Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa

Câu 1. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\left[ 0;1 \right],\] thỏa mãn \[2f\left( x \right)+3f\left( 1-x \right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}.\] Giá trị của tích phân \[\int\limits_{0}^{1}{f'\left( x \right)dx}\] bằng

         A. \[0.\]                          B. \[\frac{1}{2}.\]        C. \[1.\]                          D. \[\frac{3}{2}.\]

Câu 2. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\left[ 0;1 \right]\], thỏa mãn \[f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=1.\] Biết rằng \[\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\left[ f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right]dx}=ae+b.\] Tính \[Q={{a}^{2018}}+{{b}^{2018}}.\]

         A. \[Q={{2}^{2017}}+1.\]                                     B. \[Q=2.\]                       C. \[Q=0.\]           D. \[Q={{2}^{2017}}-1.\]

Câu 3. Cho các hàm số \[y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\] có các đạo hàm liên tục trên \[\left[ 0;2 \right]\] và thỏa mãn \[\int\limits_{0}^{2}{f'\left( x \right)g\left( x \right)dx}=2,\] \[\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)g'\left( x \right)dx}=3.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)g\left( x \right) \right]'dx}.\]

         A. \[I=-1.\]                    B. \[I=1.\]                      C. \[I=5.\]                        D. \[I=6.\]

Câu 4. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ 0;+\infty  \right)\] và thỏa mãn \[\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt}=x.\sin \left( \pi x \right).\] Tính \[f\left( \frac{1}{4} \right).\]

         A. \[f\left( \frac{1}{4} \right)=-\frac{\pi }{2}.\]                           B. \[f\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{1}{2}.\]              C. \[f\left( \frac{1}{4} \right)=1.\]                        D. \[f\left( \frac{1}{4} \right)=1+\frac{\pi }{2}.\]

Câu 5. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[a;+\infty\] với \[a>0\] và thỏa mãn \[\int\limits_{a}^{x}{\frac{f\left( t \right)}{{{t}^{2}}}dt+6}=2\sqrt{x}\] với mọi \[x>a.\] Tính \[f\left( 4 \right).\]

         A. \[f\left( 4 \right)=2.\]                                        B. \[f\left( 4 \right)=4.\]       C. \[f\left( 4 \right)=8.\]                               D. \[f\left( 4 \right)=16.\]

Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến

 

Câu 6. Cho \[\int\limits_{0}^{2017}{f\left( x \right)dx}=2.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{\sqrt{{{e}^{2017}}-1}}{\frac{x}{{{x}^{2}}+1}.f\left[ \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]dx}.\]

         A. \[I=1.\]                      B. \[I=2.\]                         C. \[I=4.\]                        D. \[I=5.\]

Câu 7. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và \[\int\limits_{1}^{0}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx}=4,\] \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx=2}.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}.\]

         A. \[I=2.\]                        B. \[I=6.\]                         C. \[I=4.\]                        D. \[I=10.\]

Câu 8. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx=4},\] \[\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=2.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.\]

         A. \[I=6.\]                        B. \[I=2.\]                         C. \[I=3.\]                        D. \[I=1.\]

Câu 9. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và thỏa mãn \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\tan x.f\left( {{\cos }^{2}}x \right)dx}=1,\] \[\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( {{\ln }^{2}}x \right)}{x\ln x}dx}=1.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{\frac{1}{4}}^{2}{\frac{f\left( 2x \right)}{x}dx}.\]

         A. \[I=1.\]                        B. \[I=2.\]                         C. \[I=3.\]                        D. \[I=4.\]

Câu 10. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\left[ \frac{1}{2};2 \right]\], thỏa mãn \[f\left( x \right)+f\left( \frac{1}{x} \right)={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}.\]

         A. \[I=\frac{3}{2}.\]        B. \[I=2.\]                         C. \[I=\frac{5}{2}.\]        D. \[I=3.\]

Câu 11. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và thỏa mãn \[f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\sqrt{2+2\cos 2x}\] với mọi \[x\in \mathbb{R}.\] Tính \[I=\int\limits_{-\frac{3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}.\]

         A. \[I=-6.\]                       B. \[I=0.\]                         C. \[I=-2.\]                       D. \[I=6.\]

Câu 12. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}\], thỏa mãn \[f\left( {{x}^{5}}+4x+3 \right)=2x+1\] với mọi \[x\in \mathbb{R}.\] Tích phân \[\int\limits_{-2}^{8}{f\left( x \right)dx}\] bằng

         A. \[2.\]                            B. \[10.\]                          C. \[\frac{32}{3}.\]        D. \[72.\]

Câu 13. Cho các hàm số \[f\left( x \right),g\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ 0;1 \right]\], thỏa mãn \[m.f\left( x \right)+n.f\left( 1-x \right)=g\left( x \right)\] với m, n là số thực khác 0 và \[\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}=1.\] Tính \[m+n.\]

         A. \[m+n=0.\]                    B. \[m+n=\frac{1}{2}.\]    C. \[m+n=1.\]                    D. \[m+n=2.\]

Câu 14. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\left[ 0;1 \right]\], thỏa mãn \[f'\left( x \right)=f'\left( 1-x \right)\] với mọi \[x\in \left[ 0;1 \right].\] Biết rằng \[f\left( 0 \right)=1,f\left( 1 \right)=41.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.\]

         A. \[I=\sqrt{41}.\]             B. \[I=21.\]                        C. \[I=41.\]                        D. \[I=42.\]

Câu 15. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và thỏa mãn \[{{f}^{3}}\left( x \right)+f\left( x \right)=x\] với mọi \[x\in \mathbb{R}.\] Tính \[I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx.}\]

         A. \[I=-\frac{4}{5}.\]      B. \[I=\frac{4}{5}.\]        C. \[I=-\frac{5}{4}.\]       D. \[I=\frac{5}{4}.\] 

Vấn đề 3. Kỹ thuật tích phân từng phần

 

Câu 16. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[\int\limits_{0}^{3}{x.f'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}dx}=8\] và \[f\left( 3 \right)=\ln 3.\] Tính \[I=\int\limits_{0}^{3}{{{e}^{f\left( x \right)}}dx}.\]

         A. \[I=1.\]                        B. \[I=11.\]                      C. \[I=8-\ln 3.\]              D. \[I=8+\ln 3.\]

Câu 17. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\], thỏa mãn \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f'\left( x \right){{\cos }^{2}}xdx}=10\] và \[f\left( 0 \right)=3.\] Tích phân \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\sin 2xdx}\] bằng

         A. \[I=-13.\]                    B. \[I=-7.\]                       C. \[I=7.\]                        D. \[I=13.\]

Câu 18. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\left[ 0;1 \right]\] thỏa mãn \[\int\limits_{1}^{2}{f\left( x-1 \right)dx}=3\] và \[f\left( 1 \right)=4.\] Tích phân \[\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f'\left( {{x}^{2}} \right)dx}\] bằng

         A. \[-1.\]                           B. \[-\frac{1}{2}.\]           C. \[\frac{1}{2}.\]            D. \[\frac{1}{2}.\]

Câu 19. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên \[\left[ 0;2 \right]\]. Biết \[f\left( 0 \right)=1\] và \[f\left( x \right)f\left( 2-x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}\] với mọi \[x\in \left[ 0;2 \right].\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{2}{\frac{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}.\]

         A. \[I=-\frac{14}{3}.\]    B. \[I=-\frac{32}{5}.\]     C. \[I=-\frac{16}{3}.\]    D. \[I=-\frac{16}{5}.\]

Câu 20. Cho biểu thức \[S=\ln \left( 1+\int\limits_{\frac{n}{4+{{m}^{2}}}}^{\frac{\pi }{2}}{\left( 2-\sin 2x \right){{e}^{2\cot x}}dx} \right)\], với số thực \[m\ne 0.\] Chọn khẳng định

đúng trong các khẳng định sau.

A. \[S=5.\]                                              

B. \[S=9.\]

 C. \[S=2\cot \left( \frac{\pi }{4+{{m}^{2}}} \right)+2\ln \left( \sin \frac{\pi }{4+{{m}^{2}}} \right).\]       

  D. \[S=2\tan \left( \frac{\pi }{4+{{m}^{2}}} \right)+2\ln \left( \frac{\pi }{4+{{m}^{2}}} \right).\]

Vấn đề 4. Tính a, b, c trong tích phân

Câu 21. Biết \[\int\limits_{1}^{2}{\ln \left( 9-{{x}^{2}} \right)dx}=a\ln 5+b\ln 2+c\] với \[a,b,c\in \mathbb{Z}.\] Tính \[P=\left| a \right|+\left| b \right|+\left| c \right|.\]

         A. \[P=13.\]                     B. \[P=18.\]                      C. \[P=26.\]                     D. \[P=34.\]

Câu 22. Biết \[\int\limits_{0}^{1}{\frac{\pi {{x}^{3}}+{{2}^{x}}+e{{x}^{3}}{{2}^{x}}}{\pi +e{{.2}^{x}}}dx}=\frac{1}{m}+\frac{1}{e\ln n}.\ln \left( p+\frac{e}{e+\pi } \right)\] với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng \[P=m+n+p.\]

         A. \[P=5.\]                       B. \[P=6.\]                        C. \[P=7.\]                        D. \[P=8.\]

Câu 23. Biết \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{x}^{2}}+\left( 2x+\cos x \right)\cos x+1-\sin x}{x+\cos x}dx}=a{{\pi }^{2}}+b-\ln \frac{c}{\pi }\] với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính \[P=a{{c}^{3}}+b.\]

         A. \[P=\frac{5}{4}.\]       B. \[P=\frac{3}{2}.\]        C. \[P=2.\]                        D. \[P=3.\]

Câu 24. Biết \[\int\limits_{\ln \sqrt{3}}^{\ln \sqrt{8}}{\frac{1}{\sqrt{{{e}^{2x}}+1}-{{e}^{x}}}dx}=1+\frac{1}{2}\ln \frac{b}{a}+a\sqrt{a}-\sqrt{b}\] với \[a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}.\] Tính \[P=a+b.\]

         A. \[P=-1.\]                      B. \[P=1.\]                        C. \[P=3.\]                        D. \[P=5.\]

Câu 25. Biết \[\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c}\] với \[a,b,c\in {{\mathbb{Z}}^{+}}.\] Tính \[P=a+b+c.\]

         A. \[P=12.\]                     B. \[P=18.\]                      C. \[P=24.\]                     D. \[P=46.\]

Câu 26. Biết \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin 4x}{\sqrt{{{\cos }^{2}}x+1}+\sqrt{{{\sin }^{2}}x+1}}dx}=\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{6}+c}{6}\] với \[a,b,c\in \mathbb{Z}.\] Tính \[P=\left| a \right|+\left| b \right|+\left| c \right|.\]

         A. \[P=10.\]                     B. \[P=12.\]                       C. \[P=14.\]                       D. \[P=36.\]

Câu 27. Biết \[\int\limits_{1}^{4}{\sqrt{\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt{x}+{{e}^{x}}}{\sqrt{x}{{e}^{2x}}}}dx}=a+{{e}^{b}}-{{e}^{c}}\] với \[a,b,c\in \mathbb{Z}.\] Tính \[P=a+b+c.\]

         A. \[P=-5.\]                      B. \[P=-4.\]                        C. \[P=-3.\]                        D. \[P=3.\]

Câu 28. Biết \[\int\limits_{0}^{2}{\sqrt{\frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}}dx}=a\pi +b\sqrt{2}+c\] với \[a,b,c\in \mathbb{Z}.\] Tính \[P=a+b+c.\]

         A. \[P=-1.\]                      B. \[P=2.\]                         C. \[P=3.\]                         D. \[P=4.\]

Câu 29. Biết \[I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{{{\ln }^{2}}x+\ln x}{{{\left( \ln x+x+1 \right)}^{3}}}dx}=\frac{1}{a}-\frac{b}{{{\left( e+2 \right)}^{2}}}\] với \[a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}.\] Tính \[P=b-a.\]

         A. \[P=-8.\]                        B. \[P=-6.\]                        C. \[P=6.\]                         D. \[P=10.\]

Câu 30. Biết \[\int\limits_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{x\cos x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x}dx}=a+\frac{{{\pi }^{2}}}{b}+\frac{\sqrt{3}\pi }{c}\] với \[a,b,c\] là các số nguyên. Tính \[P=a-b+c.\]

         A. \[P=-37.\]                      B. \[P=-35.\]                      C. \[P=35.\]                       D. \[P=41.\]

Bài viết gợi ý: