1. Định nghĩa
a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này gọi là nội tiếp đường tròn.
b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
2. Định lí
Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp
Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
3. Công thức tính
Đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều. Ta có:
$R=\frac{a}{2\sin \frac{{{180}^{{}^\circ }}}{n}}$, $r=\frac{a}{2\tan \frac{{{180}^{{}^\circ }}}{n}}$
Bài tập minh họa
Cho đa giác đều n cạnh \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}..{{A}_{n}}~\] có O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đó và a là độ dài cạnh đa giác. Tính bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp đa giác đó theo a và n.
Hướng dẫn giải.
Vì \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}..{{A}_{n}}~\]à đa giác đều và O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác nên O cũng là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đó.
Nối \[O{{A}_{1}},O{{A}_{2}}\] và kẻ \[OH\bot {{A}_{1}}{{A}_{2}}~\]
Xét \[\Delta O{{A}_{1}}{{H}_{2}}\] vuông tại H có: \[\widehat{{{A}_{1}}OH}=\frac{{{360}^{0}}}{2n}=\frac{{{180}^{0}}}{n}\]
\[\Rightarrow \sin \widehat{{{A}_{1}}OH}=\sin \frac{{{180}^{0}}}{n}=\frac{{{A}_{1}}H}{O{{A}_{1}}}=\frac{\frac{a}{2}}{O{{A}_{1}}}\]
\[\Rightarrow O{{A}_{1}}=\frac{a}{2.\sin \frac{{{180}^{0}}}{n}}\] hay \[R=\frac{a}{2.\sin \frac{{{180}^{0}}}{n}}\]$$
Lại có: \[OH=r\] là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác và \[OH={{A}_{1}}H.\text{ }cotg\text{ }\widehat{{{A}_{1}}OH}\text{ = }\frac{a}{2}\text{ }cotg\text{ }\left( \frac{{{180}^{0}}}{n} \right)\]
Vậy \[R=\frac{a}{2.\sin \frac{{{180}^{0}}}{n}}\] và \[r=\frac{a}{2}.cotg\frac{{{180}^{0}}}{n}=\frac{a}{2.tg\frac{{{180}^{0}}}{n}}\]
