Full công thức tính nhanh tỷ số thể tích khối đa diện

Công thức 1:Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt phẳng đáy $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$

Câu 1.Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ và ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNP.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}'}}{V}.$

Giải. Ta có $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}.$

Chọn đáp án D.

Câu 2.Cho khối chóp $S.ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNPQ.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}'}}{V}.$

Giải. Ta có $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 2:Công thức Simson (tỷ số thể tích) cho khối chóp tam giác $\frac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{S{{A}_{1}}}{SA}.\frac{S{{B}_{1}}}{SB}.\frac{S{{C}_{1}}}{SC}.$

Công thức 3:Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho $\frac{S{{B}_{1}}}{S{{A}_{1}}}=k$ thì $\frac{{{V}_{S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}}={{k}^{3}}$ (đây là trường hợp đặc biệt cho hai khối đa diện đồng dạng tỷ số $k).$

Công thức 4:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\frac{AM}{A{A}'}=x,\frac{BN}{B{B}'}=y,\frac{CP}{C{C}'}=z$ ta có ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{x+y+z}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}.$

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích $V.$ Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $B{B}',C{C}'$ sao cho $\dfrac{MB}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},\dfrac{NC}{C{C}'}=\dfrac{1}{4}.$ Thể tích của khối chóp tứ giác $A.BMNC$ là ?

Giải.Ta có ${{V}_{A.BMNC}}=\dfrac{x+y+z}{3}V=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+0}{3}V=\dfrac{V}{4}.$ Chọn đáp án D.

Công thức 5:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{AM}{A{A}'}=X,\frac{BN}{B{B}'}=y,\frac{CP}{C{C}'}=z,\frac{DQ}{D{D}'}=t$ ta có ${V_{ABCD.MNPQ}} = \frac{{x + y + z + t}}{4}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}$ và $x+z=y+t.$  

Ví dụ 1: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh $2a,$ gọi $M$ là trung điểm của $B{B}'$ và $P$ thuộc cạnh $D{D}'$ sao cho $DP=\frac{1}{4}D{D}'.$ Mặt phẳng $(AMP)$ cắt $C{C}'$ tại $N.$ Thể tích khối đa diện $AMNPQBCD$ bằng

Giải. Thể tích khối lập phương ${{V}_{0}}=8{{a}^{3}}.$ Có $x=\dfrac{AA}{A{A}'}=0,y=\dfrac{BM}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{CN}{C{C}'},t=\dfrac{DP}{D{D}'}=\dfrac{1}{4}$ và $x+z=y+t\Leftrightarrow 0+z=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow z=\frac{3}{4}.$

Khi đó ${{V}_{AMNPBCD}}=\dfrac{x+y+z+t}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}{4}.8{{a}^{3}}=3{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 6:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp  tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{SM}{SA}=x,\frac{SN}{SB}=y,\frac{SP}{SC}=z,\frac{SQ}{SD}=t$ ta có ${{V}_{S.MNPQ}}=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right){{V}_{S.ABCD}}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}.$

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích $V$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng qua $A,M,P$ cắt cạnh $SC$ tại $N$ với $M,P$ là các điểm thuộc các cạnh $SB,SD$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}.$ Mặt Tính thể tích khối đa diện $ABCD.MNP.$

A. $\frac{23}{30}V.$

B. $\frac{7}{30}V.$

C. $\frac{14}{15}V.$

D. $\frac{V}{15}.$

Giải. Ta có $x=\frac{SA}{SA}=1,y=\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},z=\frac{SN}{SC},t=\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}\Rightarrow 1+\frac{1}{z}=2+\frac{3}{2}\Leftrightarrow z=\frac{2}{5}.$

Do đó ${{V}_{S.AMNP}}=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right)V=\frac{7}{30}V\Rightarrow {{V}_{ABCD.MNPQ}}=\frac{23}{30}V.$ Chọn đáp án A.

Công thức 9: Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số $k$ có $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{k}^{3}}.$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi ${V}'$ là thể tích của khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tứ diện $ABCD.$ Tính tỷ số $\frac{{{V}'}}{V}.$

Giải. Gọi ${A}',{B}',{C}',{D}'$ lần lượt là trọng tâm các mặt $(BCD),(ACD),(ABD),(ABC);$ Ta có $\frac{{A}'{B}'}{AB}=\frac{{A}'{C}'}{AC}=\frac{{A}'{D}'}{AD}=\frac{1}{3}.$ Khối tứ diện ${A}'{B}'{C}'{D}'$ đồng dạng với khối tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\frac{1}{3}.$ 

Do đó  $\frac{{{V}'}}{V}={{k}^{3}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{27}.$Chọn đáp án B.

Bài viết gợi ý: