Dạng lượng giác của số phức

SỐ PHỨC (dạng lượng giác)

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho số phức z ¹ 0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.

Như vậy nếu j là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:

2. Dạng lượng giác của số phức.

          Xét số phức 

          Gọi r là môđun của z và j là một acgumen của z.

3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác.

4. Công thức Moivre.

5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

          Cho số phức 

          Khi đó z có hai căn bậc hai là: \[\sqrt{r}\left( c\text{os}\frac{\varphi }{2}+\text{isin}\frac{\varphi }{2} \right)\]

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Chuyển một số phức sang dạng lượng giác.

Phương pháp: Dạng lượng giác có dạng: z = r(cos j + i sin j ) trong đó r > 0.

          Để chuyển một số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r và j;

+ Ta có r = |z|

+ j là số thực thoả mãn 

Giải:

5) Ta có: r₅ = 12

Chọn j là số thực thoả mãn 

6) Ta có r₆ = \[\sqrt{{{\left( \frac{-1}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\]

Chọn j là số thực thoả mãn 

7)Ta có: r₇ = 18

Chọn j là số thực thoả mãn 

Nhận xét: Đây là một dạng bài tập rất phổ biến, cần chú ý cho học sinh cách chọn số j thỏa mãn hệ phương trình lượng giác Trong quá trình dạy, tôi thấy rằng nhiều học sinh mắc sai lầm sau: chỉ tìm j thỏa mãn cosj = a/r mà không để ý đến sin j = b/r. Chẳng hạn với hệ  thì học sinh chọn j =\[\frac{\pi }{3}\].

Giải:   

1) Ta có: 1- i$\sqrt{3}$ =2\[\left[ c\text{os}\left( -\frac{\pi }{3} \right)+\text{isin}\left( -\frac{\pi }{3} \right) \right]\]

(1+i) = \[\sqrt{2}\left[ c\text{os}\frac{\pi }{4}+\text{i}\sin \frac{\pi }{4} \right]\]

Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:

(1-i$\sqrt{3}$)(1+i) = 2$\sqrt{2}$\[\left[ c\text{os}\left( -\frac{\pi }{12} \right)+\text{isin}\left( -\frac{\pi }{12} \right) \right]\]

2) $\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i}$=$\sqrt{2}$\[\left[ c\text{os}\left( -\frac{7\pi }{12} \right)+\text{isin}\left( -\frac{7\pi }{12} \right) \right]\]

3) $\frac{1}{2+2i}$=$\frac{1}{4}(1-i)$=\[\frac{1}{4}\sqrt{2}\left[ c\text{os}\left( -\frac{\pi }{4} \right)+\text{isin}\left( -\frac{\pi }{4} \right) \right]\]= \[\frac{\sqrt{2}}{2}\left[ c\text{os}\left( -\frac{\pi }{4} \right)+\text{isin}\left( -\frac{\pi }{4} \right) \right]\]

Giải:

1. Xét số phức: 

Vậy: phần thực bằng: $-\frac{1}{16}$ và phần ảo bằng 0.

2) Xét số phức:

Vậy: phần thực bằng: 0 và phần ảo bằng 128.

Giải:

          z =$$\[\frac{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{10}}{{\left( c\text{os}\left( -\frac{\pi }{4} \right)+\text{i}\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right) \right)}^{10}}{{2}^{5}}{{\left( c\text{os}\frac{\pi }{6}+\text{i}\sin \frac{\pi }{6} \right)}^{5}}}{{{2}^{10}}{{\left( c\text{os}\frac{4\pi }{3}+\text{isin}\frac{4\pi }{3} \right)}^{10}}}\]

          = \[\frac{{{2}^{10}}\left( c\text{os}\left( -\frac{10\pi }{4} \right)+\text{i}\sin \left( -\frac{10\pi }{4} \right) \right)\left( c\text{os}\frac{5\pi }{6}+\text{i}\sin \frac{5\pi }{6} \right)}{{{2}^{10}}\left( c\text{os}\frac{40\pi }{3}+\text{isin}\frac{40\pi }{3} \right)}=\frac{c\text{os}\left( -\frac{5\pi }{3} \right)+\text{i}\sin \left( -\frac{5\pi }{3} \right)}{c\text{os}\frac{40\pi }{3}+\text{isin}\frac{40\pi }{3}}\]

          = cos(-15p) + isin(-15p) = -1.

 Giải:

Ta có:

1) cosa - isin a = cos(2p - a) + isin(2p -a)  khi a  [0;2p)

2) z₂ = sina +i(1+cosa) = 2sin$\frac{a}{2}$cos$\frac{a}{2}$ + 2icos^{2$\frac{a}{2}$} = 2cos$\frac{a}{2}$(sin $\frac{a}{2}$ + i cos $\frac{a}{2}$)

- Nếu a  [0;p ) Þ cos$\frac{a}{2}$ > 0 Þ  z₂ = 2cos$\frac{a}{2}$(cos($\frac{\pi }{2}$- $\frac{a}{2}$) + i sin ($\frac{\pi }{2}$-$\frac{a}{2}$)

- Nếu a  (p ;2p ) Þ cos$\frac{a}{2}$ < 0 Þ  z₂ = -2cos$\frac{a}{2}$(cos($\frac{3\pi }{2}$- $\frac{a}{2}$) + i sin ($\frac{3\pi }{2}$-$\frac{a}{2}$)

- Nếu a Þ  z₂ = 0(cos0 + isin0)

3) z₃ = cosa + sina + i(sina – cosa) = $\sqrt{2}$(cos$\left( a-\frac{\pi }{4} \right)$+ i sin $\left( a-\frac{\pi }{4} \right)$

Dạng 2: Ứng dụng của dạng lượng giác.

Giải:

Dùng công thức Moivre và công thức khai triển nhị thức (cost + isint)⁵

Ta được:

cos5t + isin5t = cos⁵ t + 5icos⁴tsint + 10i²cos³tsin²t + 10i³ cos²t.sin³t +5i⁴ cost.sin⁴t + i⁵sin⁵t

Þ cos5t + isin5t = cos⁵ t -10cos³t(1-cos²t) + 5cost(1-sin²t)² + i[5(1-sin²t)²sint – 10(1-sin²t)sin³t +sin⁵t]

Đồng nhất hai vế ta được điều phải chứng minh.

          Ngoài ứng dụng của công thức Moivre vào lượng giác, chúng ta có thể thấy nếu chuyển được một số phức về dạng lượng giác thì có thể tìm căn bậc hai một cách dễ dàng và nhanh chóng. Sau đây là một số ứng dụng của dạng lượng giác để tìm căn bậc hai của một số phức và giải phương trình bậc hai.

Giải:

Ta có: (1) <=> z⁴ (z + 1) + z² (z + 1) + (z + 1) = 0

          <=> (z+ 1) (z⁴ + z ² + 1) = 0

Xét  phương trình:

Tóm lại phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:

z = -1; z = $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$; z = $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$; z = $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$; z = $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Giải: Ta có $\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}$=$\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}$=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}+i\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2} \right)$

Ta có: z₁ = 2(cos$\frac{\pi }{3}$ + isin$\frac{\pi }{3}$);  z₂ = $\sqrt{2}$(cos$\left( -\frac{\pi }{4} \right)$ + isin$\left( -\frac{\pi }{4} \right)$)

 => $\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}$= $\sqrt{2}$(cos$\frac{7\pi }{12}$ + isin$\frac{7\pi }{12}$)

 => cos$\frac{7\pi }{12}$   = $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$và sin$\frac{7\pi }{12}$= $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Nhận xét: Qua bài tập này ta thấy được một ứng dụng quan trọng của số phức, ta có thể tính sin, cos của một góc bằng công cụ số phức thông qua sự liên hệ giữa dạng đại số và dạng lượng giác của số phức.

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Viết các số sau dưới dạng lượng giác:

a) z₁ = 6 + 6i$\sqrt{3}$

b) z₂ = $-\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}$

c) z₂ = $-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

d) z₃ = 9 – 9i$\sqrt{3}$

e) z₅ = -4i

Câu 2: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a) -2(cos$\frac{\pi }{6}$+isin$\frac{\pi }{6}$)

b) cos$\frac{\pi }{17}$- isin$\frac{\pi }{17}$

c) sin$\frac{\pi }{17}$+  icos$\frac{\pi }{17}$

d) 1 – cos a+ isina, a  [0;2p)

Câu 3: Tìm các căn bậc hai của số phức sau:

