CHUYÊN ĐỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
- Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là 1 hàm cos hay sin của thời gian
$x=A.\cos (\omega t+\varphi )$ PT li độ
x: Li độ ( cm,m)
A: Biên độ dao động (>0) cm, m
$\varphi $ ; Pha ban đầu, pha dao động tại điểm t=0 (Rad)
$(\omega t+\varphi )$ : Pha dao động tại điểm t
Chiều dài quỹ đạo: l=2A
*) Chú ý:
Tốc độ trung bình: ${{v}_{tb}}=\frac{S}{t}$
Trong 1 cu kì dao động: t=T; S=4A
Vận tốc trung bình $\overline{{{v}_{tb}}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$
$\Delta x=x-{{x}_{0}}$ : độ dời
Trong một chu kì: $x={{x}_{0}}\Rightarrow \Delta x=0\Rightarrow \overline{{{v}_{tb}}}=0$
Tốc độ góc: $\omega =\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}=\frac{2\pi }{T}=2\pi f$ (Rad/s)
2. Phương trình vận tốc trong DĐĐH
$v=x'=-\omega A.\sin (\omega t+\varphi )$
Nhận xét:
- Vật đi từ biên độ về VTCB là chuyển động nhanh dần ($\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{v}\Rightarrow a.v>0$ )
- Vật đi từ VTCB về biên là chuyển động chậm dần ($\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{v}\Rightarrow a.v<0$)
- $\overrightarrow{v}$ cùng hướng chuyển động, tốc độ lớn nhất đi qua VTCB (${{v}_{\max }}=\omega A$ ) và ${{v}_{\min }}=0$ở 2 biên.
${{A}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}$
3. Phương trình gia rốc trong DĐĐH
a=v’=x’’
Ta có: $v=x'=-\omega A.\sin (\omega t+\varphi )$
$\Rightarrow a=v'=-{{\omega }^{2}}.A.\cos (\omega t+\varphi )=-{{\omega }^{2}}.x$
Nhận xét: Gia tốc a trái dấu với li độ x, có độ lớn tỉ lệ với li độ x và luôn hướng về VTCB
${{A}^{2}}=\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}$
4. Lực kéo về của CLLX
${{F}_{kv}}=-kx=-m.{{\omega }^{2}}.x$
${{F}_{kv}}$ : Lực kéo về ( lực hồi phục) (N)
k: Độ cứng của lò xo (N/m)
m: Khối lượng (Kg)
x: li độ (m)
Nhận xét: Lực kéo về trái dấu với li độ x, có độ lớn tỉ lệ với li độ x và luôn hướng về VTCB
II. BÀI TẬP
Ví dụ 1: Cho phương trình dao động điều hòa:$x=8.\cos (8\pi t+\frac{\pi }{3})$ (cm;s)
a) Xác định biên độ, pha ban đầu, tần số góc, chu kì, tần số, và chiều dài quỹ đạo của vật dao động điều hòa
b) Xác định pha giao động tại thời điểm t=$\frac{1}{8}$ (s)
c) Xác định vị trí của vật tại điểm t=$\frac{1}{2}$ (s)
d) Xác định số dao động toàn phần mà vật thực hiện trong thời gian 1 phút
e) Tính ${{v}_{tb}}$ của vật trong 1 chu kì
Hướng dẫn
a) Từ phương trình đề bài cho t có thể xác định yêu cầu của đề bài như sau:
A=8 (cm); $\varphi =\frac{\pi }{3}$(rad); $\omega =8\pi $ ; $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{1}{4}(s)$ ; $f=\frac{1}{T}=4(Hz)$ ; l=2A=16
(cm)
b) ${{\varphi }_{t}}$ =$8\pi .\frac{1}{8}+\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}(rad)$
c) Thế t=$\frac{1}{2}$(s) vào phương trình ta có:
$x=8.\cos (8\pi .\frac{1}{2}+\frac{\pi }{3})=4(cm)$
d) Ta có số dao động toàn phần mà vật thực hiện trong thời gian 1 phút:
$N=\frac{60}{{}^{1}/{}_{4}}=240$ (dao động)
e)${{v}_{TB}}=\frac{4.A}{{}^{1}/{}_{4}}=\frac{4.8}{{}^{1}/{}_{4}}=128cm/s$
Ví dụ 2: Một vật dao động có $l=12cm$ , vật thực hiện 30 dao động toàn phần trong 1 phút. Viết phương trình dao động của vật trong các trường hợp sau:
a) Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương
b) Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua li độ x=-3cm theo chiều âm
c) Chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí biên dương
d) Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua li độ x=$3\sqrt{2}(cm)$và đang đi về vị trí cân bằng
e) Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua li độ x=$3\sqrt{3}(cm)$ và đang rời xa vị trí cân bằng
Hướng dẫn
Do dao động điều hòa có chiều dài l=12cm, nên A=6 cm
Vì vật thực hiện được 30 dao động toàn phần trong vào 1 phút nên ta có: $T=\frac{60}{30}=2(s)$ $\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=\pi (rad/s)$
a) Do vật ở VTCB theo chiều dương nên ta có : x=0
$\Rightarrow \cos \varphi =\frac{x}{A}=0$ $\Rightarrow \varphi =\pm \frac{\pi }{2}$
Mà vật đang đi theo chiều dương nên v>0$\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}$
Vây ta có phương trình: $x=6.\cos (\pi t-\frac{\pi }{2})(cm)$
b) Do vật ở li độ x=-3cm theo chiều âm nên ta có:
$\Rightarrow \cos \varphi =\frac{x}{A}=\frac{-3}{6}=\frac{-1}{2}$ $\Rightarrow \varphi =\pm \frac{2\pi }{3}$
Mà vật đang đi theo chiều dương nên v<0$\Rightarrow \varphi =\frac{2\pi }{3}$
Vây ta có phương trình: $x=6.\cos (\pi t+\frac{2\pi }{3})(cm)$
c) Do vật ở vị trí biên dương nên ta có:
$\Rightarrow \cos \varphi =\frac{x}{A}=\frac{6}{6}=1$ $\Rightarrow \varphi =0$
Vây ta có phương trình: $x=6.\cos \pi t(cm)$
d) Do vật ở li độ x=3$\sqrt{2}$ cm và đi về VTCB nên ta có:
$\Rightarrow \cos \varphi =\frac{x}{A}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow \varphi =\pm \frac{\pi }{4}$
Mà vật đang đi theo chiều âm nên v<0$\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{4}$
Vây ta có phương trình: $x=6.\cos (\pi t+\frac{\pi }{4})(cm)$
e) Do vật ở li độ x=-3$\sqrt{3}$ cm theo chiều âm nên ta có:
$\Rightarrow \cos \varphi =\frac{x}{A}=\frac{-3\sqrt{3}}{6}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow \varphi =\pm \frac{5\pi }{6}$
Mà vật đang đi theo chiều âm nên v<0$\Rightarrow \varphi =\frac{5\pi }{6}$
Vây ta có phương trình: $x=6.\cos (\pi t+\frac{5\pi }{6})(cm)$
Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa với vận tốc v = 126cos(5πt + $\frac{\pi }{3}$) (cm/s), (t tính bằng s). Vào thời điểm nào sau đây vật sẽ đi qua vị trí có li độ 4 cm theo chiều âm của trục tọa độ?
A. 0,1 s. B. 0,33 s. C. 0,17 s. D. 0,3 s.
Hướng dẫn
Phương trình li độ: x = $\frac{{{v}_{max}}}{\omega }$cos(\[\omega t\] + \[{{\varphi }_{v}}\] - $\frac{\pi }{2}$) = 8cos(\[5\pi \] t - $\frac{\pi }{6}$) (cm);
khi x = 4 cm = $\frac{A}{2}$ và v < 0 thì \[5\pi \]t - $\frac{\pi }{6}$ = $\frac{\pi }{3}$ $\Rightarrow $ t = 0,1 (s). Đáp án A.
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 8 cm. Biết trong một chu kì khoảng thời gian để gia tốc của vật không vượt quá 6,4$\sqrt{3}$ m/s2 là $\frac{2T}{3}$. Lấy π2 = 10. Tần số dao động của vật là
A. 4 Hz. B. 3 Hz. C. 2 Hz. D. 1 Hz.
Hướn dẫn:
Trong một chu kì gia tốc của vật không vượt quá 6,4$\sqrt{3}$ \[m/{{s}^{2}}\] là $\frac{2T}{3}$ nên trong một phần tư chu kì gia tốc của vật không vượt quá 6,4$\sqrt{3}$ \[m/{{s}^{2}}\]là $\frac{T}{6}$. Tại vị trí biên gia tốc của vật có độ lớn cực đại, sau khoảng thời gian $\frac{T}{6}$ gia tốc có độ lớn là $\frac{{{a}_{max}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{\omega }^{2}}A\sqrt{3}}{2}=\frac{{{\omega }^{2}}.0,08\sqrt{3}}{2}$ =\[{{\omega }^{2}}\] .0,04$\sqrt{3}$ = 6,4$\sqrt{3}$ \[\Rightarrow \] \[\omega \] = 4$\sqrt{10}$ = 4\[\pi \] (rad/s)
ð f = $\frac{\omega }{2\pi }=\frac{4\pi }{2\pi }$ = 2 (Hz). Đáp án C.
Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 4 cm. Biết trong một chu kì khoảng thời gian để vận tốc của vật không vượt quá 40$\sqrt{2}$cm/s là $\frac{T}{2}$. Vật dao động với tần số góc là
A. 20 rad/s. B. 20\[\pi \] rad/s. C. 4 rad/s. D. 4\[\pi \] rad/s.
Hướng dẫn:
Trong một chu kì vận tốc của vật không vượt quá 40$\sqrt{2}$ cm/s là $\frac{T}{2}$ nên trong một phần tư chu kì vận tốc của vật không vượt quá 40$\sqrt{2}$ cm/s là $\frac{T}{8}$. Tại vị trí cân bằng vận tốc của vật có độ lớn cực đại, sau khoảng thời gian $\frac{T}{8}$ vận tốc có độ lớn là $\frac{{{v}_{max}}\sqrt{2}}{2}=\frac{\omega A\sqrt{2}}{2}=\frac{\omega .4\sqrt{2}}{2}$ =\[\omega \] .2$\sqrt{2}$= 40$\sqrt{2}$ $\Rightarrow $ \[\omega \] = 20 (rad/s). Đáp án A.
III, BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Một vật nhỏ dao động điều hòa theo một trục cố định. Chọn phát biểu đúng
A. Quỹ đạo chuyển động của vật là một đường hình sin.
B. Quỹ đạo chuyển động của vật là một đoạn thẳng.
C. Lực kéo về tác dụng vào vật không đổi.
D. Li độ của vật tỉ lệ với thời gian dao động.
Câu 2. Chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Vectơ gia tốc của chất điểm có
A. độ lớn cực đại ở vị trí biên, chiều luôn hướng ra biên.
B. độ lớn cực tiểu khi qua vị trí cân bằng, có chiều cùng chiều với vectơ vận tốc.
C. độ lớn không đổi, có chiều luôn hướng về vị trí cân bằng.
D. độ lớn tỉ lệ với độ lớn li độ, có chiều luôn hướng về vị trí cân bằng.
Câu 3. Khi một vật dao động điều hòa, chuyển động của vật từ vị trí biên về vị trí cân bằng là chuyển động
A. nhanh dần đều. B. chậm dần đều. C. nhanh dần. D. chậm dần.
Câu 4. Một vật dao động điều hòa với chu kì T. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng, vận tốc của vật bằng 0 lần đầu tiên ở thời điểm
A. $\frac{T}{2}$. B. $\frac{T}{8}$. C. $\frac{T}{6}$. D. $\frac{T}{4}$.
Câu 5. Khi một vật dao động điều hòa thì
A. lực kéo về có độ lớn cực đại khi vật ở vị trí cân bằng.
B. gia tốc của vật có độ lớn cực đại khi vật ở vị trí cân bằng.
C. lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với bình phương biên độ.
D. vận tốc của vật có độ lớn cực đại khi vật ở vị trí cân bằng.
Câu 6. Một vật nhỏ dao động theo phương trình x = 5cos(\[\omega \] t + $\frac{\pi }{2}$) (cm). Pha ban đầu của dao động là
A. \[\pi \]. B. $\frac{\pi }{2}$. C. $\frac{\pi }{4}$. D. $\frac{3\pi }{2}$.
Câu 7 (TN 2009). Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ 0,5\[\pi \] s và biên độ 2 cm. Vận tốc của chất điểm tại vị trí cân bằng có độ lớn bằng
A. 3 cm/s. B. 0,5 cm/s. C. 4 cm/s. D. 8 cm/s.
Câu 8 (TN 2009). Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox theo phương trình x = 5cos4\[\pi \]t (x tính bằng cm, t tính bằng s). Tại thời điểm t = 5 s, vận tốc của chất điểm này có giá trị bằng
A. 0 cm/s. B. 5 cm/s. C. - 20\[\pi \]cm/s. D. 20\[\pi \] cm/s.
Câu 9 (ĐH 2009). Một vật dao động điều hòa có tốc độ cực đại là 31,4 cm/s. Lấy\[\pi \]= 3,14. Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động là
A. 20 cm/s. B. 10 cm/s. C. 0. D. 15 cm/s.
Câu 10: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn một dao động điều hòa?
A. x = cos(0,5\[\pi \]t) + 2 cm. B. x = 3cos(100\[\pi {{t}^{2}}\] ) cm.
C. x = 2cot(2\[\pi \]t) cm. D. x = (3t)cos(5\[\pi \]t) cm.
Câu 11: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn một dao động điều hòa?
A. x = cos(0,5\[\pi {{t}^{3}}\] ) cm. B. x = 3\[co{{s}^{2}}\] (100\[\pi \]t) cm.
C. x = 2cot(2\[\pi \]t) cm. D. x = (3t)cos(5\[\pi \]t) cm.
Câu 12: Phương trình dao động của vật có dạng x = A\[si{{n}^{2}}\] (\[\omega \] t + \[\pi \]/4)cm. Chọn kết luận đúng?
A. Vật dao động với biên độ A/2. B. Vật dao động với biên độ A.
C. Vật dao động với biên độ 2A. D. Vật dao động với pha ban đầu \[\pi \]/4.
Câu 13: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 8 cm, tần số dao động f = 4 Hz. Tại thời điểm ban đầu vật qua vị trí x = 4 cm theo chiều âm. Phương trình dao động của vật là
A. x = 8sin(8\[\pi \]t + \[\pi \]/6) cm. B. x = 8sin(8\[\pi \]t + 5\[\pi \]/6) cm.
C. x = 8cos(8\[\pi \]t + \[\pi \]/6) cm. D. x = 8cos(8\[\pi \]t + 5\[\pi \]/6) cm.
Câu 14: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 8 cm, tần số dao động f = 2 Hz. Tại thời điểm ban đầu vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Phương trình dao động của vật là
A. x = 8sin(4\[\pi \]t) cm. B. x = 8sin(4\[\pi \]t + \[\pi \]/2) cm.
C. x = 8cos(2\[\pi \]t) cm. D. x = 8cos(4\[\pi \]t + \[\pi \]/2) cm.
Câu 15: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 8 cm, tần số dao động f = 4 Hz. Tại thời điểm ban đầu vật qua vị trí x = 4 cm theo chiều dương. Phương trình vận tốc của vật là
A. v = 64\[\pi \]sin(8\[\pi \]t + \[\pi \]/6) cm. B. v = 8\[\pi \]sin(8πt + \[\pi \]/6) cm.
C. v = 64\[\pi \]cos(8\[\pi \]t + \[\pi \]/6) cm. D. v = 8\[\pi \]cos(8πt + 5\[\pi \]/6) cm.
Câu 16: Một vật dao động điều hoà với chu kỳ T =\[\pi \] (s) và biên độ là 3 cm. Li độ dao động là hàm sin, gốc thời gian chọn khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình vận tốc của vật theo thời gian có dạng:
A. v = 6\[\pi \]cos(2\[\pi \]t) cm/s. B. v = 6\[\pi \]cos(2\[\pi \]t + \[\pi \]/2) cm/s.
C. v = 6cos(2t) cm/s. D. v = 6sin(2t – \[\pi \]/2) cm/s.
Câu 17(ĐH 2010). Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất đi từ vị trí biên x = A đến vị trí x = \[\frac{-A}{2}\], chất điểm có tốc độ trung bình
A. vtb =\[\frac{3A}{2T}\]. B. vtb =\[\frac{6A}{T}\]. C. vtb =\[\frac{4A}{T}\]. D. vtb =\[\frac{9A}{2T}\].
Câu 18 (ĐH 2013). Một vật nhỏ dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 12 cm. Dao động này có biên độ
A. 12 cm. B. 24 cm. C. 6 cm. D. 3 cm.
Câu 19 (ĐH 2013). Một vật dao động điều hòa với biên độ 4 cm, chu kì 2 s. Quãng đường vật đi được trong 4 s là
A. 64 cm. B. 16 cm. C. 32 cm. D. 8 cm.
Câu 20 (ĐH 2013). Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x = Acos4\[\pi \]t (t tính bằng s). Tính từ lúc t = 0, khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại là
A. 0,083 s. B. 0,104 s. C. 0,167 s. D. 0,125s.
Câu21: Một chất điểm dao động điều hòa theo một quỹ đạo thẳng dài 10 cm với chu kì 0,2 s. Tốc độ trung bình của chất điểm từ thời điểm \[{{t}_{0}}\] chất điểm đi qua vị trí có tốc độ 25\[\pi \] cm/s theo chiều dương gần với thời điểm tốc độ bằng 0 nhất đến thời điểm tốc độ của chất điểm bằng 0 lần thứ 5 (kể từ\[{{t}_{0}}\] ) xấp xĩ bằng
A. 118 cm/s. B. 108 cm/s. C. 98 cm/s. D. 88 cm/s.
1B 2D 3C 4D 5D 6B 7D 8A 9A 10A 11B 12A 13B 14D 15C 16C 17D 18C 19C 20A 21C
