Phương trình tiếp tuyến của elip $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ tại điểm $({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ là $\frac{{{x}_{0}}x}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}_{0}}y}{{{b}^{2}}}=1.$
Chứng minh. Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm $({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ là $y={y}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}.$
Từ $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1.$ Đạo hàm hai vế theo biến $x$ ta được $\frac{2x}{{{a}^{2}}}+\frac{2y.{y}'}{{{b}^{2}}}=0\Leftrightarrow {y}'=-\frac{{{b}^{2}}x}{{{a}^{2}}y}\Rightarrow {y}'({{x}_{0}})=-\frac{{{b}^{2}}{{x}_{0}}}{{{a}^{2}}{{y}_{0}}}.$
Vậy phương trình tiếp tuyến là
$y=-\frac{{{b}^{2}}{{x}_{0}}}{{{a}^{2}}{{y}_{0}}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}y_{0}^{2}+{{b}^{2}}x_{0}^{2}-{{b}^{2}}x{{x}_{0}}={{a}^{2}}y{{y}_{0}}\Leftrightarrow \frac{x{{x}_{0}}}{{{a}^{2}}}+\frac{y{{y}_{0}}}{{{b}^{2}}}=\frac{x_{0}^{2}}{{{a}^{2}}}+\frac{y_{0}^{2}}{{{b}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{x{{x}_{0}}}{{{a}^{2}}}+\frac{y{{y}_{0}}}{{{b}^{2}}}=1.$
Tóm lại phương trình tiếp tuyến cần tìm là $\frac{x{{x}_{0}}}{{{a}^{2}}}+\frac{y{{y}_{0}}}{{{b}^{2}}}=1.$ Ta có điều phải chứng minh.
Bài tập áp dụng:
Cho elip $(E):\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$ Xét điểm $M$ trên tia $Ox,$ điểm $N$ trên tia $Oy$ sao cho đường thẳng $MN$ tiếp xúc với elip $(E).$ Đoạn thẳng $MN$ có độ dài ngắn nhất bằng
A. $6.$
B. $7.$
C. $8.$
D. $9.$
