Dạng đại số của số phức

SỐ PHỨC (dạng đại số)

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa:

Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả  mãn i² = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi .

• i được gọi là đơn vị ảo   
• a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a
• b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b
• Tập hợp các số phức ký hiệu là C.

*) Chú ý:

          - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.

          - Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

          - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

2. Hai số phức bằng nhau.

          Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

         

3. Biểu diễn hình học của số phức.

          Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

          Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi .

4. Phép cộng và phép trừ các số phức.

          Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

5. Phép nhân số phức.

          Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

 $zz'=aa'-bb'+(ab'-a'b)i$

6. Số phức liên hợp.

          Cho số phức z = a + bi. Số phức $\overline{z}$ = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.

          Vậy $\overline{z}$ = $\overline{a+bi}$= a - bi

Chú ý:  1⁰) $\overline{\overline{z}}$ = z  Þ z và $\overline{z}$ gọi là hai số phức liên hợp với nhau.

            2⁰) z.$\overline{z}$ = a² + b²

*) Tính chất của số phức liên hợp:

          (1): $\overline{\overline{z}}=z$

(2): \[\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}\]

(3): \[\overline{z.z'}=\overline{z}.\overline{z'}\]

(4): z.$\overline{z}$= $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$(z = a + bi )

7. Môđun của số phức.

          Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu $\left| z \right|$ là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau:

          - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì $\left| z \right|$ = $$=$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

          - Nếu z = a + bi, thì $\left| z \right|$ = $\sqrt{z.\overline{z}}$=$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

8. Phép chia số phức khác 0.

          Cho số phức z = a + bi  ≠ 0 (tức là a²+b² > 0 )

Ta định nghĩa số nghịch đảo  z^-1 của số phức z ≠ 0 là số

          z^-1= $\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\overline{z}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\overline{z}$

Thương $\frac{z'}{z}$của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:

$\frac{z'}{z}=z.{{z}^{-1}}=\frac{z'.\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}$

          Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.

B. Bài tập minh họa

Phương pháp:

• Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức.
• Chú ý cho cưng: Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…    

Câu1: Cho số phức z = $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$      Tính các số phức sau: $\overline{z}$; z2; ($\overline{z}$)3; 1 + z + z2

Giải:

1. Vì z = $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$ Þ $\overline{z}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$
2. Ta có z² = ${{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \right)}^{2}}$=\[\frac{3}{4}+\frac{1}{4}{{i}^{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\]=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Þ ($\overline{z}$)² = ${{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right)}^{2}}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}{{i}^{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

($\overline{z}$)³ =($\overline{z}$)² . $\overline{z}$ = $\left( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \right)\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}i+\frac{3}{4}i-\frac{\sqrt{3}}{4}=i$

Ta có: 1 + z + z² = $1+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\frac{3+\sqrt{3}}{2}-\frac{1+\sqrt{3}}{2}i$

Nhận xét: Trong bài toán này, để tính ${{\left( \overline{z} \right)}^{3}}$ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực.

Câu 2: Tìm số phức liên hợp của: $z=(1+i)(3-2i)+\frac{1}{3+i}$

Giải:

 Ta có : $z=5+i+\frac{3-i}{(3+i)(3-i)}=5+i+\frac{3-i}{10}$

 Suy ra số phức liên hợp của z là: $\overline{z}=\frac{53}{10}-\frac{9}{10}i$

Câu 3:  Tìm mô đun của số phức $z=\frac{(1+i)(2-i)}{1+2i}$

 

Giải:  Ta có : $z=\frac{5+i}{5}=1+\frac{1}{5}i$

Vậy, mô đun của z bằng: $\left| z \right|=\sqrt{1+{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{26}}{5}$

 

Câu 4:  Tìm các số thực x, y thoả mãn:                                                 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

 

Giải:

Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

Û (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

Giải hệ này ta được:

Câu 5:  Tính:                                         i105  + i23 + i20 – i34

Giải:

Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau:

Ta có: i² = -1; i³ = -i; i⁴ = i³.i  = 1; i⁵ = i; i⁶ = -1…

Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i⁴ⁿ = 1; i⁴ⁿ⁺¹ = i; i⁴ⁿ⁺² = -1; i⁴ⁿ⁺³ = -i; " n Î N^*

          Vậy iⁿ Î {-1;1;-i;i}, " n Î N.

          Nếu n nguyên âm, iⁿ = (i^-1)^-n = ${{\left( \frac{1}{i} \right)}^{-n}}={{\left( -i \right)}^{-n}}$.

          Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được:                                      

  i¹⁰⁵  + i²³ + i²⁰ – i³⁴ = i^4.26+1  + i^4.5+3 + i^4.5 – i^4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2

Câu 6: Tính số phức sau:                                                  z = (1+i)15

Giải:

          Ta có: (1 + i)² = 1 + 2i – 1 = 2i Þ (1 + i)¹⁴ = (2i)⁷  = 128.i⁷ = -128.i

          z = (1+i)¹⁵  = (1+i)¹⁴(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

Câu 7: Tính số phức sau: z = \[{{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{16}}+{{\left( \frac{1-i}{1+i} \right)}^{8}}\]

Giải:

Ta có: $\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{2}=\frac{2i}{2}=i$

Þ $\frac{1-i}{1+i}=-i$. Vậy  \[{{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{16}}+{{\left( \frac{1-i}{1+i} \right)}^{8}}\]=i¹⁶ +(-i)⁸ = 2

C. Bài tập tự luyện

Câu 1:  Gọi ${{z}_{1}}$ và  ${{z}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-2z+5=0$. Tính $P=z_{1}^{4}+z_{2}^{4}$

 A.– 14                           B. 14                    C. -14i                                     D.  14i

Câu 2:  Cho số phức $z=3+4i\,$và $\bar{z}$ là số phức liên hợp của $z$. Phương trình bậc hai nhận $z$ và $\bar{z}$ làm nghiệm là:

A.  ${{z}^{2}}-6z+25=0$                                    B. ${{z}^{2}}+6z-25=0$       

C. ${{z}^{2}}-6z+\frac{3}{2}i=0$                                D. ${{z}^{2}}-6z+\frac{1}{2}=0$

Câu 3: Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn ${{z}^{2}}-3z+5=0$ . Tìm mô đun của số phức:$\omega =2z-3+\sqrt{14}$

A. 4                               B. $\sqrt{17}$                C. $\sqrt{24}$                         D. 5

Câu 4: Gọi ${{z}_{1}}$ và  ${{z}_{2}}$ lần lượt là nghiệm của phươngtrình: ${{z}^{2}}-2z+5=0$. Tính $\mathbb{F}=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$

A. $2\sqrt{5}$                         B. 10                     C. 3                                D. 6  

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn:$(3+2i)z+{{(2-i)}^{2}}=4+i.$ Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là:

A. 1                                B. 0                      C. 4                                D.6

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn:$\bar{z}(1+2i)=7+4i$.Tìm mô đun số phức $\omega =z+2i$.

A. 4                                B. $\sqrt{17}$                C. $\sqrt{24}$                         D. 5

Câu 7:  Dạng  z = a+bi của số phức $\frac{1}{3+2i}$ là số phức nào dưới đây?

A. $\frac{3}{13}-\frac{2}{13}i$                 B. $\frac{3}{13}+\frac{2}{13}i$                C. $-\frac{3}{13}-\frac{2}{13}i$              D. $-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}i$

Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là sai, khi nói về số phức?

A. $z+\bar{z}$ là số thực         B. $\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z}'$        C. $\frac{1}{1+i}+\frac{1}{1-i}$ là số thực.   D. ${{(1+i)}^{10}}={{2}^{10}}i$

Câu 9: Cho số phức $z=3+4i$. Khi đó môđun của ${{z}^{-1}}$ là:

A. $\frac{1}{\sqrt{5}}$           B. $\frac{1}{5}$            C. $\frac{1}{4}$            D. $\frac{1}{3}$

 Câu 10: Cho số phức  $z=\frac{1+i}{1-i}+\frac{1-i}{1+i}$. Trong các kết luận sau kết luận nào đúng?

A.  $z\in \mathbb{R}$.                               B. $z$là số thuần ảo.     

C.  Mô đun của $z$ bằng 1               D. $z$ có phần thực và phần ảo đều bằng 0.

Đáp án bài tập tự luyện

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	A	D	A	B	D	D	D	B	D

Bài viết gợi ý: