|
Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên |
Ví dụ 1.1: Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có dạng khai triển sau: \[1;-1;-1;1;5;11;19;29;41;55;.....\]
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?
Bài giải
Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với những cách cho này ta thường làm phương pháp sau:
Đặt: \[\Delta {{u}_{k}}={{u}_{k+1}}-{{u}_{k}}\]
\[{{\Delta }^{2}}{{u}_{k}}=\Delta {{u}_{k+1}}-\Delta {{u}_{k}}\]
\[{{\Delta }^{3}}{{u}_{k}}={{\Delta }^{2}}{{u}_{k+1}}-{{\Delta }^{2}}{{u}_{k}}\]
……..
Ta lập bảng các giá trị \[\Delta {{u}_{k}},{{\Delta }^{2}}{{u}_{k}},{{\Delta }^{3}}{{u}_{k}}.....\]nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận \[{{u}_{n}}\] là đa thức bậc 1, 2, 3,…..và ta đi tìm đa thức đó.
Lời giải:
Bảng giá trị ban đầu:
.png)
Ta thấy hàng của \[{{\Delta }^{2}}{{u}_{k}}\] không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai:
\[{{u}_{n}}=a{{n}^{2}}+bn+c\left( a\ne 0 \right)\] (1) trong đó \[n\] là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Tìm \[a,b,c\] như sau:
Cho \[n=1;2;3\] thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau:
.png)
Ví dụ 1.2: Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có dạng khai triển sau: \[-5;-3;11;43;99;185;307;471;....\]
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo
Bảng giá trị ban đầu
.png)
Ta thấy hàng của \[{{\Delta }^{3}}{{u}_{k}}\] không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba:
\[{{u}_{n}}=a{{n}^{3}}+b{{n}^{2}}+cn+d\left( a\ne 0 \right)\] (2) trong đó \[n\] là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Tìm \[a,b,c,d\] như sau:
Cho \[n=1;2;3;4\] thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau:
.png)
Hai số hạng tiếp theo là: \[{{u}_{9}}=683\]; \[{{u}_{10}}=949\]
Lời bình: Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau:
\[{{u}_{n}}={{n}^{2}}-5n+5+P\left( n \right).\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\] (Của ví dụ 1.1)
\[{{u}_{n}}={{n}^{3}}-5n-1+P\left( n \right)\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)\] (của ví dụ 1.2)
Với \[P\left( n \right)\] là một đa thức bất kỳ
Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà không tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn.
Bài tập tương tự:
Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số
-
- \[8;14;20;26;32;.....\] (Đs: \[{{u}_{n}}=6n+2\])
- \[1;-2;-2;1;7;16;28;43;61;...\] (Đs: \[{{u}_{n}}=\frac{3}{2}{{n}^{2}}-\frac{15}{2}n+7\])
- \[1;6;17;34;57;86;121;.....\] (Đs: \[{{u}_{n}}=3{{n}^{2}}-4n+2\])
- \[2;3;7;14;24;37;.....\] (Đs: \[{{u}_{n}}=\frac{3}{2}{{n}^{2}}-\frac{7}{2}n+4\])
- \[3;5;10;18;29;.....\] (Đs: \[{{u}_{n}}=\frac{3}{2}{{n}^{2}}-\frac{5}{2}n+4\])
- \[2;1;5;14;28;47;71;100;134;173;217;....\] (Đs: \[{{u}_{n}}=\frac{5}{2}{{n}^{2}}-\frac{17}{2}n+8\])
- \[2;2;8;26;62;122;212;338;....\] (Đs: \[{{u}_{n}}={{n}^{3}}-3{{n}^{2}}+2n+2\])
Lời bình: Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì:
-
-
- Với 3 trường hợp 1, 2, và 3, dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng, cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số hạng tổng quát.
- Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy số mới \[\left( {{v}_{n}} \right)\] liên hệ với dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa được về dãy số \[\left( {{v}_{n}} \right)\] mà \[\left( {{v}_{n}} \right)\] dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân.
- Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa \[\left( {{u}_{n}} \right)\] và \[\left( {{v}_{n}} \right)\] bởi biểu thức nào mới có thể đưa dãy số \[\left( {{v}_{n}} \right)\] thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường hợp 4. Qua quá trình tìm tòi, tôi đã tìm ra được một số dạng sau:
-
LOẠI 2.1:.png)
GIẢI:
Trường hợp 1: Nếu .png)
Cách 1:
Ta có: ${{u}_{1}}=a$
${{u}_{2}}={{u}_{1}}+c.1+d$
${{u}_{3}}={{u}_{2}}+c.2+d$
${{u}_{4}}={{u}_{3}}+c.3+d$
………….
${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+c.\left( n-1 \right)+d$
Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được:
${{u}_{n}}=a+c.1+c.2+c.3+......+c.\left( n-1 \right)+\left( n-1 \right)d$ $=a+\frac{cn\left( n-1 \right)}{2}+\left( n-1 \right)d$
Cách 2: Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triền)
-
- Trường hợp 2: Nếu $q\ne 1$
Đặt dãy \[\left( {{v}_{n}} \right)\] sao cho: ${{u}_{n}}={{v}_{n}}+\frac{cn}{1-q}$, thay vào công thức truy hồi ta được
${{v}_{n+1}}+\frac{c\left( n+1 \right)}{1-q}=q\left( {{v}_{n}}+\frac{cn}{1-q} \right)+cn+d$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=q{{v}_{n}}+d-\frac{c}{1-q}$
Từ đó ta có dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ với
.png)
Khi đó dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ lại có DẠNG 1
Ví dụ 2.2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết:
.png)
.png)
.png)
Bài giải:
.png)
Cách 1:
Ta có:
${{u}_{1}}=5$
${{u}_{2}}={{u}_{1}}+3.1-2$
${{u}_{3}}={{u}_{2}}+3.2-2$
${{u}_{4}}={{u}_{3}}+3.3-2$
${{u}_{5}}={{u}_{4}}+3.4-2$
…………..
${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+3.\left( n-1 \right)-2$
Cộng vế với vế ta được:
$\Rightarrow {{u}_{n}}=5+3.1+3.2+3.3+....+3.\left( n-1 \right)-2\left( n-1 \right)=5+\frac{3\left( n-1 \right)n}{2}-2\left( n-1 \right)=\frac{3{{n}^{2}}-7n+14}{2}$
Cách 2:
Ta có dạng khai triển của dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là:
\[5;6;10;17;27;40;56;75;.....\]
.png)
$\Rightarrow {{u}_{n}}=a{{n}^{2}}+bn+c$ (*)
Thay $n=1,n=2,n=3$ vào (*) ta được:
.png)
$\Rightarrow {{u}_{n}}=\frac{3}{2}{{n}^{2}}-\frac{7}{2}n+7=\frac{3{{n}^{2}}-7n+14}{2}$
.png)
Đặt dãy \[\left( {{v}_{n}} \right)\] sao cho: ${{u}_{n}}={{v}_{n}}+n,n\ge 1$
Thay vào công thức truy hồi ta được:
${{v}_{n+1}}+n+1=10\left( {{v}_{n}}+n \right)+1-9n$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=10{{v}_{n}}$
$\Rightarrow \left( {{v}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${{v}_{1}}={{u}_{1}}-1=10$ và công bội $q=10$
$\Rightarrow {{v}_{n}}={{10.10}^{n-1}}={{10}^{n}}$
$\Rightarrow {{u}_{n}}={{10}^{n}}+n$
.png)
Đặt dãy \[\left( {{v}_{n}} \right)\] sao cho: ${{u}_{n}}={{v}_{n}}+3n$, thay vào công thức truy hồi của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ ta được:
${{v}_{n+1}}+3\left( n+1 \right)=3\left( {{v}_{n}}+3n \right)-6n+1$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=3{{v}_{n}}-2$
.png)
Đặt dãy \[\left( {{y}_{n}} \right)\] sao cho ${{v}_{n}}={{y}_{n}}+1,n\ge 1$, thay vào công thức truy hồi của dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ ta được
${{y}_{n+1}}+1=3\left( {{y}_{n}}+1 \right)-2$
$\Rightarrow {{y}_{n+1}}=3{{y}_{n}}$
$\Rightarrow \left( {{y}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${{y}_{1}}={{v}_{1}}-1=-2-1=-3$ và công bội $q=3$
${{y}_{n}}=-{{3.3}^{n-1}}=-{{3}^{n}}$
$\Rightarrow {{v}_{n}}=-{{3}^{n}}+1$
Vây: ${{u}_{n}}=-{{3}^{n}}+1+3n$
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết:
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}=100-{{n}^{2}}$)
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}=1+{{1}^{3}}+{{2}^{3}}+...+{{\left( n-1 \right)}^{3}}={{\left[ \frac{n\left( n-1 \right)}{2} \right]}^{2}}$ )
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}=1+{{1}^{3}}+{{2}^{3}}+...+{{\left( n-1 \right)}^{3}}={{\left[ \frac{n\left( n-1 \right)}{2} \right]}^{2}}$ )
LOẠI 2.2: Cho dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\] xác định bởi:
.png)
với $q\ne 0$
GIẢI:
Trường hợp 1: Nếu $q=1$ .png)
ta có thể làm bằng phương pháp sau:
Ta có: ${{u}_{1}}=a$
${{u}_{2}}={{u}_{1}}+r{{c}^{1}}$
${{u}_{3}}={{u}_{2}}+r{{c}^{2}}$
${{u}_{4}}={{u}_{3}}+r{{c}^{3}}$
………………..
${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+r{{c}^{n-1}}$
Cộng vế với vế ta được:
${{u}_{n}}=a+(c+{{c}^{2}}+{{c}^{3}}+....+{{c}^{n-1}})r=a+\frac{c\left( {{c}^{n-1}}-1 \right)r}{c-1}$
- Trường hợp 2:Nếu $c\ne q$
.png)
Đặt dãy \[\left( {{v}_{n}} \right)\] sao cho: ${{u}_{n}}={{v}_{n}}+\frac{r{{c}^{n}}}{c-q}$, thay vào công thức truy hồi ta được
${{v}_{n+1}}+\frac{r{{c}^{n+1}}}{c-q}=q\left( {{v}_{n}}+\frac{r{{c}^{n}}}{c-q} \right)+r{{c}^{n}}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=q{{v}_{n}}$
$\Rightarrow \left( {{v}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${{v}_{1}}={{u}_{1}}-\frac{rc}{c-q}=a-\frac{rc}{c-q}$ và công bội bằng $q$
$\Rightarrow {{v}_{n}}=\left( a-\frac{rc}{c-q} \right){{q}^{n-1}}$
$\Rightarrow {{u}_{n}}={{v}_{n}}+\frac{r{{c}^{n}}}{c-q}=\left( a-\frac{rc}{c-q} \right){{q}^{n-1}}+\frac{r{{c}^{n}}}{c-q}$
- Trường hợp 3: Nếu $c=q$
.png)
Đặt dãy số \[\left( {{v}_{n}} \right)\] sao cho: ${{u}_{n}}={{q}^{n}}.{{v}_{n}}$, thay vào công thức truy hồi của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ ta được
${{q}^{n+1}}{{v}_{n+1}}=q\left( {{q}^{n}}{{v}_{n}} \right)+r{{q}^{n}}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}={{v}_{n}}+\frac{r}{q}$
$\Rightarrow \left( {{v}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${{v}_{1}}=\frac{{{u}_{1}}}{q}=\frac{a}{q}$ và công sai $d=\frac{r}{q}$
Ví dụ 2.3: Cho dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\] biết .png)
Xác định số hạng tổng quát của dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\]
(Đs: ${{u}_{n}}=2-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}$ )
Bài giải:
Cách 1:
Ta có:
${{u}_{1}}=1$
${{u}_{2}}={{u}_{1}}+\frac{1}{2}$
${{u}_{3}}={{u}_{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}$
${{u}_{4}}={{u}_{3}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}$
…………
