CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN

A. Lý thuyết

Các công thức cần nhớ

  • abf(x)dx=f(b)f(a)\int\limits_{a}^{b}{f'\left( x \right)dx=f\left( b \right)-f\left( a \right)}.
  • (F(u))=u.f(u){{\left( F\left( u \right) \right)}^{\prime }}={u}'.f\left( u \right).
  • du=udxdu={u}'d\text{x}.
  • (au(x)f(t)dt)=u(x)f(u(x)){{\left( \int\limits_{a}^{u\left( x \right)}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}=u'\left( x \right)f\left( u\left( x \right) \right).
  • (v(x)u(x)f(t)dt)=u(x)f(u(x))v(x)f(v(x)){{\left( \int\limits_{v\left( x \right)}^{u\left( x \right)}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}=u'\left( x \right)f\left( u\left( x \right) \right)-{v}'\left( x \right)f\left( v\left( x \right) \right).
  • ABf(mx+n)dx=1mabf(x)dx\int\limits_{A}^{B}{f\left( m\text{x}+n \right)d\text{x}=\frac{1}{m}\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}}.
  • abf(x)dx=abf(a+bx)dx\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( a+b-x \right)d\text{x}}}.
  • Nếu f(x) là hàm lẻ thì aaf(x)dx=0\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)d\text{x}}=0.
  • Nếu f(x) là hàm chẵn thì aaf(x)dx=20af(x)dx\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)d\text{x}}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)d\text{x}}.
  • ABuf(u)dx=abf(x)dx\int\limits_{A}^{B}{{u}'f\left( u \right)d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}.
    B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn 25f(x)dx=10\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)d\text{x}}=10. Tính 52[24f(x)]dx\int\limits_{5}^{2}{\left[ 2-4f\left( x \right) \right]d\text{x}}.

 

A. 32

B. 34

C. 36

D. 40

Lời giải: Chọn B.

52[24f(x)]dx=522dx452f(x)dx=522dx+425f(x)dx=6+4.10=34\int\limits_{5}^{2}{\left[ 2-4f\left( x \right) \right]d\text{x}}=\int\limits_{5}^{2}{2\text{dx}}-4\int\limits_{5}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{5}^{2}{2\text{dx}}+4\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)d\text{x}}=-6+4.10=34.

Câu 2: Cho hàm số f(x) thỏa 12[3f(x)+2g(x)]dx=1\int\limits_{1}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]d\text{x}=1}12[2f(x)g(x)]dx=3\int\limits_{1}^{2}{\left[ 2f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]d\text{x}=-3}. Tính tích phân 12f(x)dx\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}.

A. 1

B. 2

C. 57-\frac{5}{7}

D. 12\frac{1}{2}

Lời giải: Chọn C.

Đặt 12f(x)dx=a\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=a12g(x)dx=b\int\limits_{1}^{2}{g\left( x \right)d\text{x}}=b. Khi đó: 12[3f(x)+2g(x)]dx=13a+2b=1\int\limits_{1}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]d\text{x}=1}\Leftrightarrow 3\text{a}+2b=1 (1) và 12[2f(x)g(x)]dx=32ab=3\int\limits_{1}^{2}{\left[ 2f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]d\text{x}=-3}\Leftrightarrow 2\text{a}-b=-3 (2). Từ (1)(2)12f(x)dx=a=57\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=a=-\frac{5}{7}.

Câu 3: Cho 12f(x)dx=a\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=a. Tính tích phân 01xf(x2+1)dx\int\limits_{0}^{1}{xf\left( {{x}^{2}}+1 \right)d\text{x}}

A. 2a

B. 4a

C. a2\frac{a}{2}

D. a4\frac{a}{4}

Lời giải: Chọn C.

01xf(x2+1)dx=1201f(x2+1)d(x2+1)=1212f(x)dx=a2\int\limits_{0}^{1}{xf\left( {{x}^{2}}+1 \right)d\text{x}}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)d\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}}d\text{x}=\frac{a}{2}

Câu 4: Cho 12f(x)dx=2016\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=2016. Tính I=0113x+1f(3x+1)dx\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{3\text{x}+1}}f\left( \sqrt{3\text{x+1}} \right)d\text{x}}(1)

A. 2016

B. 1008

C. 1344

D. 3024

Lời giải: Chọn C.

Đặt 3x+1=t3x+1=t23dx=2tdtdx=2t3dt\sqrt{3\text{x}+1}=t\Leftrightarrow 3\text{x}+1={{t}^{2}}\Leftrightarrow 3\text{dx}=2t\text{d}t\Leftrightarrow d\text{x}=\frac{2t}{3}dt.

I=2312f(t)dt=2312f(x)dx=1344I=\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=1344

Câu 5: Cho 0π2cosx.f(sinx)dx=2017\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( \sin x \right)dx=2017}. Tính 0π4cos2x.f(sin2x)dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos 2x.f\left( \sin 2x \right)dx}.

A22017\frac{2}{2017}

B. 20172\frac{2017}{2}

C. 2017

D. 20172-\frac{2017}{2}

Lời giải: Chọn B.

0π2cosx.f(sinx)dx=0π4cos2x.f(sin2x)d(2x)=20π4cos2x.f(sin2x)dx=2017\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( \sin x \right)dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos 2x.f\left( \sin 2x \right)d\left( 2x \right)=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos 2x.f\left( \sin 2x \right)dx}=2017}}0π4cos2x.f(sin2x)dx=20172\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos 2x.f\left( \sin 2x \right)dx}=\frac{2017}{2}.

II. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn f(1)=1, f(2)=2. Tính12f(x)dx\int\limits_{1}^{2}{{f}'\left( x \right)d\text{x}}

A. 1

B. -1

C. 3

D. 2

Câu 2: Cho f(x) là hàm số chẵn và thỏa mãn 10f(x)dx=3\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)d\text{x}}=3. Tính 11f(x)dx\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}

A. 3

B. 2

C. 6

D. 1

Câu 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [2;4] và thỏa mãn f(2)=2, f(4)=2018. Tính 12f(2x)dx\int\limits_{1}^{2}{{f}'\left( 2x \right)d\text{x}}.

A. -1008

B. 2018

C. 1008

D. -2108

Câu 4: Cho 12017f(x)dx=2\int\limits_{1}^{2017}{f\left( x \right)d\text{x}}=2. Tính 12017f(2018x)dx\int\limits_{1}^{2017}{f\left( 2018-x \right)d\text{x}}.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Câu 5: Cho 12f(3x1)dx=20\int\limits_{1}^{2}{f\left( 3\text{x}-1 \right)d\text{x}=20}. Tính 25f(x)dx\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)dx}.

A. 20

B. 40

C. 10

D. 60

Câu 6: Cho 0π2cosx.f(sinx)dx=2017\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( \sin x \right)dx}=2017.Tính 0π2sinx.f(cosx)dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x.f\left( \cos x \right)dx}.

A. 2016

B. 2017

C. 2018

D. 2019

Câu 7: Cho 0πxf(sinx)dx=3π2\int\limits_{0}^{\pi }{xf\left( \sin x \right)dx}=\frac{3\pi }{2}. Tính 0πf(sinx)dx\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( \sin x \right)dx}.

A. 3

B. 6

C. 3π3\pi

D. 6π6\pi

Câu 8: Cho 0π2sin2x.f(x)dx=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}x.f\left( x \right)d\text{x}=2} đồng thời f(x)=f(π2x)x(0;π2)f\left( x \right)=f\left( \frac{\pi }{2}-x \right)\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right). Tính 0π2f(x)dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)d\text{x}}.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên R\mathbb{R} và thảo mãn 0π4tanx.f(cos2x)dx=1\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\tan x.f\left( {{\cos }^{2}}x \right)dx=1}, ee2f(ln2x)xlnxdx=1\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( {{\ln }^{2}}x \right)}{x\ln x}dx=1}. Tính 142f(2x)xdx\int\limits_{\frac{1}{4}}^{2}{\frac{f\left( 2x \right)}{x}}d\text{x}.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 10: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [0;1] thỏa mãn 3f(x)+2xf(1x2)=1x23f\left( x \right)+2\text{x}f\left( 1-{{x}^{2}} \right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}. Tính 01f(x)dx\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}.

A. π20\frac{\pi }{20}

B. π2\frac{\pi }{2}

C. π21\frac{\pi }{21}

D. π16\frac{\pi }{16}

Đáp án bài tập tự luyện

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

C

C

B

D

B

A

D

D

D

 

 

 

 

Bài viết gợi ý: