Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số bậc 3 dạng $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\ne 0 \right)$
Ta có: $f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ , ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $f'\left( x \right)$
a.Hàm số đồng biến trên R
.png)
b. Hàm đồng biến trên khoảng
.png)
c. Hàm nghịch biến trên khoảng
.png)
d.Hàm số đồng biến trên khoảng
.png)
e. Hàm số nghịch biến trên khoảng
.png)
f. Hàm số đồng biến trên khoảng
.png)
Khoảng đồng biến có độ dài bằng d $\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=d\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{d}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{d}^{2}}$
Áp dụng hệ thức Viet để giải tiếp
g. Hàm số nghich biến trên khoảng
.png)
Khoảng đồng biến có độ dài bằng d $\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=d\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{d}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{d}^{2}}$
Áp dụng hệ thức Viet để giải tiếp
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm m để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+m+1 \right)x-2$ đồng biến trên ℝ
Bài 2: Tìm m để hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-{{m}^{2}}+1 \right)x-2$ nghịch biến trên ℝ
Bài 3: Tìm m để hàm số $y=2{{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+6m\left( m+1 \right)x-2$ đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right)$
Bài 4: Tìm m để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+mx-2$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
Dạng 2: Đặt ẩn phụ
Tìm điều kiện để hàm số $y=\frac{a.u\left( x \right)+b}{c.u\left( x \right)+d}$ đơn điệu trên khoảng $\left( m;n \right)$
Cách giải
Đặt $t=u\left( x \right),x\in \left( m,n \right)\Rightarrow t\in \left( p;q \right)$
Khi đó: $y=\frac{at+b}{ct+d}\Rightarrow y'=t_{x}^{'}.y_{t}^{'}$
Bài toán trở thành tìm điều kiện y’ để hàm số đơn điệu
Ví dụ: Tìm m để hàm số $y=\frac{\sin x+4}{\sin x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$
Đặt $t=\sin x,x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right)$
Hàm số trở thành $y=\frac{t+4}{t+m}\Rightarrow y_{x}^{'}=t_{x}^{'}.y_{t}^{'}=\cos x.\frac{m-4}{{{\left( t+m \right)}^{2}}}$
Ta có: $x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \cos x>0$
Do đó: để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow y_{x}^{'}<0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow y_{t}^{'}<0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$
.png)
Vậy $m\in \left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 0;4 \right)$
Bài tập áp dụng:
Bài 1:Tìm m để hàm số $y=\frac{m.\cos x+9}{\cos x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$
Bài 2: Tìm m sao cho hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$
Bài 3: Trong khoảng $\left( -100;100 \right)$ chứa bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn hàm số $y=\frac{m\cos x+25}{\cos x+m}$ nghịch biến trên khoảng .png)
Dạng 3: Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đồng biến trên khoảng .png)
.png)
Dạng 4: Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ nghịch biến trên khoảng .png)
.png)
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{x+2}{x+5m}$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-10 \right)$
Bài 2: Biết rằng khoảng $\left( a;b \right)$ chứa tất cả các giá trị m thỏa mãn điều kiện của hàm số $y=\frac{mx+3}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$.Tính giá trị của $b-a$
.png)
