB=4a, CD=6a, các cạnh còn lại đều bằng a22. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. R=3a
B. R=3a85
C. R=3a79
D. R=25a
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=SA=SB=a, SC=3a, (SBC)⊥(ABC). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. 4a6
B. 6a3
C. 2a6
D. 3a6
Câu 5: Cho tứ diện OABC là tam diện vuông tại O và OA=OB=OC=1. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A. 1
B. 21
C. 23
D. 22
Câu 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a, AA’=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’.
A. 3a
B. 43a
C. 23a
D. 2a
Câu 7: Cho hình lập phương cạnh a. Gọi R1,R2,R3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. R22=R1.R3
B. R22=R12+R32
C. R12=R22+R32
D. R32=R1.R2
Câu 8: Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h=2. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. 89
B. 49
C. 43
D. 23
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h=23. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.
A. 3
B. 23
C. 43
D. 63
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h=2. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S. ABCD.