${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}$
Cộng vế với vế ta được:
${{u}_{n}}=1+\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+.....+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}=\frac{1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}$
Cách 2:
Đặt dãy số \[\left( {{v}_{n}} \right)\] sao cho: ${{u}_{n}}={{v}_{n}}+\frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}{-\frac{1}{2}}={{v}_{n}}-2.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}$ thay vào công thức truy hồi ta được:
${{v}_{n+1}}-2{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n+1}}={{v}_{n}}-2{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}={{v}_{n}}$
$\Rightarrow $ dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ được xác định bởi:
.png)
$\Rightarrow {{v}_{n}}={{v}_{1}}=2,n\ge 1$
Vậy: ${{u}_{n}}=2-2{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}=2-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}$
Ví dụ 2.4: Viết công thức của số hạng tổng quát của các dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với:
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}={{5.2}^{n-1}}+{{3}^{n}}$)
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}=\frac{1}{2}\left( {{3}^{n}}-{{5}^{n-1}} \right)$)
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}=n{{.7}^{n}}+{{94.7}^{n-1}}$)
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}=3n{{.2}^{n}}-{{5.2}^{n-1}}$)
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}=\frac{3-{{3}^{n+1}}}{2}+n{{.3}^{n}}$)
Bài giải:
.png)
Đặt ${{u}_{n}}={{v}_{n}}+{{3}^{n}},n\ge 1$ thay vào công thức truy hội của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ ta được:
${{v}_{n+1}}+{{3}^{n+1}}=2\left( {{v}_{n}}+{{3}^{n}} \right)+{{3}^{n}}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=2{{v}_{n}}$
$\Rightarrow \left( {{v}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${{v}_{1}}={{u}_{1}}-3=5$và công bội $q=2$
$\Rightarrow {{v}_{n}}={{5.2}^{n-1}}$
$\Rightarrow {{u}_{n}}={{5.2}^{n-1}}+{{3}^{n}}$
.png)
Đặt ${{u}_{n}}={{v}_{n}}+\frac{{{3}^{n}}}{2}$ thay vào công thức truy hồi ta được
${{v}_{n+1}}+\frac{{{3}^{n+1}}}{2}=5\left( {{v}_{n}}+\frac{{{3}^{n}}}{2} \right)-{{3}^{n}}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=5{{v}_{n}}$
$\Rightarrow \left( {{v}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${{v}_{1}}={{u}_{1}}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$ và công bội $q=5$
$\Rightarrow {{v}_{n}}=-\frac{1}{2}{{.5}^{n-1}}$
$\Rightarrow {{u}_{n}}=-\frac{1}{2}{{.5}^{n-1}}+\frac{1}{2}{{.3}^{n}}=\frac{1}{2}\left( {{3}^{n}}-{{5}^{n-1}} \right)$
.png)
Đặt ${{u}_{n}}={{7}^{n}}{{v}_{n}}$ thay vào công thức truy hồi ta được
${{7}^{n+1}}{{v}_{n+1}}={{7.7}^{n}}{{v}_{n}}+{{7}^{n+1}}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}={{v}_{n}}+1$
$\Rightarrow \left( {{v}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${{v}_{1}}=\frac{{{u}_{1}}}{7}=\frac{101}{7}$ và công sai $d=1$
$\Rightarrow {{v}_{n}}=\frac{101}{7}+n-1=n+\frac{94}{7}$
$\Rightarrow {{u}_{n}}=n{{.7}^{n}}+{{94.7}^{n-1}}$
.png)
Đặt ${{u}_{n}}={{2}^{n}}{{v}_{n}},n\ge 1$ thay vào công thức truy hồi ta được
${{2}^{n+1}}{{v}_{n+1}}={{2.2}^{n}}{{v}_{n}}+{{6.2}^{n}}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}={{v}_{n}}+3$
$\Rightarrow \left( {{v}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với số hạng đầu ${{v}_{1}}=\frac{{{u}_{1}}}{2}=\frac{1}{2}$ và công sai $d=3$
$\Rightarrow {{v}_{n}}=\frac{1}{2}+\left( n-1 \right)3=3n-\frac{5}{2}$
$\Rightarrow {{u}_{n}}=\left( 3n-\frac{5}{2} \right){{.2}^{n}}=3n{{.2}^{n}}-{{5.2}^{n-1}}$
.png)
Đặt ${{u}_{n}}={{3}^{n}}{{v}_{n}},n\ge 1$ thay vào biểu thức truy hồi của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ ta được
${{3}^{n+1}}{{v}_{n+1}}={{3}^{n}}{{v}_{n}}+2n{{.3}^{n}}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=\frac{1}{3}{{v}_{n}}+\frac{2}{3}n$
$\Rightarrow $ dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ xác định bởi .png)
Đặt ${{v}_{n}}={{y}_{n}}+n$ thay vào công thức truy hồi của dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ ta được
${{y}_{n+1}}+n+1=\frac{1}{3}\left( {{y}_{n}}+n \right)+\frac{2}{3}n$
$\Rightarrow {{y}_{n+1}}=\frac{1}{3}{{y}_{n}}-1$
$\Rightarrow \left( {{y}_{n}} \right)$ xác định bởi .png)
Đặt ${{y}_{n}}={{t}_{n}}-\frac{3}{2}$ thay vào công thức truy hồi của dãy $\left( {{y}_{n}} \right)$ ta được
${{t}_{n+1}}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\left( {{t}_{n}}-\frac{3}{2} \right)-1$
$\Rightarrow {{t}_{n+1}}=\frac{1}{3}{{t}_{n}}$
$\Rightarrow \left( {{t}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${{t}_{1}}={{y}_{1}}+\frac{3}{2}=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$và công bội $q=\frac{1}{3}$
………………….
$\Rightarrow {{u}_{n}}=\frac{3-{{3}^{n+1}}}{2}+n{{.3}^{n}}$
LOẠI 2.3: Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] xác định bởi: .png)
GIẢI:
Đặt dãy số \[\left( {{v}_{n}} \right)\] sao cho: ${{u}_{n}}=\frac{1}{{{v}_{n}}}$ thay vào công thức truy hồi của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ ta đươc
$\frac{1}{{{v}_{n+1}}}=\frac{\frac{c}{{{v}_{n}}}}{q+\frac{d}{{{v}_{n}}}}$
$\Rightarrow \frac{1}{{{v}_{n+1}}}=\frac{c}{q{{v}_{n}}+d}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=\frac{q}{c}{{v}_{n}}+\frac{d}{c}$
.png)
LOẠI 2.4: Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] xác định bởi: .png)
GIẢI:
Đặt ${{u}_{n}}={{v}_{n}}+\alpha ,n\ge 1$ thay vào công thức truy hồi của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ ta được
${{v}_{n+1}}+\alpha =\frac{b+c\left( {{v}_{n}}+\alpha \right)}{p+r\left( {{v}_{n}}+\alpha \right)}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=\frac{b+c\alpha +c{{v}_{n}}-\alpha p-\alpha r{{v}_{n}}-{{\alpha }^{2}}}{p+r\left( {{v}_{n}}+\alpha \right)}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=\frac{\left[ -{{\alpha }^{2}}+\left( -p+c \right)\alpha +b \right]+\left( c-r\alpha \right){{v}_{n}}}{\left( p+r\alpha \right)+r{{v}_{n}}}$
Để dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ trở về loại 2.3, ta chọn $\alpha $ là nghiệm của phương trình $-{{\alpha }^{2}}+\left( -r+c \right)\alpha +b=0$
Ví dụ 2.5: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ sau, biết:
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}=\frac{1}{n}$)
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}=\frac{1}{{{3.2}^{n-2}}-1}$)
.png)
(Đs: ${{u}_{n}}=\frac{n}{n+1}$)
.png)
(Đs: \[{{u}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n+2}}-6}+\frac{1}{2}\])
Bài giải:
.png)
Đặt ${{u}_{n}}=\frac{1}{{{v}_{n}}}$ thay vào công thức truy hồi của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ ta được:
$\frac{1}{{{v}_{n+1}}}=\frac{\frac{1}{{{v}_{n}}}}{1+\frac{1}{{{v}_{n}}}}$
$\Rightarrow \frac{1}{{{v}_{n+1}}}=\frac{1}{1+{{v}_{n}}}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}={{v}_{n}}+1$
Dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ là cấp số cộng có số hạng đầu ${{v}_{1}}=\frac{1}{{{u}_{1}}}=1$, công sai $d=1$
$\Rightarrow {{v}_{n}}={{v}_{1}}+\left( n-1 \right)d=1+n-1=n$
$\Rightarrow {{u}_{n}}=\frac{1}{n}$
.png)
Đặt ${{u}_{n}}=\frac{1}{{{v}_{n}}}$ thay vào công thức truy hồi của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ ta được:
$\frac{1}{{{v}_{n+1}}}=\frac{\frac{1}{{{v}_{n}}}}{2+\frac{1}{{{v}_{n}}}}$
$\Rightarrow \frac{1}{{{v}_{n+1}}}=\frac{1}{2{{v}_{n}}+1}$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=2{{v}_{n}}+1$
Đặt ${{v}_{n}}={{y}_{n}}-1$ thay vào dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ ta được:
${{y}_{n+1}}-1=2\left( {{y}_{n}}-1 \right)+1$
$\Rightarrow {{y}_{n+1}}=2{{y}_{n}}$
$\Rightarrow \left( {{y}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${{y}_{1}}={{v}_{1}}+1=\frac{1}{{{u}_{1}}}+1=\frac{3}{2}$ và công bội $q=2$
$\Rightarrow {{y}_{n}}=\frac{3}{2}{{.2}^{n-1}}={{3.2}^{n-2}}$
$\Rightarrow {{v}_{n}}={{y}_{n}}-1={{3.2}^{n-2}}-1$
$\Rightarrow {{u}_{n}}=\frac{1}{{{3.2}^{n-2}}-1}$
.png)
Đặt dãy số \[\left( {{v}_{n}} \right)\] sao cho: ${{u}_{n}}={{v}_{n}}+\alpha $ thay vào dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ ta được:
${{v}_{n+1}}+\alpha =\frac{1}{2-{{v}_{n}}-\alpha }$
$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=\frac{{{\alpha }^{2}}-2\alpha +1+\alpha {{v}_{n}}}{2-\alpha -{{v}_{n}}}$
Chọn $\alpha $ là nghiệm của phương trình: ${{\alpha }^{2}}-2\alpha +1=0$ $\Rightarrow \alpha =1$
$\Rightarrow {{u}_{n}}={{v}_{n}}+1$ và ${{v}_{n+1}}=\frac{{{v}_{n}}}{1-{{v}_{n}}}$
Đặt dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] sao cho: ${{v}_{n}}=\frac{1}{{{y}_{n}}}$ thay vào dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ ta được:
$\frac{1}{{{y}_{n+1}}}=\frac{\frac{1}{{{y}_{n}}}}{1-\frac{1}{{{y}_{n}}}}$
$\Rightarrow \frac{1}{{{y}_{n+1}}}=\frac{1}{{{y}_{n}}-1}$
$\Rightarrow {{y}_{n+1}}={{y}_{n}}-1$
$\Rightarrow \left( {{y}_{n}} \right)$ là cấp số cộng có số hạng đầu ${{y}_{1}}=\frac{1}{{{v}_{1}}}=\frac{1}{{{u}_{1}}-1}=-2$ và công sai $d=-1$
$\Rightarrow {{y}_{n}}=-2+\left( n-1 \right)\left( -1 \right)=-n-1$
