Bài toán về quỹ tích và cung chưa góc

1. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh một quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm M thuộc hình H đều có tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích hay tập hợp các điểm M có tính chất T là hình H.

2. Quỹ tích cung chứa góc

Quỹ tích(tập hợp): Các điểm M tạo với hai nút của đoạn thẳng AB cho trước một góc $\widehat{AMB}$có số đo $\alpha $ cho trước 0⁰<>⁰ là hai cung tròn có số đo là $360{}^\circ -2\alpha $ đối xứng với nhau qua AB.

Bài tập: Cho \[\Delta ABC\] có cạnh BC cố định và \[\widehat{A}=\alpha \] không đổi (0⁰<>⁰ ). Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác \[\Delta ABC\]

Hướng dẫn giải.

* Phần thuận:

Vì I của đường tròn nội tiếp tam giác nên BI là phân giác của \[\widehat{B}\], do đó: \[\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\]

CI là phân giác \[\widehat{ACB}\], do đó \[\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}\]

Trong \[\Delta BCI\] có \[~\widehat{BIC}={{180}^{o}}-\frac{1}{2}\left( \widehat{ABC}+\widehat{ACB} \right)\]=\[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \]

Suy ra điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới một góc \[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \] nên I thuộc cung chứa góc \[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \]dừng trên đoạn thẳng BC (trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A).

* Phần đảo:

Lấy I’ thuộc cung chứa góc \[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \]nói trên. Vẽ các tia Bx và Cy sao cho BI’ là tia phân giác của \[\widehat{CBx}\] và CI’ là tia phân giác của góc \[\widehat{CBy}\]. Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A’.

Vì I’ thuộc cung chứa góc \[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \] dựng trên đoạn BC nên: \[\widehat{BI'C}=\text{ }{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \]

Do đó:\[\widehat{~I'BC}+\widehat{I'CB\text{ }}={{180}^{o}}-\widehat{BIC}={{90}^{o}}-\frac{1}{2}\alpha \]

Vì BI’ là phân giác của \[\widehat{A'BC}\] à CI’ là phân giác của \[\widehat{A'CB}\] nên \[\widehat{A'CB}+\widehat{A'BC}=2(\widehat{~I'BC}+\widehat{I'CB\text{ }})={{180}^{o}}-\alpha \]

Mặt khác I’ là giao điểm các tia phân giác của \[\widehat{A'CB}\] và \[\widehat{A'BC}\] nên I’ là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta A'BC\]

Kết luận: Quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\]là cung chứa góc \[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \] dựng trên đoạn BC.