CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ PHƯƠNG PHÁP TRỤC THỜI GIAN

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ PHƯƠNG PHÁP TRỤC THỜI GIAN

A. ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1, Liên hệ giữa chuyển động tròn đều trên 1 đường tròn tâm O bán kính A với tốc độ góc $\omega $

-Giả sử lúc t=0, chất điểm ở ${{M}_{0}}$ với $(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{O{{M}_{0}}})=\varphi $

- Ở thời điểm t, chất điểm M với $(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})=\omega t+\varphi =\alpha $

- Gọi P là hình chiếu của M lên Ox

Tọa độ của P :

$x=OP=OM.\cos \alpha $

$x=A.\cos (\omega t+\varphi )$

Kết luận: Dao động điều hòa coi như hình chiếu của chuyển động tròn đều lên một đường kính quỹ đạo

2. Bảng so sánh các đại lượng của chuyển động tròn đều và của dao động điều hòa

3. Các bước thực hiện:

· Bước 1: Vẽ đường tròn (O; R = A).

· Bước 2: Tại t = 0, xem vật đang ở đâu và bắt đầu chuyển động theo chiều âm hay dương:

+ Nếu \[\varphi >0\]: vật chuyển động theo chiều âm (về bên âm)

+ Nếu \[\varphi <0\]: vật chuyển động theo chiều dương (về biên dương)

· Bước 3: Xác định điểm tới để xác định góc quét \[\Delta \varphi \], từ đó xác định được thời gian và quãng đường chuyển động.

B. PHƯƠNG PHÁP TRỤC THỜI GIAN

- Trường hợp 1: Với li độ x thuộc các trường hợp đặc biệt

Trường hợp 2: Với trường hợp x không thuộc các trường hợp đặc biệt

- Vật đi từ VTCB O đến li độ x hoặc ngược lại:

$\Delta t=\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{\left| x \right|}{A}$

- Vật đi từ biên đến li độ x hoặc ngược lại

$\Delta t=\frac{1}{\omega }\arccos \frac{\left| x \right|}{A}$

C. CÁC VÍ DỤ :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình \[x=4\cos \left( 6\pi t+\pi /3 \right)\]cm. Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương lần thứ 2 kể từ thời điểm ban đầu.

Hướng dẫn

Khi t=0 ta có li độ của vật là x= 2 và đang đi theo chiều âm ( do $\varphi >0$ )

Ta có: $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{6\pi }=\frac{1}{3}(s)$

+) Cách 1: Dùng phương pháp trục thời gian

Dựa vào trục thời gian ta có:$\Delta t=\frac{T}{12}+\frac{T}{4}+\frac{T}{2}+\frac{T}{2}+\frac{T}{4}+\frac{T}{12}=\frac{5T}{3}$ =$\frac{5}{9}(s)$

+) Cách 2: Dùng đường tròn lượng giác

Ta thấy trong 1 chu kì vật đi qua vị trí M 1 lần. Vậy để vật đi qua M 2 lần thì cần 2 chu kì nhưng phải trừ phần dư ứng với cung \[M{{M}_{0}}\]

\[\Rightarrow t=2.T-\frac{\frac{2\pi }{3}}{6\pi }=\frac{5}{9}\left( s \right)\]

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình \[x=4\cos \left( 6\pi t+\pi /3 \right)\]cm. Thời điểm vật qua vị trí \[x=2\sqrt{3}\]cm theo chiều âm lần thứ 3 kể từ t = 2s.

Hướng dẫn

+) Cách 1: Sử dụng phương pháp trục thời gian

Ta có: $\frac{t}{T}=\frac{2}{{}^{1}/{}_{3}}$ =6T, như vây vật đã quay lại vị trí ban đầu, ta có trục thời gian:

Vậy $\Delta t=2+\frac{T}{12}+\frac{T}{4}+5.\frac{T}{2}+\frac{T}{12}=2+\frac{35T}{12}=2+\frac{35}{36}=\frac{107}{36}$

+) Cách 2: Dùng đường tròn lượng giác

Sau thời gian t = 2(s) vật đi được một đoạn ứng với góc quét \[\Delta \varphi =6\pi .2=12\pi \left( ra\text{d} \right)\Rightarrow \]Vị trí này vẫn trùng với vị trí \[{{M}_{0}}\]

Trong 1 chu kì vật đi qua vị trí \[{{M}_{1}}\] 1 lần \[\Rightarrow \]Để đi qua \[{{M}_{1}}\]3 lần thì cần 3 chu kì nhưng phải trừ đi phần dư ứng với cung tròn \[{{M}_{1}}M\]

\[\Rightarrow t=3.T-\frac{\frac{\pi }{6}}{6\pi }=2,97\left( s \right)\]

Ví dụ 3: Vật dao động điều hòa với phương trình \[x=4\cos \left( \omega t+\pi /3 \right)\]cm. Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi vật dao động đến khi gia tốc đổi chiều 2 lần 7/16s. Tìm chu kì dao động của vật

Hướng dẫn

Vật dao động từ t = 0, thay vào phương trình x, v ta được tại t = 0 thì

+) Cách 1: Phương pháp trục thời gian

Ta có: $\Delta t=\frac{T}{12}+\frac{T}{4}+\frac{T}{4}=\frac{7T}{12}=\frac{7}{16}$

$\Leftrightarrow T=\frac{3}{4}(s)$

Cách 2: Dùng đường tròn lượng giác

Gia tốc vật đổi chiều tại vị trí cân bằng, sử dụng trục thời gian ta dễ dàng tìm được khoảng thời gian mà vật đi ứng với vật di chuyển từ li độ x = 2 đến biên âm rồi quay về vị trí cân bằng.

\[\Rightarrow \Delta \varphi =\frac{7\pi }{6}=\omega .\frac{7}{16}\Rightarrow \omega =\frac{8\pi }{3}\left( ra\text{d/s} \right)\Rightarrow T=3/4\text{s}\]

Ví dụ 4: Vật dao động điều hòa với phương trình \[x=4\cos \left( \omega t+\pi /3 \right)\]cm. Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi vật dao động đến khi gia tốc đổi chiều 2 lần 7/16s. Tính quãng đường vật đi được từ t = 0 đến t = 2,5 s.

Hướng dẫn

Thay T = 3/4s \[\Rightarrow x=4\cos \left( \frac{8\pi t}{3}+\frac{\pi }{3} \right)cm\]

Khi ta có \[\Rightarrow \Delta t=2,5\Rightarrow \frac{\Delta t}{T}=\frac{2,5}{0,75}=\frac{10}{3}\]

\[\Leftrightarrow \Delta t=3T+\frac{T}{3}\]

Vật dao động từ t = 0, thay vào phương trình x, v ta được tại t = 0 thì

+) Cách 1: Sử dụng phương pháp trục thời gian

Vậy S=A/2+A+3.4A=2+4+3.4.4=54 cm

+) Cách 2: Ứng dụng đường tròn lượng giác

+ Tại t = 0 ta có ứng với vị trí \[{{M}_{0}}\]trên đường tròn

+ Tại t = 2,5s ta cóứng với vị trí M trên đường tròn

Suy ra quãng đường vật đi được là \[S=3.4\text{A}+{S}'=48+4+2=54cm\]

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình \[x=5\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm\]. Tính quãng đường vật đi được từ t=1/5s đến t=11/8s

Hướng dẫn

Ta có: $T=\frac{2\pi }{\omega }=0,4s$

+) Cách 1: Sử dụng phương pháp trục thời gian

Với t=0$\Rightarrow x=2,5(cm);v<0$

Ta có: $\frac{{{t}_{1}}}{T}=\frac{1/5}{0,4}=\frac{1}{2}$ và $\frac{{{t}_{2}}}{T}=\frac{11/8}{0,4}=\frac{55}{6}=3+\frac{7}{16}$

Vậy quãng đường vật đi được từ t=1/5s đến t=11/8s là”

S= 3.4.A +$\frac{A}{2}$ +A+ ${{S}_{({}^{5T}/{}_{48})}}$- (2A) =3.4.5+2,5+5+(5-$5.\cos (\frac{5\pi }{24})$ )-2.5=58,8 (cm)

+) Cách 2: Ứng dụng đường tròn lượng giác

$\Delta t=\frac{47}{40}(s)=\frac{47}{16}T=2T+\frac{15}{16}T$

$\to S=8A+S'$

Tại $t=$ ta cóứng với vị trí M₁

Tại $t=s$ta có ứng với vị trí M₂

Quãng đường đi được của vật như trên hình vẽ, ta dễ dàng tính được $S=8,5+7,5+10+(5-3,97)=58,53\,\,cm$

D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Vật dao động điều hòa với biên độ 6cm, chi kì 1,2s. Trong một chu kì, khoảng thời gian để li độ ở trong khoảng [-3cm + 3cm] là:

A. 0,3s B. 0,2s

C. 0,6s D. 0,4s

Bài 2: Vật dao động điều hòa theo phương trình \[x=-5\cos \left( 10\pi t \right)\]cm. Thời gian vật đi quãng đường dài 12,5 cm kể từ lúc bắt đầu chuyển động là:

A. 1/15s B. 2/15s

C. 1/30s D. 1/12s

Bài 3: Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox. Phương trình dao động là \[x=2\cos \left( \pi t+\pi \right)\]cm. Thời gian ngắn nhất vật đi từ lúc bắt đầu doa động đến lúc vật có li độ \[x=\sqrt{3}\]

A. 2,4s B. 1,2s

C. 5/6s D. 5/12s

Bài 4: Một con lắc đơn gồm một hòn bi nhỏ khối lượng m, treo vào một sợi dây không giãn, khối lượng dây không đáng kể. Khi con lắc đơn này dao động điều hòa với chu kì 3s thì hòn bi chuyển động trên cung tròn 4cm. Thời gian để hòn bi đi được 5cm kể từ vị trí cân bằng là:

A. 15/12s B. 2s

C. 21/12s D. 18/12s

Bài 5: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox xung quanh gốc O với biên độ 6cm và chu kì 2s. Mốc để tính thời gian là khi vật đi qua vị trí x = 3cm theo chiều dương. Khoảng thời gian chất điểm đi được quãng đường 249cm kể từ thời điểm ban đầu là:

A. 127/6s B. 125/6s

C. 62/3s D. 61/3s

Bài 6: Một vật dao động điều hòa theo phương trình \[x=4\cos \left( 8\pi t-2\pi /3 \right)\]cm. Thời gian vật đi được quãng đường \[s=\left( 2+2\sqrt{2} \right)\]cm kể từ lúc vật bắt đầu dao động là:

A. \[\frac{5}{96}\left( s \right)\] B. \[\frac{1}{96}\left( s \right)\]

C. \[\frac{29}{96}\left( s \right)\] D. \[\frac{25}{96}\left( s \right)\]

Bài 7: Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ nặng m = 100g và lò xo có độ cứng k = 10 N/m dao động với biên độ A = 2cm. Trong mỗi chu kì dao động thời gian mà vật nặng ở cách vị trí cân bằng lớn hơn 1 cm là bao nhiêu?

A. 0,314s B. 0,419s

C. 0,242s D. Một kết quả khác

Bài 8: Một con lắc lò xo có độ cứng 1N/m, vật nặng có khối lượng 100g dao động điều hòa theo phương ngang, trong quá trình dao động, vận tốc có độ lớn cực đại 6πcm/s, lấy \[{{\pi }_{2}}=10\]. Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = 6cm đến vị trí \[-3\sqrt{3}\](cm) là:

A. 0,833 B. 0,167

C. 0,333 D. 0,667

Bài 9: Con lắc lò xo gồm một vật nặng có khối lượng m = 100g và lò xo có hệ số đàn hồi k = 100N/m, dao động trên mặt phẳng ngang. Kéo vật khỏi vị trí cân bằng một đoạn 3cm. Tại thời điểm t = 0, truyền cho vật một vận tốc bằng \[30\sqrt{30}\]cm/s theo chiều hướng ra xa vị trí cân bằng để vật bắt đầu dao động điều hòa. Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi vật bắt đầu dao động cho đến khi lò xo bị nén cực đại là:

A. 2/15 B. 1/15

C. 3/20 D. 1/10

Bài 10: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ \[{{x}_{1}}=A\]đến vị trí \[{{x}_{2}}=\frac{A}{2}\], chất điểm có tốc độ trung bình là:

A. \[\frac{6A}{T}\] B. \[\frac{9A}{2T}\]

C. \[\frac{3A}{2T}\] D. \[\frac{4A}{T}\]

Bài 11: Vật dao động điều hòa với biên độ A. Trong một chu kỳ thời gian dài nhất vật đi từ vị trí có li độ \[{{x}_{1}}=\frac{A}{2}\] theo chiều dương đến vị trí có li độ \[{{x}_{2}}=\frac{A\sqrt{3}}{2}\]là 0,45s. Chu kì dao động của vật là:

A. 1s B. 2s

C. 0,9s D. 1,8s

Bài 12: Một con lắc lò xo dao động với biên độ A. Trong một chu kì thời gian dài nhất để con lắc di chuyển từ vị trí có li độ \[{{x}_{1}}=-A\]đến vị trí có li độ \[{{x}_{2}}=A/2\]là 1s. Chu kì dao động của con lắc là:

A. 1,5s B. 2s

C. 3s D. 4s

Bài 13: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình \[x=4\cos \left( 5\pi t \right)\]cm thời gian ngắn nhất vật đi từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật đi được quãng đường 6cm là:

A. 0,15s B. 2/15s

C. 0,2s D. 0,3s

Bài 14: Một con lắc đơn gồm một hòn bi nhỏ khối lượng m, treo vào mọt sợi dây không giãn, khối lượng dây không đáng kể. Khi con lắc đơn này dao động điều hòa với chu kì 3s thì hòn bi chuyển động trên cung tròn 4cm. Thời gian để hòn bi đi được 2cm kể từ vị trí cân bằng là:

A. 1s B. 2s

C. 0,75s D. 4s

Bài 15: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ 10cm, chu kì 1s. Trong một chu kì, quãng thời gian mà khoảng cách từ vật tới vị trí cân bằng lớn hơn \[5\sqrt{3}\]cm là

A. \[\frac{1}{3}s\] B. \[\frac{1}{12}s\]

C. \[\frac{5}{12}s\] D. \[\frac{1}{6}s\]

Bài 16: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A. Tốc độ trung bình lớn nhất của vật thực hiện được trong khoảng thời gian 2T/3 là:

A. \[\frac{9A}{2T}\] B. \[\frac{\sqrt{3}A}{T}\]

C. \[\frac{3\sqrt{3}A}{2T}\] D. \[\frac{6A}{T}\]

Bài 17: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quãng vị trí cân bằn O với chu kì T và biên độ dao động là A. Tìm quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian T/3 là:

A. \[\left( \sqrt{3}-1 \right)A\] B. A

C. \[A\sqrt{3}\] D. \[\left( 2-\sqrt{2} \right)A\]

Bài 18: Một vật dao động điều hào với phương trình \[x=4\cos \left( 4\pi t+\pi /3 \right)\]. Tính quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian 1/6s

A. \[\sqrt{3}cm\] B. \[2\sqrt{3}cm\]

C. \[3\sqrt{3}cm\] D. \[4\sqrt{3}cm\]

Bài 19: Một vật dao động điều hòa với phương trình \[x=4\cos \left( 4\pi t+\pi /3 \right)\left( cm \right)\]. Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian \[\Delta t=1/6\left( s \right)\]

A. \[2\left( 4-2\sqrt{3} \right)cm\] B. \[2\sqrt{3}\]cm

C. 4cm D. \[4\sqrt{3}\]cm

Bài 20: Một con lắc lò xo dao động điều hòa tự do theo phương nằm ngang với chiều dài quỹ đạo là 14cm. Vật có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 100N/m. Lấy xấp xỉ \[\pi =\sqrt{10}\]. Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong 1/15s là

A. 10,5cm B. 21cm

C. \[14\sqrt{3}\]cm D. \[7\sqrt{3}\]cm

Bài 21: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 10cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn vận tốc không nhỏ hơn $10\pi \sqrt{2}$cm/s là T/2. Lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Tần số dao động của vật là:

A. 3Hz B. 2Hz

C. 4Hz D. 1Hz

Bài 22: Một con lắc lò xo có vật nặng với khối lượng m = 100g và lo xo có độ cứng k = 10N/m dao động với biên độ 2 cm. Thời gian mà vật có vận tốc nhỏ hơn $10\sqrt{3}$cm/s trong mỗi chu kì có bao nhiêu?

A. 0,219s B. 0,417s

C. 0,628s D. 0,523s

Bài 23: Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x=8\cos \left( 3\pi t+\pi /17 \right)cm$, số lần vật đạt tốc độ cực đại trong giây đầu tiên là:

A. 1 lần B. 2 lần

C. 3 lần D. 4 lần

Bài 24: Một vật dao động điều hòa theo phương trình \[x=A\cos \left( \frac{2\pi }{T}t+\varphi \right)\]. Khoảng thời gian kể từ lúc vật đi qua vị trí có tọa độ A/2 theo chiều dương đến lúc vật đạt vận tốc cực đại lần đầu tiên là:

A. \[\frac{T}{12}s\] B. \[\frac{5T}{36}s\]

C. \[\frac{T}{4}s\] D. \[\frac{5T}{12}s\]

Bài 25: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 10cm. Biết trong một chu kì khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn vận tốc không vượt quá 5πcm/s là T/3. Tần số dao động của vật là:

A. \[1/2\sqrt{3}H\text{z}\] B. 0,5 Hz

C. \[1/\sqrt{3}H\text{z}\] D. 4Hz

1: D 2: B 3: C 4: C 5: B 6: A 7: B 8: A 9: A 10: B