$\Rightarrow {{v}_{n}}=\frac{1}{{{y}_{n}}}=-\frac{1}{n+1}$
$\Rightarrow {{u}_{n}}={{v}_{n}}+1=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
.png)
Đặt dãy \[\left( {{v}_{n}} \right)\] sao cho \[{{u}_{n}}={{v}_{n}}+\alpha \], thay vào công thức truy hồi ta được
\[{{v}_{n+1}}+\alpha =\frac{1-4\left( {{v}_{n}}+\alpha \right)}{1-6\left( {{v}_{n}}+\alpha \right)}\]
\[\Rightarrow {{v}_{n+1}}=\frac{\left( 6{{\alpha }^{2}}-5\alpha +1 \right)+\left( 6\alpha -4 \right)}{1-6\left( {{v}_{n}}+\alpha \right)}\]
=> chọn \[\alpha =\frac{1}{2}\] là một nghiệm của phương trình \[6{{\alpha }^{2}}-5\alpha +1=0\]
Khi đó \[{{u}_{n}}={{v}_{n}}+\frac{1}{2}\] và dãy số \[\left( {{v}_{n}} \right)\] được xác định bởi .png)
Đặt dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] sao cho \[{{v}_{n}}=\frac{1}{{{y}_{n}}}\] thay vào công thức truy hồi của dãy \[\left( {{v}_{n}} \right)\] ta được:
\[\frac{1}{{{y}_{n+1}}}=\frac{\frac{1}{{{y}_{n}}}}{2+\frac{6}{{{y}_{n}}}}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{{{y}_{n+1}}}=\frac{1}{2{{y}_{n}}+6}\]
\[\Rightarrow {{y}_{n+1}}=2{{y}_{n}}+6\]
\[\left( {{y}_{n}} \right)\] được xác định bởi .png)
Đặt dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] sao cho \[{{y}_{n}}={{x}_{n}}-6\] thay vào công thức truy hồi của dãy \[\left( {{y}_{n}} \right)\] ta được
\[{{x}_{n+1}}-6=2\left( {{x}_{n}}-6 \right)+6\]
\[\Rightarrow {{x}_{n+1}}=2{{x}_{n}}\]
\[\Rightarrow \left( {{x}_{n}} \right)\] là cấp số nhân với \[{{x}_{1}}={{y}_{1}}+6=8\] và công bội \[q=2\]
\[\Rightarrow {{x}_{n}}={{8.2}^{n-1}}={{2}^{n+2}}\]
\[\Rightarrow {{y}_{n}}={{2}^{n+2}}-6\]
\[\Rightarrow {{v}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n+2}}-6}\]
\[\Rightarrow {{u}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n+2}}-6}+\frac{1}{2}\]
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ sau, biết:
.png)
.png)
2.3. Sử dụng máy tính casio để tìm các số hạng trong một dãy số được cho bởi công thức truy hồi:
Theo dự án mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT Quốc gia, bộ môn Toán thi bằng phương pháp trắc nghiệm. Vậy, với một bài toán về dãy số mà dãy số đó cho bởi công thức truy hồi thì phải giải thế nào? Có phải tìm công thức của số hạng tổng quát hay không?
Sau đây tôi xin giới thiệu quy trình bấm máy tính casio để tìm giá trị \[{{u}_{k}}\] của một dãy số cho bởi biểu thức truy hồi
Ví dụ 3.1: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi .png)
Tính \[{{u}_{8}}\]?
Bài giải:
+ Gán giá trị của \[{{u}_{1}}=1\] vào biến A: 1 SHIFT STO A
+ Dùng biến D làm biến đếm, công thức truy hồi bắt đầu được tính từ \[{{u}_{2}}\], nên ta gán cho biến đếm D giá trị khởi đầu là 1: 1 SHIFT STO D
+ Biểu thức lặp: Khi biến đếm D tăng lên 1 đơn vị thì \[{{u}_{2}}={{u}_{1}}+3=A+3\] và ta lại gán giá trị của \[{{u}_{2}}\] vào biến A, cứ như vậy biều thức được lặp lại. Nên ta có biểu thức lặp như sau: \[D=D+1:A=A+3\]
+ Sau đó bấm phím CACL và liên tiếp các dấu “=” cho đến khi giá trị \[D=D+1=8\] thì tính được \[{{u}_{8}}\].
