Chuyên đề: Tích phân hàm ẩn.

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN

A. Lý thuyết

Các công thức cần nhớ

\[\int\limits_{a}^{b}{f'\left( x \right)dx=f\left( b \right)-f\left( a \right)}\].
\[{{\left( F\left( u \right) \right)}^{\prime }}={u}'.f\left( u \right)\].
\[du={u}'d\text{x}\].
\[{{\left( \int\limits_{a}^{u\left( x \right)}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}=u'\left( x \right)f\left( u\left( x \right) \right)\].
\[{{\left( \int\limits_{v\left( x \right)}^{u\left( x \right)}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}=u'\left( x \right)f\left( u\left( x \right) \right)-{v}'\left( x \right)f\left( v\left( x \right) \right)\].
\[\int\limits_{A}^{B}{f\left( m\text{x}+n \right)d\text{x}=\frac{1}{m}\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}}\].
\[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( a+b-x \right)d\text{x}}}\].
Nếu f(x) là hàm lẻ thì \[\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)d\text{x}}=0\].
Nếu f(x) là hàm chẵn thì \[\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)d\text{x}}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)d\text{x}}\].
\[\int\limits_{A}^{B}{{u}'f\left( u \right)d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}\].
B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn \[\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)d\text{x}}=10\]. Tính \[\int\limits_{5}^{2}{\left[ 2-4f\left( x \right) \right]d\text{x}}\].

A. 32

B. 34

C. 36

D. 40

Lời giải: Chọn B.

\[\int\limits_{5}^{2}{\left[ 2-4f\left( x \right) \right]d\text{x}}=\int\limits_{5}^{2}{2\text{dx}}-4\int\limits_{5}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{5}^{2}{2\text{dx}}+4\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)d\text{x}}=-6+4.10=34\].

Câu 2: Cho hàm số f(x) thỏa \[\int\limits_{1}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]d\text{x}=1}\] và \[\int\limits_{1}^{2}{\left[ 2f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]d\text{x}=-3}\]. Tính tích phân \[\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}\].
A. 1	B. 2	C. \[-\frac{5}{7}\]	D. \[\frac{1}{2}\]

Lời giải: Chọn C.

Đặt \[\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=a\] và \[\int\limits_{1}^{2}{g\left( x \right)d\text{x}}=b\]. Khi đó: \[\int\limits_{1}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]d\text{x}=1}\Leftrightarrow 3\text{a}+2b=1\] (1) và \[\int\limits_{1}^{2}{\left[ 2f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]d\text{x}=-3}\Leftrightarrow 2\text{a}-b=-3\] (2). Từ (1)(2)\[\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=a=-\frac{5}{7}\].

Câu 3: Cho \[\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=a\]. Tính tích phân \[\int\limits_{0}^{1}{xf\left( {{x}^{2}}+1 \right)d\text{x}}\]
A. 2a	B. 4a	C. \[\frac{a}{2}\]	D. \[\frac{a}{4}\]

Lời giải: Chọn C.

\[\int\limits_{0}^{1}{xf\left( {{x}^{2}}+1 \right)d\text{x}}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)d\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}}d\text{x}=\frac{a}{2}\]

Câu 4: Cho \[\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=2016\]. Tính I=\[\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{3\text{x}+1}}f\left( \sqrt{3\text{x+1}} \right)d\text{x}}\](1)
A. 2016	B. 1008	C. 1344	D. 3024

Lời giải: Chọn C.

Đặt \[\sqrt{3\text{x}+1}=t\Leftrightarrow 3\text{x}+1={{t}^{2}}\Leftrightarrow 3\text{dx}=2t\text{d}t\Leftrightarrow d\text{x}=\frac{2t}{3}dt\].

\[I=\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=1344\]

Câu 5: Cho \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( \sin x \right)dx=2017}\]. Tính \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos 2x.f\left( \sin 2x \right)dx}\].
A. \[\frac{2}{2017}\]	B. \[\frac{2017}{2}\]	C. 2017	D. \[-\frac{2017}{2}\]

Lời giải: Chọn B.

\[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( \sin x \right)dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos 2x.f\left( \sin 2x \right)d\left( 2x \right)=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos 2x.f\left( \sin 2x \right)dx}=2017}}\]\[\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos 2x.f\left( \sin 2x \right)dx}=\frac{2017}{2}\].

II. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn f(1)=1, f(2)=2. Tính\[\int\limits_{1}^{2}{{f}'\left( x \right)d\text{x}}\]
A. 1	B. -1	C. 3	D. 2
Câu 2: Cho f(x) là hàm số chẵn và thỏa mãn \[\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)d\text{x}}=3\]. Tính \[\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}\]
A. 3	B. 2	C. 6	D. 1
Câu 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [2;4] và thỏa mãn f(2)=2, f(4)=2018. Tính \[\int\limits_{1}^{2}{{f}'\left( 2x \right)d\text{x}}\].
A. -1008	B. 2018	C. 1008	D. -2108
Câu 4: Cho \[\int\limits_{1}^{2017}{f\left( x \right)d\text{x}}=2\]. Tính \[\int\limits_{1}^{2017}{f\left( 2018-x \right)d\text{x}}\].
A. 1	B. 2	C. 3	D. 5
Câu 5: Cho \[\int\limits_{1}^{2}{f\left( 3\text{x}-1 \right)d\text{x}=20}\]. Tính \[\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)dx}\].
A. 20	B. 40	C. 10	D. 60
Câu 6: Cho \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( \sin x \right)dx}=2017\].Tính \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x.f\left( \cos x \right)dx}\].
A. 2016	B. 2017	C. 2018	D. 2019
Câu 7: Cho \[\int\limits_{0}^{\pi }{xf\left( \sin x \right)dx}=\frac{3\pi }{2}\]. Tính \[\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( \sin x \right)dx}\].
A. 3	B. 6	C. \[3\pi \]	D. \[6\pi \]
Câu 8: Cho \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}x.f\left( x \right)d\text{x}=2}\] đồng thời \[f\left( x \right)=f\left( \frac{\pi }{2}-x \right)\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]. Tính \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)d\text{x}}\].
A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Câu 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\] và thảo mãn \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\tan x.f\left( {{\cos }^{2}}x \right)dx=1}\], \[\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( {{\ln }^{2}}x \right)}{x\ln x}dx=1}\]. Tính \[\int\limits_{\frac{1}{4}}^{2}{\frac{f\left( 2x \right)}{x}}d\text{x}\].
A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Câu 10: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [0;1] thỏa mãn \[3f\left( x \right)+2\text{x}f\left( 1-{{x}^{2}} \right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\]. Tính \[\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}\].
A. \[\frac{\pi }{20}\]	B. \[\frac{\pi }{2}\]	C. \[\frac{\pi }{21}\]	D. \[\frac{\pi }{16}\]