Chuyên đề: Tích phân hàm ẩn.
Hướng dẫn học sinh rèn luyện kĩ năng giải các bài tập liên quan và các dạng bài tập hay gặp về tích phân hàm ẩn.
Hướng dẫn học sinh rèn luyện kĩ năng giải các bài tập liên quan và các dạng bài tập hay gặp về tích phân hàm ẩn.
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN
A. Lý thuyết
Các công thức cần nhớ
- a∫bf′(x)dx=f(b)−f(a).
- (F(u))′=u′.f(u).
- du=u′dx.
- ⎝⎜⎛a∫u(x)f(t)dt⎠⎟⎞′=u′(x)f(u(x)).
- ⎝⎜⎛v(x)∫u(x)f(t)dt⎠⎟⎞′=u′(x)f(u(x))−v′(x)f(v(x)).
- A∫Bf(mx+n)dx=m1a∫bf(x)dx.
- a∫bf(x)dx=a∫bf(a+b−x)dx.
- Nếu f(x) là hàm lẻ thì −a∫af(x)dx=0.
- Nếu f(x) là hàm chẵn thì −a∫af(x)dx=20∫af(x)dx.
- A∫Bu′f(u)dx=a∫bf(x)dx.
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn 2∫5f(x)dx=10. Tính 5∫2[2−4f(x)]dx.
|
A. 32
|
B. 34
|
C. 36
|
D. 40
|
Lời giải: Chọn B.
5∫2[2−4f(x)]dx=5∫22dx−45∫2f(x)dx=5∫22dx+42∫5f(x)dx=−6+4.10=34.
Câu 2: Cho hàm số f(x) thỏa 1∫2[3f(x)+2g(x)]dx=1 và 1∫2[2f(x)−g(x)]dx=−3. Tính tích phân 1∫2f(x)dx.
|
A. 1
|
B. 2
|
C. −75
|
D. 21
|
Lời giải: Chọn C.
Đặt 1∫2f(x)dx=a và 1∫2g(x)dx=b. Khi đó: 1∫2[3f(x)+2g(x)]dx=1⇔3a+2b=1 (1) và 1∫2[2f(x)−g(x)]dx=−3⇔2a−b=−3 (2). Từ (1)(2)⇒1∫2f(x)dx=a=−75.
Câu 3: Cho 1∫2f(x)dx=a. Tính tích phân 0∫1xf(x2+1)dx
|
A. 2a
|
B. 4a
|
C. 2a
|
D. 4a
|
Lời giải: Chọn C.
0∫1xf(x2+1)dx=210∫1f(x2+1)d(x2+1)=211∫2f(x)dx=2a
Câu 4: Cho 1∫2f(x)dx=2016. Tính I=0∫13x+11f(3x+1)dx(1)
|
A. 2016
|
B. 1008
|
C. 1344
|
D. 3024
|
Lời giải: Chọn C.
Đặt 3x+1=t⇔3x+1=t2⇔3dx=2tdt⇔dx=32tdt.
I=321∫2f(t)dt=321∫2f(x)dx=1344
Câu 5: Cho 0∫2πcosx.f(sinx)dx=2017. Tính 0∫4πcos2x.f(sin2x)dx.
|
A. 20172
|
B. 22017
|
C. 2017
|
D. −22017
|
Lời giải: Chọn B.
0∫2πcosx.f(sinx)dx=0∫4πcos2x.f(sin2x)d(2x)=20∫4πcos2x.f(sin2x)dx=2017⇔0∫4πcos2x.f(sin2x)dx=22017.
II. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn f(1)=1, f(2)=2. Tính1∫2f′(x)dx
|
A. 1
|
B. -1
|
C. 3
|
D. 2
|
Câu 2: Cho f(x) là hàm số chẵn và thỏa mãn −1∫0f(x)dx=3. Tính −1∫1f(x)dx
|
A. 3
|
B. 2
|
C. 6
|
D. 1
|
Câu 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [2;4] và thỏa mãn f(2)=2, f(4)=2018. Tính 1∫2f′(2x)dx.
|
A. -1008
|
B. 2018
|
C. 1008
|
D. -2108
|
Câu 4: Cho 1∫2017f(x)dx=2. Tính 1∫2017f(2018−x)dx.
|
A. 1
|
B. 2
|
C. 3
|
D. 5
|
Câu 5: Cho 1∫2f(3x−1)dx=20. Tính 2∫5f(x)dx.
|
A. 20
|
B. 40
|
C. 10
|
D. 60
|
Câu 6: Cho 0∫2πcosx.f(sinx)dx=2017.Tính 0∫2πsinx.f(cosx)dx.
|
A. 2016
|
B. 2017
|
C. 2018
|
D. 2019
|
Câu 7: Cho 0∫πxf(sinx)dx=23π. Tính 0∫πf(sinx)dx.
|
A. 3
|
B. 6
|
C. 3π
|
D. 6π
|
Câu 8: Cho 0∫2πsin2x.f(x)dx=2 đồng thời f(x)=f(2π−x)∀x∈(0;2π). Tính 0∫2πf(x)dx.
|
A. 1
|
B. 2
|
C. 3
|
D. 4
|
Câu 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thảo mãn 0∫4πtanx.f(cos2x)dx=1, e∫e2xlnxf(ln2x)dx=1. Tính 41∫2xf(2x)dx.
|
A. 1
|
B. 2
|
C. 3
|
D. 4
|
Câu 10: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [0;1] thỏa mãn 3f(x)+2xf(1−x2)=1−x2. Tính 0∫1f(x)dx.
|
A. 20π
|
B. 2π
|
C. 21π
|
D. 16π
|
Đáp án bài tập tự luyện
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
A
|
C
|
C
|
B
|
D
|
B
|
A
|
D
|
D
|
D
|
Bài viết gợi ý: