MẠCH RLC CÓ R THAY ĐỔI
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Mạch R-L-C có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi).
|
Xét bài toán tổng quát: Cho mạch điện R-L-C mắc nối tiếp cuộn dây thuần cảm có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi). Tìm R để:
a) \[{{I}_{\max }},{{U}_{L\max }};{{U}_{C\max }}\] b) \[{{U}_{R\max }}\] c) \[{{P}_{\max }}\] |
HD giải:
a) Ta có: \[I=\frac{U}{Z}=\frac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\le \frac{U}{\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}\] khi \[R=0\]
Do đó
b) \[{{U}_{R}}=R.I=R.\frac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\frac{U}{\sqrt{1+{{\left( \frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R} \right)}^{2}}}}\to U\]
c) Ta có: \[P=R.{{I}^{2}}=R.\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\frac{{{U}^{2}}}{R+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}}\]
Theo bất đẳng thức \[AM-GM\] ta có \[R+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}\ge 2\sqrt{R.\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}}=2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\]
Khi đó \[P\le \frac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}\] , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[R=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\]
Do đó \[{{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{2R}=\frac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}\] khi \[R=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\]
Dạng đồ thị
Ta có:
+) \[R=0\Rightarrow P=0\]
+) \[R=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\Rightarrow P={{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{2R}\]
+) \[R\to +\infty \Rightarrow P\to 0\]
2. Mạch R-Lr-C có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi).
|
Xét bài toán tổng quát: Cho mạch điện R-L-C mắc nối tiếp cuộn dây thuần cảm có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi). Tìm R để:
a) \[{{I}_{\max }},{{U}_{L\max }};{{U}_{C\max }}\] \[b){{P}_{\max }}\] \[c){{P}_{R\max }}\] |
HD giải:
a) Ta có: \[I=\frac{U}{Z}=\frac{U}{\sqrt{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\le \frac{U}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\] khi \[R=0\]
Do đó
.png)
b) Ta có :\[P=\left( R+r \right){{I}^{2}}=\left( R+r \right).\frac{{{U}^{2}}}{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\frac{{{U}^{2}}}{R+r+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R+r}}\]
\[\Rightarrow P\le \frac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}\] (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi\[R+r=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\]) (với \[r\le \left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\])
Chú ý: Trong trường hợp \[r>\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\Leftrightarrow {{P}_{\max }}\] khi \[R=0\]
c) Ta có: \[{{P}_{R}}=R{{I}^{2}}=R.\frac{{{U}^{2}}}{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=R\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+2Rr+{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{{{U}^{2}}}{R+\frac{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}+2r}\le \frac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}+2r}}\]
Vậy \[{{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}+2r}}\] khi \[R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\]
Khi đó
+) Tổng trở: \[{{Z}^{2}}={{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}+2Rr+\left[ {{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}} \right]\]
\[={{R}^{2}}+2Rr+{{R}^{2}}=2R\left( R+r \right)\Leftrightarrow Z=\sqrt{2R\left( R+r \right)}\]
+) Hệ số công suất: \[\cos \varphi =\frac{R+r}{Z}=\frac{R+r}{\sqrt{2R\left( R+r \right)}}=\sqrt{\frac{R+r}{2R}}>\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \varphi <\frac{\pi }{4}\]
II. BÀI TẬP
|
Ví dụ 1: Cho đoạn mạch xoay chiều nối tiếp gồm biến trở R, cuộn dây thuần cảm có cảm kháng \[100\Omega \] và tụ điện có dung kháng \[200\Omega \]. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch \[u=100\sqrt{2}\cos 100\pi t(V)\]. Xác định giá trị của biến trở để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch là \[40W\] A. \[120\Omega \] và \[150\Omega \] B. \[100\Omega \] và \[50\Omega \] C. \[200\Omega \] và \[150\Omega \] D. \[200\Omega \] và \[50\Omega \] |
Hướng dẫn
Ta có: \[P=R{{I}^{2}}=\frac{R{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 40=\frac{{{100}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{100}^{2}}}\]
.png)
Chọn D
|
Ví dụ 2: Một đoạn mạch nối tiếp gồm một điện trở R có thể thay đổi được, tụ điện \[C=\frac{125}{\pi }\left( \mu F \right)\] và cuộn dây thuần cảm \[L=\frac{2}{\pi }\left( H \right)\]. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều \[u=150\sqrt{2}\cos 100\pi t(V)\]. Thay đổi R để công suất tiêu thụ trong mạch bằng \[90W\]. Khi đó, R có hai giá trị \[{{R}_{1}}\] và \[{{R}_{2}}\] bằng: A. \[190\Omega \] và \[160\Omega \] B. \[80\Omega \] và \[60\Omega \] C. \[90\Omega \] và \[160\Omega \] D. \[60\Omega \] và \[16\Omega \] |
Hướng dẫn
Ta có: \[{{Z}_{L}}=200\Omega ,\] \[{{Z}_{C}}=80\Omega \].png)
Chọn C
|
Ví dụ 3: Cho một đoạn mạch xoay chiều gồm một biến trở R mắc nối tiếp với cuộn thuần cảm \[L=\frac{1}{\pi }\left( H \right)\]. Hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch ổn định và có biểu thức \[u=200\cos 100\pi t(V)\]. Thay đổi R, ta thu được công suất tỏa nhiệt cực đại trên biến trở bằng A. \[25W\] B. \[50W\] C. \[100W\] D. \[200W\] |
Hướng dẫn
Ta có: \[U=100\sqrt{2},\] \[{{Z}_{L}}=100\Omega \]
Công suất tỏa nhiệt trên biến trở: \[R=R\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\frac{{{U}^{2}}}{R+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}}\le \frac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}\]
Dấu bằng xảy ra \[\Leftrightarrow R=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\Rightarrow {{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{2{{Z}_{L}}}=\frac{{{\left( 100\sqrt{2} \right)}^{2}}}{2.100}=100W\]
Chọn C
|
Ví dụ 4: Cho một đoạn mạch điện gồm điện trở R thay đổi được, cuộn dây thuần cảm và tụ điện mắc nối tiếp. Biết \[L=\frac{1,5}{\pi }(H),\] \[C=\frac{{{10}^{-4}}}{2\pi }(F)\].Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế ổn định có biểu thức \[u={{U}_{0}}\cos 100\pi t(V)\]. Để công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt cực đại thì R bằng bao nhiêu? A. \[R=0\] B. \[R=100\Omega \] C. \[R=50\Omega \] D. \[R=150\Omega \] |
Hướng dẫn
Ta có: \[{{Z}_{L}}=150\Omega ,\] \[{{Z}_{C}}=200\Omega \]
Để công suất tỏa nhiệt trên R đạt cực đại thì \[R=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|=50\Omega \]
Chọn C
|
Ví dụ 5 ( Trích đề thi Đại học năm 2007). Đặt hiệu điện thế \[u={{U}_{0}}\cos \omega t(V)\] (\[{{U}_{0}}\] và \[\omega \]không đổi) vào hai đầu đoạn mạch RLC không phân nhánh. Biết độ tự cảm và điện dung được giữ không đổi. Điều chỉnh trị số điện trở R để công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt cực đại. Khi đó hệ số công suất của đoạn mạch bằng: A. 0.85 B. 0.5 C. 1 D. \[\frac{1}{\sqrt{2}}\] |
Hướng dẫn
Ta có: \[P=R\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}-\frac{{{U}^{2}}}{R+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}}\le \frac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}\]
Khi đó P đạt cực đại khi \[R=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\Rightarrow \cos \varphi =\frac{R}{Z}=\frac{R}{R\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\]
Chọn D
|
Ví dụ 6: ( Trích đề thi Đại học năm 2008). Đoạn mạch xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Biết hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu đoạn mạch là U, cảm kháng \[{{Z}_{L}}\], dung kháng \[{{Z}_{C}}\] (với \[{{Z}_{C}}\ne {{Z}_{L}}\]) và tần số dòng điện trong mạch không thay đổi. Thay đổi R đến giá trị \[{{R}_{0}}\]thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại \[{{P}_{m}}\]khi đó: A. \[{{R}_{0}}={{Z}_{L}}+{{Z}_{C}}\] B. \[{{P}_{m}}=\frac{{{U}^{2}}}{{{R}_{0}}}\] C. \[{{P}_{m}}=\frac{{{Z}_{L}}^{2}}{{{Z}_{C}}}\] D. \[{{R}_{0}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\] |
Hướng dẫn
Ta có: \[P=R\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\frac{{{U}^{2}}}{R+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}}\le \frac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}\]
Khi đó P đạt cực đại khi \[R={{R}_{0}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\Rightarrow {{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{2{{R}_{0}}}=\frac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}\]
Chọn D
|
Ví dụ 7: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2010). Đặt điện áp \[u=200\cos 100\pi t(V)\]vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với một cuộn cảm thuần có độ tự cảm \[L=\frac{1}{\pi }\left( H \right)\]. Điều chỉnh biến trở để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt cực đại, khi đó cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch bằng: A. \[1A\] B. \[2A\] C. \[\sqrt{2}A\] D. \[\frac{\sqrt{2}}{2}A\] |
Hướng dẫn
\[{{P}_{\max }}\Leftrightarrow R={{Z}_{L}}=100\Omega \Rightarrow Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}=100\sqrt{2}\]
Do đó \[I=\frac{U}{Z}=\frac{100\sqrt{2}}{100\sqrt{2}}=1A\]
Chọn A
|
Ví dụ 8: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2012). Đặt điện áp \[u={{U}_{0}}\cos \left( \omega t+\varphi \right)\] (với \[{{U}_{0}}\]và \[\omega \]không đổi) vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở mắc nối tiếp với một cuộn cảm thuần. Điều chỉnh biến trở để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt cực đại. Khi đó: A. điện áp hiệu dụng giữa hai đầu biến trở bằng điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm thuần . B. điện áp hiệu dụng giữa hai đầu biến trở bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm thuần C. hệ số công suất của đoạn mạch bằng 1 D. hệ số công suất của đoạn mạch bằng 0.5 |
Hướng dẫn
Thay đổi R đến khi \[{{P}_{\max }}\]. Ta có:
.png)
Hệ số công suất \[\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{2}}\]
Chọn A
|
Ví dụ 9: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, biết R có thể thay đổi được. Điều chỉnh cho \[{{R}_{1}}={{R}_{0}}\]thì công suất tiêu thụ của mạch lớn nhất và có giá trị bằng \[50W\]Điều chỉnh đến \[{{R}_{2}}={{R}_{0}}+200\Omega \] thì công suất của mạch là \[40W\].Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là: A. \[200V\] B. \[120V\] C. \[100\sqrt{2}V\] D. \[100V\] |
Hướng dẫn
Thay đổi R đến khi \[{{P}_{\max }}\]. Ta có \[{{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{2{{R}_{0}}}=50W\]và \[{{R}_{0}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\]
Mặt khác \[\left( {{R}_{0}}+200 \right)\frac{{{U}^{2}}}{{{\left( {{R}_{0}}+200 \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=40W\]
\[\Leftrightarrow \left( {{R}_{0}}+200 \right)\frac{100{{R}_{0}}}{{{\left( {{R}_{0}}+200 \right)}^{2}}+{{\left( {{R}_{0}} \right)}^{2}}}=40\xrightarrow{SHIFT-CALC}{{R}_{0}}=200\Omega \Rightarrow U=100\sqrt{2}V\]
Chọn C
|
Ví dụ 10: Cho một đoạn mạch gồm một cuộn dây thuần cảm \[L=\frac{1}{\pi }\left( H \right)\]mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung không đổi C và một biến trở R. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng \[200V\], tần số \[50Hz\].Thay đổi giá trị của biến trở R thấy công suất tiêu thụ cực đại trong đoạn mạch là \[200W\].Điện dung C trong mạch có giá trị: A. \[\frac{{{10}^{-3}}}{\pi }\left( F \right)\] B. \[\frac{{{10}^{-3}}}{2\pi }\left( F \right)\] C. \[\frac{{{10}^{-4}}}{\pi }\left( F \right)\] D. \[\frac{{{10}^{-4}}}{2\pi }\left( F \right)\] |
Hướng dẫn
Ta có: \[s{{Z}_{L}}=100\Omega \]
Mặt khác:
.png)
Chọn D
|
Ví dụ 11: Một đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây có độ tự cảm \[L=0,08H\]và điện trở thuần \[r=32\Omega \].Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế dao động điều hòa ổn định có tần số góc \[300{}^{rad}/{}_{s}\].Để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt giá trị lớn nhất thì điện trở của biến trở phải có giá trị bằng bao nhiêu? A. \[56\Omega \] B. \[24\Omega \] C. \[32\Omega \] D. \[40\Omega \] |
Hướng dẫn
Ta có: \[{{P}_{R}}=R{{I}^{2}}=R\frac{{{U}^{2}}}{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=R\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+2Rr+{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{{{U}^{2}}}{R+\frac{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}+2r}\le \frac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}+2r}\]
Vậy \[{{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}+2r}\] khi \[R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=40\Omega \]
Chọn D
|
Ví dụ 12: (Trích đề thi chuyên ĐH Vinh năm 2012) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng \[60V\]vào đoạn mạch mắc nối tiếp gồm cuộn dây có \[r=20\Omega ;{{Z}_{L}}=50\Omega \], tụ điện \[{{Z}_{C}}=65\Omega \] và biến trở R. Điều chỉnh R thay đổi từ \[0\to +\infty \]thì thấy công suất toàn mạch đạt cực đại là: A. 120W B. 115,2W C. 40W D. 105,7W |
Hướng dẫn
Vì \[r>\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\]do đó \[{{P}_{\max }}\Leftrightarrow R=0\Rightarrow {{P}_{\max }}=\frac{{{U}^{2}}}{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}.r=115,2W\]
Chọn B
|
Ví dụ 13: (Trích đề thi Sở GD- ĐT Bình Phước) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng\[120V\], tần số không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB gồm đoạn mạch AM ghép nối tiếp với đoạn mạch MB. Đoạn mạch AM chỉ có biến trở R; đoạn mạch MB gồm cuộn dây không thuần cảm ghép nối tiếp với tụ C. Điều chỉnh R đến giá trị\[{{R}_{0}}\]sao cho công suất tiêu thụ trên biến trở đạt cực đại thì thấy điện áp hiệu dụng đoạn mạch MB bằng\[40\sqrt{3}V\]và công suất tiêu thụ trên đoạn mạch AB bằng\[90W\].Tính công suất tiêu thụ trên đoạn mạch AM. A. 30W B. 60W C. 67,5W D. 45W |
Hướng dẫn
Khi R biến thiên để công suất tiêu thu trên biến trở là cực đại, ta có:
\[R={{R}_{0}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\Rightarrow {{Z}^{2}}={{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=2{{R}_{0}}\left( {{R}_{0}}+r \right)(1)\]
Công suất tiêu thụ của mạch khi đó là: \[{{P}_{AB}}=\frac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}\left( {{R}_{0}}+r \right)=\frac{{{U}^{2}}}{2{{R}_{0}}}=90\Rightarrow {{R}_{0}}=80\Omega \]
Kết hợp với giả thuyết \[{{U}_{MB}}=\frac{U\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}{Z}=U\frac{{{R}_{0}}}{Z}\Leftrightarrow 40\sqrt{3}=120\frac{80}{Z}\Rightarrow Z=80\sqrt{3}\Omega \]
Thay vào (1) ta tìm được \[r=40\Omega \]
Vậy công suất tiêu thụ trên MB là: \[{{P}_{MB}}=\frac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}r=30W\]
Chọn A