Tóm lại quy trình bấm máy như sau:
1 SHIFT STO A
1 SHIFT STO D
\[D=D+1:A=A+3\]
CACL = = = ……=
Cho đến khi trên màn hình có \[D=D+1=8\] bấm tiếp dấu “=” ta được \[A={{u}_{8}}=22\]
Chú ý: Các ký hiệu “=” và “:” trong biểu thức lặp \[D=D+1:A=A+3\] là những phím màu đỏ trên bàn phím của máy tính casio, nên ta phải bấm tổ hợp phím ALPHA và dấu “=”, dấu “:” màu đỏ. Còn dấu “=” sau khi gọi phím CACL = = = ……= là dấu “=” màu đen trên màn phím máy tính casio
Ví dụ 3.2: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi: .png)
Tính ${{u}_{7}}$?
Bài giải:
Vì công thức truy hồi được tính theo 2 số hạng đứng ngay trước nó, nên ta cần dùng đến 2 biến A và B cho 2 số hạng đó và phải dùng tới 2 lần lặp. Quy trình bấm máy như sau:
2 SHIFT STO A
-1 SHIFT STO B
2 SHIFT STO D
\[D=D+1:A=B+2A:D=D+1:B=A+2B\]
CACL = = = ….=
Cho đến khi \[D=D+1=7\] bấm tiếp dấu “=” nữa ta được \[{{u}_{7}}=23\]
Lời bình: Với quy trình này học sinh không phải dùng nháp và tính từng bước từ công thức truy hồi hoặc không phải tìm công thức của số hạng tổng quát đồng thời cũng có lợi khi bài toán yêu cầu tìm \[{{u}_{k}}\] với \[k\] hơi lớn (VD: \[{{u}_{40}},{{u}_{45}}\])
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi: .png)
Số hạng ${{u}_{4}}$ của dãy số là:
A. 1 B. $\frac{9}{8}$ C. $\frac{7}{8}$ D. $\frac{4}{3}$
Bài 2: Cho dãy số hữu hạn $\left( {{u}_{n}} \right)$ có dạng khai triển là: $1;$ $-1;$ $-1;$ $1;$ $5;$ $11;$ $19;$ $29;$ $41;$ $55;$ Khi đó công thức tổng quát của dãy số là:
A. ${{u}_{n}}={{n}^{2}}+3n-1$ B. ${{u}_{n}}={{n}^{2}}-3n-1$
C. ${{u}_{n}}={{n}^{2}}-5n+5$ D. ${{u}_{n}}={{n}^{2}}-2n$
Bài 3: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi .png)
Công thức của số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ là:
A. ${{u}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}-1}{{{2}^{n-1}}}$ B. ${{u}_{n}}=\frac{{{2}^{n+1}}-1}{{{2}^{n}}}$
C. ${{u}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}+3}{{{2}^{n}}}$ D. ${{u}_{n}}=\frac{{{2}^{n+1}}+1}{{{2}^{n+1}}}$
Với bài số 2: Ta sử dụng MODE 7 để kiểm tra từng đáp án
Quy trình bấm như sau:
MODE 7
\[F\left( x \right)={{x}^{2}}+3x-1\]
START 1
END 10
STEP 1
Sau đó dò trên cột \[f\left( x \right)\]. Nếu cột này trùng với các giá trị của các số hạng trong dãy số thì ta chọn biểu thức đó.
Chú ý: Với máy casio fx – 570 VN PLUS ta có thể kiểm tra một lúc 2 đáp án qua 2 hàm \[f\left( x \right)\] và \[g\left( x \right)\] bằng phím chuyển đổi: SHIFT MODE ▼ 5 2
