Vấn đề 1. Tính
tích phân theo định nghĩa
Câu 1. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên
\[\left[ 0;1 \right],\] thỏa mãn \[2f\left( x \right)+3f\left( 1-x
\right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}.\] Giá trị của tích phân \[\int\limits_{0}^{1}{f'\left(
x \right)dx}\] bằng
A. \[0.\] B.
\[\frac{1}{2}.\] C. \[1.\] D.
\[\frac{3}{2}.\]
Câu 2. Cho hàm số \[f\left(
x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\left[ 0;1 \right]\], thỏa mãn \[f\left(
0 \right)=f\left( 1 \right)=1.\] Biết rằng \[\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\left[
f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right]dx}=ae+b.\] Tính \[Q={{a}^{2018}}+{{b}^{2018}}.\]
A. \[Q={{2}^{2017}}+1.\] B. \[Q=2.\] C. \[Q=0.\] D.
\[Q={{2}^{2017}}-1.\]
Câu 3. Cho các hàm số \[y=f\left( x \right),y=g\left( x
\right)\] có các đạo hàm liên tục trên \[\left[ 0;2 \right]\] và thỏa mãn \[\int\limits_{0}^{2}{f'\left(
x \right)g\left( x \right)dx}=2,\] \[\int\limits_{0}^{2}{f\left( x
\right)g'\left( x \right)dx}=3.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{2}{\left[
f\left( x \right)g\left( x \right) \right]'dx}.\]
A. \[I=-1.\] B. \[I=1.\] C. \[I=5.\] D. \[I=6.\]
Câu 4. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[
0;+\infty \right)\] và thỏa mãn \[\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left(
t \right)dt}=x.\sin \left( \pi x \right).\] Tính \[f\left( \frac{1}{4}
\right).\]
A. \[f\left(
\frac{1}{4} \right)=-\frac{\pi }{2}.\] B. \[f\left(
\frac{1}{4} \right)=\frac{1}{2}.\] C. \[f\left( \frac{1}{4} \right)=1.\] D. \[f\left( \frac{1}{4} \right)=1+\frac{\pi }{2}.\]
Câu 5. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[a;+\infty\] với \[a>0\] và
thỏa mãn \[\int\limits_{a}^{x}{\frac{f\left( t
\right)}{{{t}^{2}}}dt+6}=2\sqrt{x}\] với mọi \[x>a.\] Tính \[f\left( 4
\right).\]
A. \[f\left( 4 \right)=2.\] B. \[f\left(
4 \right)=4.\] C. \[f\left( 4 \right)=8.\] D. \[f\left( 4 \right)=16.\]
Vấn đề 2. Kỹ
thuật đổi biến
Câu 6. Cho \[\int\limits_{0}^{2017}{f\left( x \right)dx}=2.\]
Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{\sqrt{{{e}^{2017}}-1}}{\frac{x}{{{x}^{2}}+1}.f\left[
\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]dx}.\]
A. \[I=1.\] B. \[I=2.\]
C. \[I=4.\] D. \[I=5.\]
Câu 7. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]
và \[\int\limits_{1}^{0}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx}=4,\] \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi
}{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx=2}.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{3}{f\left(
x \right)dx}.\]
A. \[I=2.\] B. \[I=6.\] C. \[I=4.\] D. \[I=10.\]
Câu 8. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]
và \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx=4},\] \[\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left(
x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=2.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{1}{f\left(
x \right)dx}.\]
A. \[I=6.\] B. \[I=2.\] C. \[I=3.\] D. \[I=1.\]
Câu 9. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]
và thỏa mãn \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\tan x.f\left( {{\cos }^{2}}x
\right)dx}=1,\] \[\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( {{\ln }^{2}}x
\right)}{x\ln x}dx}=1.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{\frac{1}{4}}^{2}{\frac{f\left(
2x \right)}{x}dx}.\]
A. \[I=1.\] B. \[I=2.\] C. \[I=3.\] D. \[I=4.\]
Câu 10. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định và liên tục
trên \[\left[ \frac{1}{2};2 \right]\], thỏa mãn \[f\left( x \right)+f\left(
\frac{1}{x} \right)={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2.\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left(
x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}.\]
A. \[I=\frac{3}{2}.\] B.
\[I=2.\] C. \[I=\frac{5}{2}.\] D.
\[I=3.\]
Câu 11. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]
và thỏa mãn \[f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\sqrt{2+2\cos 2x}\] với mọi \[x\in
\mathbb{R}.\] Tính \[I=\int\limits_{-\frac{3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left(
x \right)dx}.\]
A. \[I=-6.\] B. \[I=0.\] C. \[I=-2.\] D. \[I=6.\]
Câu 12. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định và liên tục
trên \[\mathbb{R}\], thỏa mãn \[f\left( {{x}^{5}}+4x+3 \right)=2x+1\] với mọi \[x\in
\mathbb{R}.\] Tích phân \[\int\limits_{-2}^{8}{f\left( x \right)dx}\] bằng
A. \[2.\] B. \[10.\] C. \[\frac{32}{3}.\] D.
\[72.\]
Câu 13. Cho các hàm số \[f\left( x \right),g\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ 0;1 \right]\],
thỏa mãn \[m.f\left( x \right)+n.f\left( 1-x \right)=g\left( x \right)\] với m, n
là số thực khác 0 và \[\int\limits_{0}^{1}{f\left( x
\right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}=1.\] Tính \[m+n.\]
A. \[m+n=0.\] B. \[m+n=\frac{1}{2}.\] C. \[m+n=1.\] D. \[m+n=2.\]
Câu 14. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\left[ 0;1 \right]\],
thỏa mãn \[f'\left( x \right)=f'\left( 1-x \right)\] với mọi \[x\in \left[ 0;1
\right].\] Biết rằng \[f\left( 0 \right)=1,f\left( 1 \right)=41.\] Tính tích
phân \[I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.\]
A. \[I=\sqrt{41}.\] B. \[I=21.\] C. \[I=41.\] D. \[I=42.\]
Câu 15. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]
và thỏa mãn \[{{f}^{3}}\left( x \right)+f\left( x \right)=x\] với mọi \[x\in
\mathbb{R}.\] Tính \[I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx.}\]
Vấn đề 3. Kỹ
thuật tích phân từng phần
Câu 16. Cho hàm số \[f\left(
x \right)\] thỏa mãn \[\int\limits_{0}^{3}{x.f'\left( x
\right).{{e}^{f\left( x \right)}}dx}=8\] và \[f\left( 3 \right)=\ln 3.\] Tính \[I=\int\limits_{0}^{3}{{{e}^{f\left(
x \right)}}dx}.\]
A. \[I=1.\] B. \[I=11.\] C. \[I=8-\ln 3.\] D. \[I=8+\ln 3.\]
Câu 17. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên
\[\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\], thỏa mãn \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi
}{2}}{f'\left( x \right){{\cos }^{2}}xdx}=10\] và \[f\left( 0 \right)=3.\] Tích
phân \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\sin 2xdx}\] bằng
A. \[I=-13.\] B. \[I=-7.\] C. \[I=7.\] D. \[I=13.\]
Câu 18. Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục
trên \[\left[ 0;1 \right]\] thỏa mãn \[\int\limits_{1}^{2}{f\left( x-1
\right)dx}=3\] và \[f\left( 1 \right)=4.\] Tích phân \[\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f'\left(
{{x}^{2}} \right)dx}\] bằng
A. \[-1.\] B. \[-\frac{1}{2}.\] C.
\[\frac{1}{2}.\] D. \[\frac{1}{2}.\]
Câu 19. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] nhận giá trị dương, có
đạo hàm liên tục trên \[\left[ 0;2 \right]\]. Biết \[f\left( 0 \right)=1\] và \[f\left(
x \right)f\left( 2-x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}\] với mọi \[x\in \left[ 0;2
\right].\] Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{2}{\frac{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}
\right)f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}.\]
A. \[I=-\frac{14}{3}.\] B. \[I=-\frac{32}{5}.\] C. \[I=-\frac{16}{3}.\] D. \[I=-\frac{16}{5}.\]
Câu 20. Cho biểu thức \[S=\ln \left(
1+\int\limits_{\frac{n}{4+{{m}^{2}}}}^{\frac{\pi }{2}}{\left( 2-\sin 2x
\right){{e}^{2\cot x}}dx} \right)\], với số thực \[m\ne 0.\] Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau.
A. \[S=5.\]
B. \[S=9.\]
C. \[S=2\cot \left( \frac{\pi }{4+{{m}^{2}}} \right)+2\ln \left( \sin \frac{\pi }{4+{{m}^{2}}} \right).\]
D. \[S=2\tan \left( \frac{\pi }{4+{{m}^{2}}} \right)+2\ln \left( \frac{\pi }{4+{{m}^{2}}} \right).\]
Vấn đề 4. Tính a,
b, c trong tích phân
Câu 21. Biết \[\int\limits_{1}^{2}{\ln \left( 9-{{x}^{2}}
\right)dx}=a\ln 5+b\ln 2+c\] với \[a,b,c\in \mathbb{Z}.\] Tính \[P=\left| a
\right|+\left| b \right|+\left| c \right|.\]
A. \[P=13.\] B. \[P=18.\] C. \[P=26.\] D. \[P=34.\]
Câu 22. Biết \[\int\limits_{0}^{1}{\frac{\pi
{{x}^{3}}+{{2}^{x}}+e{{x}^{3}}{{2}^{x}}}{\pi
+e{{.2}^{x}}}dx}=\frac{1}{m}+\frac{1}{e\ln n}.\ln \left( p+\frac{e}{e+\pi }
\right)\] với m, n, p là các số nguyên
dương. Tính tổng \[P=m+n+p.\]
A. \[P=5.\] B. \[P=6.\] C. \[P=7.\] D. \[P=8.\]
Câu 23. Biết \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{x}^{2}}+\left(
2x+\cos x \right)\cos x+1-\sin x}{x+\cos x}dx}=a{{\pi }^{2}}+b-\ln \frac{c}{\pi
}\] với a, b, c là các số hữu tỉ.
Tính \[P=a{{c}^{3}}+b.\]
A. \[P=\frac{5}{4}.\] B.
\[P=\frac{3}{2}.\] C. \[P=2.\] D. \[P=3.\]
Câu 24. Biết \[\int\limits_{\ln \sqrt{3}}^{\ln
\sqrt{8}}{\frac{1}{\sqrt{{{e}^{2x}}+1}-{{e}^{x}}}dx}=1+\frac{1}{2}\ln
\frac{b}{a}+a\sqrt{a}-\sqrt{b}\] với \[a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}.\] Tính \[P=a+b.\]
A. \[P=-1.\] B. \[P=1.\] C. \[P=3.\] D. \[P=5.\]
Câu 25. Biết \[\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\left( x+1
\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c}\] với \[a,b,c\in
{{\mathbb{Z}}^{+}}.\] Tính \[P=a+b+c.\]
A. \[P=12.\] B. \[P=18.\] C. \[P=24.\] D. \[P=46.\]
Câu 26. Biết \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin
4x}{\sqrt{{{\cos }^{2}}x+1}+\sqrt{{{\sin
}^{2}}x+1}}dx}=\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{6}+c}{6}\] với \[a,b,c\in \mathbb{Z}.\] Tính \[P=\left| a
\right|+\left| b \right|+\left| c \right|.\]
A. \[P=10.\] B. \[P=12.\] C. \[P=14.\] D. \[P=36.\]
Câu 27. Biết \[\int\limits_{1}^{4}{\sqrt{\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt{x}+{{e}^{x}}}{\sqrt{x}{{e}^{2x}}}}dx}=a+{{e}^{b}}-{{e}^{c}}\]
với \[a,b,c\in \mathbb{Z}.\] Tính \[P=a+b+c.\]
A. \[P=-5.\] B. \[P=-4.\] C. \[P=-3.\] D. \[P=3.\]
Câu 28. Biết \[\int\limits_{0}^{2}{\sqrt{\frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}}dx}=a\pi
+b\sqrt{2}+c\] với \[a,b,c\in \mathbb{Z}.\] Tính \[P=a+b+c.\]
A. \[P=-1.\] B. \[P=2.\] C. \[P=3.\] D. \[P=4.\]
Câu 29. Biết \[I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{{{\ln
}^{2}}x+\ln x}{{{\left( \ln x+x+1
\right)}^{3}}}dx}=\frac{1}{a}-\frac{b}{{{\left( e+2 \right)}^{2}}}\] với \[a,b\in
{{\mathbb{Z}}^{+}}.\] Tính \[P=b-a.\]
A. \[P=-8.\] B. \[P=-6.\] C. \[P=6.\] D. \[P=10.\]
Câu 30. Biết \[\int\limits_{-\frac{\pi
}{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{x\cos x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x}dx}=a+\frac{{{\pi
}^{2}}}{b}+\frac{\sqrt{3}\pi }{c}\] với \[a,b,c\] là các số nguyên. Tính \[P=a-b+c.\]
A. \[P=-37.\] B. \[P=-35.\] C. \[P=35.\] D. \[P=41.\]