1. z = 1+i
2. z = i
3. $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}$
4. -2(1+i$\sqrt{3}$)
5. 7- 24i

Câu 4: Sử dụng dạng lượng giác để tính số phức sau:

a) $\left( \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\left( -3+3i \right)\left( 2\sqrt{3}+2i \right)$

b) (1+i)(-2-2i)i

c) -2i(-4+4$\sqrt{3}$i)(3+3i)

d)  3(1-i)(-5+5i)

Câu 5: Chứng minh rằng: ${{\left( \frac{-\sqrt{3}+i}{1+i} \right)}^{12}}$là số thực

Câu 6: Tìm môđun của z và argument:

1. z = $\frac{{{\left( 2\sqrt{3}+2i \right)}^{8}}}{\left( 1-i \right)6}+\frac{{{\left( 1+i \right)}^{6}}}{{{\left( 2\sqrt{3}-2i \right)}^{8}}}$
2. z = \[\frac{{{\left( -1+i \right)}^{4}}}{{{\left( \sqrt{3}-i \right)}^{10}}}+\frac{1}{{{\left( 2\sqrt{3}+2i \right)}^{4}}}\]
3. z = ${{\left( 1+i\sqrt{3} \right)}^{n}}+{{\left( 1-i\sqrt{3} \right)}^{n}}$

Câu 7 :Cho hai số phức z₁ = $\sqrt{2}$+ i$\sqrt{2}$ và z₂ = 1+$\sqrt{3}$i

1. Tính môđun và argument của hai số phức nói trên.
2. Tính môđun và argument của z₁³ và z₂² và $\frac{{{z}_{1}}^{3}}{{{z}_{2}}^{2}}$
3. Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos$\frac{\pi }{12}$ và sin$\frac{\pi }{12}$

Đáp số

Câu 1:

z₁ = 12$\left( c\text{os}\frac{\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{\pi }{3} \right)$;    z₂ = $\frac{1}{2}\left( c\text{os}\frac{2\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{2\pi }{3} \right)$; z₃ =$c\text{os}\frac{4\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{4\pi }{3}$

z₁ = 12$18\left( c\text{os}\frac{5\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{5\pi }{3} \right)$;      z₂ = $4\left( c\text{os}\frac{3\pi }{2}+\text{i}\sin \frac{3\pi }{2} \right)$;

Câu 2:

a) 2(cos$\frac{7\pi }{6}$+isin$\frac{7\pi }{6}$)

b) cos$\left( -\frac{\pi }{17} \right)$+ isin$\left( -\frac{\pi }{17} \right)$

c)  cos$\frac{15\pi }{34}$+ isin$\frac{15\pi }{34}$

d)

- Nếu a = 0 Þ không tồn tại số phức dưới dạng lượng giác.

Câu 3:

Câu 4:        

a) 12$\sqrt{2}$(cos$\frac{7\pi }{4}$+isin$\frac{7\pi }{4}$)

          b) 4(cos0 + isin0)

          c) 48$\sqrt{2}$(cos$\frac{5\pi }{12}$+isin$\frac{5\pi }{12}$)

          d) 30(cos$\frac{\pi }{2}$+isin$\frac{\pi }{2}$)

Câu 5: Sử dụng công thức Moavrơ : ${{\left( \frac{-\sqrt{3}+i}{1+i} \right)}^{12}}$= -64

Câu 6:

1. |z| = ${{2}^{13}}+\frac{1}{{{2}^{13}}}$; arg z = $\frac{5\pi }{6}$
2. |z| = $\frac{1}{{{2}^{9}}}$; arg z = p
3. |z| = ${{2}^{n+1}}\left| c\text{os}\frac{5n\pi }{3} \right|$; arg z = j  {0;p }

Câu 7:

1. Ta có |z₁| = 2; j₁ = $\frac{\pi }{4}$;  |z₂| = 2; j₂ = $\frac{\pi }{3}$
2. |z₁³| = 8; j₃ = $\frac{3\pi }{4}$;  |z₂| = 4; j₄ = $\frac{2\pi }{3}$; $\left| \frac{{{z}_{1}}^{3}}{{{z}_{2}}^{2}} \right|$= 2; j₅ =  $\frac{\pi }{12}$
3. cos$\frac{\pi }{12}$ = $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$và sin$\frac{\pi }{12}$ = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Bài viết gợi ý: