MẠCH RLC CÓ R THAY ĐỔI
A: BÀI TOÁN
Xét bài toán:
Cho mạch điện R-L-C mắc nối tiếp cuộn dây thuần cảm có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi). Với \[R={{R}_{1}}\] và \[R={{R}_{2}}\] thì công suất của mạch không đổi \[P={{P}_{1}}={{P}_{2}}\]
HD giải:
Ta có: \[P=R{{I}^{2}}=R\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}-\frac{{{U}^{2}}}{P}R+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=0(*)\]
Khi đó \[{{R}_{1}}\] và \[{{R}_{2}}\] là nghiệm của phương trình (*) (Do các đại lượng khác là hằng số).
Theo định lý Viet ta có:
.png)
Với \[R={{R}_{1}}\] ,ta có: \[\tan {{\varphi }_{1}}=\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{{{R}_{1}}},\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{{{R}_{1}}}{{{Z}_{1}}}=\frac{{{R}_{1}}}{\sqrt{{{R}_{1}}^{2}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\]
\[=\frac{{{R}_{1}}}{\sqrt{{{R}_{1}}^{2}+{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}=\sqrt{\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}}\]
Với \[R={{R}_{2}}\] ,ta có: \[\tan {{\varphi }_{2}}=\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{{{R}_{2}}},\cos {{\varphi }_{2}}=\sqrt{\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}}\]
Suy ra
.png)
(Chú ý \[{{\varphi }_{1}};{{\varphi }_{2}}\] cùng âm hoặc cùng dương)
Chú ý:
- Nếu mạch khuyết L hoặc C ta có:
.png)
- Cuộn dây không thuần cảm ta có:
.png)
- Gọi .png)
và \[R={{R}_{0}}\] khi đó \[P={{P}_{\max }}\]thì \[{{R}_{1}}{{R}_{2}}=R_{0}^{2}={{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}\]và khi đó
\[{{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{2{{R}_{0}}}=\frac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}\]
Đồ thị của cômg suất P theo R.
Ta có: \[R_{0}^{2}={{R}_{1}}R_{1}^{'}={{R}_{2}}R_{2}^{'}=..={{R}_{n}}R_{n}^{'}\]
(Trong đó \[{{R}_{i}}\] và \[R_{i}^{'}\] là 2 giá trị của R cho cùng một giá trị \[{{P}_{i}}\]).
II. BÀI TẬP
|
Ví dụ 1: Đặt một điện áp xoay chiều vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp có R thay đổi thì thấy khi \[R=50\Omega \] và \[R=128\Omega \] thì công suất tỏa nhiệt trên đoạn mạch không đổi. Để công suất đó đạt cực đại thì giá trị R là: A. \[60\Omega \] B. \[80\Omega \] C. \[90\Omega \] D. \[100\Omega \] |
Hướng dẫn
Ta có: công suất cực đại khi: \[{{R}_{0}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\]
Mặt khác với \[R=50\Omega \] và \[R=128\Omega \] thì P không đổi nên \[{{R}_{1}}{{R}_{2}}={{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}\]
Do đó \[{{R}_{0}}=\sqrt{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}=\sqrt{50.128}=80\Omega \]
Chọn B
|
Ví dụ 2: [Trích đề thi Cao đẳng 2010] Đặt điện áp \[u=U\sqrt{2}\cos \omega t(V)\]vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn cảm thuần mắc nối tiếp với một biến trở R. Ứng với hai giá trị \[{{R}_{1}}\] \[{{R}_{1}}=20\Omega \] và \[{{R}_{2}}=80\Omega \] của biến trở thì công suất tiêu thụ trong đoạn mạch đều bằng 400W. Giá trị của U là: A. 400V B. 200V C. 100V D. \[100\sqrt{2}\]V |
Hướng dẫn
Ta có \[P=R{{I}^{2}}=R\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}-\frac{{{U}^{2}}}{P}R+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=0(*)\]
Khi đó \[{{R}_{1}}\] và \[{{R}_{2}}\] là nghiệm của phương trình (*) (Do các đại lượng khác là hằng số).
Theo định lý Vi-et ta có:
.png)
Chọn B
|
Ví dụ 3: Đoạn mạch gồm biến trở R, cuộn thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp \[u=200\cos \left( 100\pi t \right)(V)\] .Khi điều chỉnh biến trở tới giá trị \[R={{R}_{1}}=36\Omega \] hoặc \[R={{R}_{2}}=64\Omega \] thì công suất tiêu thụ điện trên đoạn mạch là như nhau. Giá trị công suất này là A. 200W B. 400W C. 100W D. 283W |
Hướng dẫn
Ta có: \[P=\frac{{{U}^{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}=\frac{{{\left( 100\sqrt{2} \right)}^{2}}}{100}=200W\]
Chọn A
|
Ví dụ 4: [Trích đề thi Đại học 2009] Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là \[100\Omega \] .Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị \[{{R}_{1}}\] và \[{{R}_{2}}\] công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi \[R={{R}_{1}}\] bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi \[R={{R}_{2}}\] .Các giá trị \[{{R}_{1}}\]và \[{{R}_{2}}\]là: A.\[{{R}_{1}}=50\Omega ,{{R}_{2}}=100\Omega \] B. \[{{R}_{1}}=40\Omega ,{{R}_{2}}=250\Omega \] C. \[{{R}_{1}}=50\Omega ,{{R}_{2}}=200\Omega \] D. \[{{R}_{1}}=25\Omega ,{{R}_{2}}=100\Omega \] |
Hướng dẫn
Ta có\[{{R}_{1}}{{R}_{2}}=Z_{C}^{2}={{100}^{2}}(1)\]
Mặt khác: \[{{U}_{{{C}_{1}}}}=2{{U}_{{{C}_{2}}}}\Leftrightarrow \frac{U}{\sqrt{R_{1}^{2}+Z_{C}^{2}}}.{{Z}_{C}}=2\frac{U}{\sqrt{R_{2}^{2}+Z_{C}^{2}}}.{{Z}_{C}}\Leftrightarrow 4\left( R_{1}^{2}+Z_{C}^{2} \right)=R_{2}^{2}+Z_{C}^{2}\]
\[\Leftrightarrow R_{2}^{2}-4R_{1}^{2}=3Z_{C}^{2}={{3.100}^{2}}(2)\]
Thế (1) vào (2) ta có: \[\frac{{{100}^{4}}}{R_{1}^{2}}-4R_{1}^{2}={{3.100}^{2}}\Rightarrow R_{1}^{2}=2500\Rightarrow {{R}_{1}}=50\Rightarrow {{R}_{2}}=200\]
Chọn C
|
Ví dụ 5: Cho mạch điện gồm cuộn dây có điện trở \[r=20(\Omega )\]và độ tự cảm L mắc nối tiếp với biến trở R. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp\[u=U\sqrt{2}\cos (\omega t)(V)\].Điều chỉnh R thì thấy có hai giá trị của R là \[{{R}_{1}}=20(\Omega )\]và \[{{R}_{2}}=140(\Omega )\]thì công suất điện trên mạch đều bằng \[P=200W\]. Điều chỉnh R thì thu được công suất trên mạch có giá trị cực đại bằng: A. 240W B. 248W C. 125W D. 250W |
Hướng dẫn
Ta có
.png)
Lại có: \[{{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}=\frac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{\left( {{R}_{1}}+r \right)\left( {{R}_{2}}+r \right)}}=\frac{P\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}}+2r \right)}{2\sqrt{\left( {{R}_{1}}+r \right)\left( {{R}_{2}}+r \right)}}\]
Thay số ta được: \[{{P}_{\max }}=250W\]
Chọn D
|
Ví dụ 6: Đoạn mạch gồm biến trở R, cuộn thần cảm có độ tự cảm L, tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Điều chỉnh R thì thấy có hai giá trị của R là \[{{R}_{1}}\] và \[{{R}_{2}}=4{{R}_{1}}\] thì công suất điện trên mạch đều bằng nhau. Hệ số công suất của mạch ứng với \[{{R}_{1}}\] và \[{{R}_{2}}\] lần lượt là: A. \[\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\]và \[\cos {{\varphi }_{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\] B. \[\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\]và \[\cos {{\varphi }_{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\] C. \[\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\]và \[\cos {{\varphi }_{2}}=\frac{4}{\sqrt{17}}\] D. \[\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{4}{\sqrt{17}}\]và \[\cos {{\varphi }_{2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\] |
Hướng dẫn
Ta có: \[P=R{{I}^{2}}=R\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}-\frac{{{U}^{2}}}{P}R+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=0(*)\]
Khi đó \[{{R}_{1}}\]và \[{{R}_{2}}\] là nghiệm của phương trình (*) (Do các đại lượng khác là hằng số)
Theo định lý Viet ta có:
.png)
Với \[R={{R}_{1}}\],ta có: \[\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{{{R}_{1}}}{{{Z}_{1}}}=\frac{{{R}_{1}}}{\sqrt{R_{1}^{2}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\frac{{{R}_{1}}}{\sqrt{R_{1}^{2}+{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}=\sqrt{\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\]
Với \[R={{R}_{2}}\],ta có: \[\cos {{\varphi }_{2}}=\sqrt{\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\]
Chọn A
|
Ví dụ 7: [Trích đề thi Chuyên ĐH Vinh năm 2011] Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, R là biến trở. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ổn định \[u=U\cos \omega t(V)\].Khi thay đổi giá trị của biến trở ta thấy có hai giá trị \[R={{R}_{1}}=45\Omega \] hoặc \[R={{R}_{2}}=80\Omega \] thì tiêu thụ cùng công suất P. Hệ số công suất của đoạn mạch điện ứng với giá trị của biến trở \[{{R}_{1}},{{R}_{2}}\]là: A. \[\cos {{\varphi }_{1}}=0,5\]và \[\cos {{\varphi }_{2}}=1\] B. \[\cos {{\varphi }_{1}}=0,5\]và \[\cos {{\varphi }_{2}}=0,8\] C. \[\cos {{\varphi }_{1}}=0,8\]và \[\cos {{\varphi }_{2}}=0,6\] D. \[\cos {{\varphi }_{1}}=0,6\]và \[\cos {{\varphi }_{2}}=0,8\] |
