Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp
-
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó
Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp
-
Đáy là một đa giác nội tiếp
Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}}}.$
Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.
Ví dụ 1.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3a,BC=4a,SA=12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$
|
A. $R=\frac{13a}{2}.$ |
B. $R=6a.$ |
C. $R=\frac{17a}{2}.$ |
D. $R=\frac{5a}{2}.$ |
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122
Giải.Ta có ${{R}_{d}}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}}{2}=\frac{5a}{2}.$
Vậy $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{5a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{12a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{13a}{2}.$ Chọn đáp án A.
Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)
Khối tứ diện vuông $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc có \[R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}.\]
Ví dụ 1:Khối tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $\sqrt{3}.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $OABC$ bằng
|
A. $\frac{4}{3}.$ |
B. $8.$ |
C. $\frac{8}{3}.$ |
D. $8.$ |
Giải. Ta có $R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=\sqrt{3}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=12.$
Mặt khác ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.OA.OB.OC$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:
\[12=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{O{{A}^{2}}.O{{B}^{2}}.O{{C}^{2}}}\Rightarrow OA.OB.OC\le 8.\]
Do đó ${{V}_{OABC}}\le \frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.
Công thức 3:Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)
$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$
Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.
Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
|
A. $a=\frac{\sqrt{3}R}{3}.$ |
B. $a=2R.$ |
C. $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$ |
D. $a=2\sqrt{3}R.$ |
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124
Giải. Ta có $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Vậy $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$ Chọn đáp án C.
Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$
Khối tứ diện $({{H}_{1}})$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $({{H}_{2}}),$ khi đó ${{R}_{({{H}_{1}})}}={{R}_{({{H}_{2}})}}=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$
Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( a.\cot \frac{x}{2} \right)}^{2}}}$ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $a,x$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.
Hoặc có thể sử dụng công thức $R=\sqrt{R_{d}^{2}+R_{b}^{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}},$ trong đó ${{R}_{b}}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAD$ đều cạnh $\sqrt{2}a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$
|
A. $R=\frac{a\sqrt{10}}{2}.$ |
B. $R=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$ |
C. $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$ |
D. $R=\sqrt{2}a.$ |
Giải.Ta có $R=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{2}.\cot {{60}^{0}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$
Chọn đáp án B.
Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau có $R=\frac{c{{b}^{2}}}{2h},$ trong đó $cb$ là độ dài cạnh bên và $h$ là chiều cao khối chóp, được xác định bởi $h=\sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}.$
