Các định lý về tam giác ABC
**Định lý $\sin $ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ nên ta có:
$a=2R\sin B; b=2R\sin B; c=2R\sin C$
**Định lý $\cos $ $a^2 =b^2+c^2 -2bc.\cos A; b^2=c^2+a^2 -2ac\cos B, c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
Nên ta có $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}; \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}; \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab};$
**Định lý diện tích:
$S=\frac{1}{2}a.h_{a}=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Phân giác: $l_{A}=\frac{2bc.\cos \frac{A}{2}}{b+c}$; trung tuyến $m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$
**Dạng tam giác:
- Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi $A=90^{\circ}$ hoặc $\cos A=0$ hoặc $a^2=b^2+c^2$
- Tam giác $ABC$ cân tại $A$ khi $b=c$ hoặc $\widehat{B}=\widehat{C}$ hoặc $\sin B=\sin C$ hoặc $\cos B=\cos C$
- Tam giác $ABC$ đều khi $a=b=c$ hoặc $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ hoặc $a=b$ và một góc bằng ${60^{\circ}}$
- Tam giác $ABC$ nhọn khi cả góc A, B, C đều nhọn
Góc A nhọn $\Leftrightarrow a^2< b^2+c^2$, góc A tù $\Leftrightarrow a^2> b^2+c^2$
**Công thức lượng giác
$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha\cos \beta - \sin \alpha\sin \beta; \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin \beta$
$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha\cos \beta - \cos \alpha\sin \beta; \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta$
$\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}; \tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}$
$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha; \tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}$
$\cos^2 \alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}; \sin^2 \alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$
$\cos \alpha +\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos \alpha -\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha+\beta}{2}$
$\sin \alpha +\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin \alpha -\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin \alpha\sin \beta=\frac{-1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)]$
$\cos \alpha\sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)]$
$\tan \alpha+\tan \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos \alpha.\cos \beta}; \tan \alpha-\tan \beta=\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\cos \alpha.\cos \beta}$
$\cot \alpha+\tan \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\sin \alpha.\sin \beta}; \cot \alpha-\cot \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\sin \alpha.\sin \beta}$
**Phương pháp đánh giá
-Phương pháp biến đổi tương đương
-Phương pháp nhóm và so sánh
-Phương pháp dùng bất đẳng thức cơ bản:
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$ với mọi $a, b$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow ab \geq 0$
$\left | a-b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$ với mọi $a, b$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow ab \leq 0$
$\left | a-b \right |\geq \left | \left | a \right |-\left | b \right | \right |$ với mọi $a,b$
Ngoài ra chúng ta có thể sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như:
- Bất đẳng thức trung bình nhân và bất đẳng thức trung bình cộng.
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab }$ với mọi $a,b$ không âm. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b$
$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$ với mọi $a,b,c$ không âm. Dấu bằng xảy $\Leftrightarrow a=b=c$
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ có cạnh $a,b,c$. Chứng minh:
$a, abc \geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$
$b, a^3+b^3+c^3+2abc < a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$
$c, \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \geq \frac{A+B+C}{3}$
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng 2. Chứng minh:
$a, a^2+b^2+c^2+2abc <2$
$b,a^3+b^3+c^3+15abc \geq 8$
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng $2p$. Chứng minh:
$a, 8(p-a)(p-b)(p-c) \leq abc$
$b,\sqrt{p} < \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c} <\sqrt{3p}$
$c, a^2(p-b)(p-c)+b^2(p-c)(p-a)+c^2(p-a)(p-b)\leq p^2R^2$
Bài 4: Cho tam giác $ABC$ chứng minh rằng:
$a, a^4+b^4+c^4 \geq 16S^2$
$b, 2(ab+bc+ca) \leq 2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$
Bài 5: Cho tam giác $ABC$ chứng minh
$a, \frac{h_{A}}{l_{A}} > \sqrt{\frac{2r}{R}}$
$b, \frac{1}{c}(l_{A}+l_{B})+\frac{1}{a}(l_{B}+l_{C})+\frac{1}{b}(l_{C}+l_{A}) \leq 3\sqrt{3}$