Hướng dẫn
Tương tự bài trên \[\cos {{\varphi }_{1}}=\sqrt{\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}}=0,6;\cos {{\varphi }_{2}}=\sqrt{\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}}=0,8\]
Chọn D
|
Ví dụ 8: Đoạn mạch xoay chiều AB chỉ gồm cuộn dây thuần cảm L, nối tiếp với biến trở R được mắc vào điện áp xoay chiều \[U={{U}_{0}}\cos \omega t\].Ta thấy có 2 giá trị của biến trở là \[{{R}_{1}}\]và \[{{R}_{2}}\]làm độ lệch pha tương ứng của \[{{u}_{AB}}\]với dòng điện qua mạch lần lượt là \[{{\varphi }_{1}}\] và \[{{\varphi }_{2}}\].Cho biết \[{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}=\frac{\pi }{2}\].Độ tự cảm L của cuộn dây được xác định bằng biểu thức: A. \[L=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}{2\pi f}\] B. \[L=\frac{\sqrt{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}{2\pi f}\] C. \[L=\frac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{2\pi f}\] D. \[L=\frac{\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right|}{2\pi f}\] |
Hướng dẫn
Ta có: \[\tan {{\varphi }_{1}}=\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{{{R}_{1}}};\tan {{\varphi }_{2}}=\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{{{R}_{2}}}\]
Do \[{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \tan {{\varphi }_{1}}.\tan {{\varphi }_{2}}=1\Rightarrow {{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}={{R}_{1}}{{R}_{2}}\]
Do mạch chỉ gồm cuộn cảm thuần nên \[{{Z}_{L}}=\sqrt{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}\Rightarrow L=\frac{\sqrt{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}{2\pi f}\]
Chọn B
|
Ví dụ 9: [Trích đề thi Chuyên ĐH Vinh năm lần 3 – 2017] Cho đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm một tụ điện, một cuộn dây và một biến trở R. Điện áp xoay chiều giữa hai đầu đoạn mạch ổn định. Cho R thay đổi ta thấy: Khi \[R={{R}_{1}}=76\Omega \] thì công suất tiêu thụ của biến trở có giá trị lớn nhất là \[{{P}_{0}}\], khi \[R={{R}_{2}}\]thì công suất tiêu thụ của mạch AB có giá trị lớn nhất là \[2{{P}_{0}}\].Giá trị của \[{{R}_{2}}\]bằng: A. \[12,4\Omega \] B. \[60,8\Omega \] C. \[45,6\Omega \] D. \[15,2\Omega \] |
Hướng dẫn
Khi \[R={{R}_{1}}=76\Omega \] thì công suất tiêu thụ của biến trở có giá trị lớn nhất
Ta có:
.png)
Khi \[R={{R}_{2}}\] thì công suất tiêu thụ của mạch AB có giá trị lớn nhất là \[2{{P}_{0}}\]
Ta có:
.png)
Do đó:
.png)
\[\Leftrightarrow r=\frac{3{{R}_{1}}}{5}=45,6\Rightarrow {{R}_{2}}=15,2\]
Chọn D
|
Ví dụ 10: [Trích đề thi Chuyên Phan Bội Châu 2017] Một đoạn mạch RLC mắc nối tiếp, trong đó R là biến trở, cuộn dây thuần cảm. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi. Khi giá trị của biến trở là \[15\Omega \] hoặc \[60\Omega \] thì công suất tiêu thụ của mạch điện đều bằng \[300W\].Khi \[R={{R}_{0}}\]thì công suất của đoạn mạch cực đại là \[{{P}_{\max }}\].Giá trị \[{{P}_{\max }}\] gần giá trị nào nhất sau đây? A. 330W B. 360W C. 440W D. 400W |
Hướng dẫn
\[P=\frac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}-\frac{{{U}^{2}}}{P}R+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}\Rightarrow \left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|=\sqrt{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}\]
Mặt khác: \[{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\frac{{{U}^{2}}}{P}\Rightarrow U=\sqrt{P\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}=150V\Rightarrow {{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}=\frac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}=375V\]
Chọn B
|
Ví dụ 11: [Trích đề thi Sở GD-ĐT Hà Nội 2017] Điện áp xoay chiều ổn định vào hai đầu đoạn mạch có R,L,C mắc nối tiếp. Biết R là một biến trở. Điều chỉnh \[R={{R}_{1}}=90\Omega \]và \[R={{R}_{2}}=40\Omega \] thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đều bằng P. Điều chỉnh để \[R={{R}_{3}}=20\Omega \]và \[R={{R}_{4}}\]thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đều bằng \[{{P}^{'}}\]Giá trị của \[{{R}_{4}}\]là: A. \[60\Omega \] B. \[180\Omega \] C. \[45\Omega \] D. \[110\Omega \] |
Hướng dẫn
Ta có: \[{{R}_{1}}{{R}_{2}}={{R}_{3}}{{R}_{4}}={{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{R}_{4}}=180\Omega \]
Chọn B
