Chuyên đề: Tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện.

Chuyên đề: Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp của đa diện

A. Lý thuyết

I. Cạnh bên vuông góc với đáy

• Nếu cạnh bên SA vuông góc với đáy nội tiếp thì bán kính ngoại tiếp chóp là: \[{{R}^{2}}=R_{D}^{2}+\frac{S{{A}^{2}}}{4}\].
• Trong đó: \[{{R}_{D}}\] là bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và R là bán kính của hình cầu ngoại tiếp chóp.
• Đặc biệt:
• Nếu SA vuông góc với đáy và \[\widehat{ABC}={{90}^{0}}\] thì \[R=\frac{SC}{2}\] và tâm là trung điểm SC.
• Nếu chóp SABC là tam diện vuông tại A thì bán kính ngoại tiếp là \[{{R}^{2}}=\frac{1}{4}\left( S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \right)\].

II. Chóp có các cạnh bên bằng nhau

• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \[R=\frac{S{{A}^{2}}}{2\text{S}O}\]. Trong đó: O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Đặc biệt:

• ABCD là hình vuông, hình chữ nhật thì O là giao của hai đường chéo.
• \[\Delta ABC\] vuông thì O là trung điểm cạnh huyền.
• \[\Delta ABC\] đều thì O là trực tâm, trọng tâm
• ABCD là nửa lục giác đều, khi đó O là trung điểm của đáy lớn hình thang.

III. Mặt bên vuông góc với đáy

• Cho hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau và có giao tuyến AB. \[{{R}_{1}},{{R}_{2}}\] là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và ABC thì bán kính đường tròn mặt cầu ngoại tiếp là \[{{R}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}\].

IV. Mặt cầu tổng quát

• Chóp SABCD có đường cao SH, tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O. Khi đó ta có phương trình:
• \[{{\left( SH-x \right)}^{2}}+O{{H}^{2}}={{x}^{2}}+R_{D}^{2}\]. Với giá trị x tìm được ta có: \[{{R}^{2}}={{x}^{2}}+R_{D}^{2}\].

V. Mặt cầu nội tiếp

• Ta có công thức: \[r=\frac{3V}{S}\]. Trong dó S là tổng diện tích các mặt của đa diện.

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Lời giải: Chọn A.

Đây là bài thuộc dạng 1. ABCD là hình chữ nhật. \[AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}\]. \[{{R}_{D}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]. Nên \[{{R}^{2}}=R_{D}^{2}+\frac{S{{A}^{2}}}{4}={{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+\frac{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}{4}={{a}^{2}}\Rightarrow R=a\].

Lời giải: Chọn C.

Ta thấy bài trên thuộc dạng 2. Gọi O là trung điểm của BC.

Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nên \[R=\frac{S{{A}^{2}}}{2\text{S}O}=\frac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}{2\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{C}^{2}}}}=\frac{3{{\text{a}}^{2}}}{2\sqrt{3{{\text{a}}^{2}}-{{a}^{2}}}}=\frac{3\text{a}\sqrt{2}}{4}\].

Lời giải: Chọn A.

Ta thấy bài toán trên thuộc dạng 3. Tam giác đều ABC cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \[{{R}_{1}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\] và đáy ABCD có bán kính đường tòn ngoại tiếp là \[{{R}_{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\]. Nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là \[R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{2\text{a}\sqrt{3}}{3}\].

Lời giải: Chọn B.

Gọi E, F là trung điểm AB, CD. Khi đó \[\left( SEF \right)\bot \left( ABCD \right)\]. Kẻ \[SH\bot EF\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\]. Nên SH là đường cao của chóp. Ta có \[SE=\frac{a}{2}\] và \[SF=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]. Xét tam giác SEF có độ dài ba cạnh nên theo công thức Hê – rông ta tính được \[S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\frac{1}{2}EF.SH\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\].

Nên \[OH=OE-EH=\frac{a}{2}-\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}}=\frac{a}{4}\].

Ta có phương trình: \[{{\left( SH-x \right)}^{2}}+O{{H}^{2}}={{x}^{2}}+R_{D}^{2}\Leftrightarrow {{\left( \frac{a\sqrt{3}}{4}-x \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}\]\[\Leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow R=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}\].

Lời giải: Chọn A.

Ta thấy bài toán thuộc dạng 5. Ta có: \[HA=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=HA.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a\].

\[SK=\sqrt{H{{K}^{2}}+S{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{39}}{6}\]. Nên tổng diện tích 4 mặt của tứ diện là: \[S={{S}_{ABC}}+{{S}_{SAB}}+{{S}_{SBC}}+{{S}_{SAC}}={{S}_{ABC}}+3{{\text{S}}_{SBC}}\]\[=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}+3.\frac{1}{2}.BC.SK=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}+3.\left( \frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{39}}{6} \right)=\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}\].

Mà \[V=\frac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SH=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\]. Nên \[r=\frac{3V}{S}=\frac{3.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}}=\frac{-1+\sqrt{13}}{12}a\].

II. Bài tập tự luyện

Đáp án bài tập tự luyện

Bài viết gợi ý: