Những hằng đẳng thức đáng nhớ
I . Lí thuyết :
1. Bình phương của một tổng hai biểu thức bằng :
- Bình phương của biểu thức thứ nhất ;
- Cộng hai lần tích của hai biểu thức ;
- Cộng bình phương của biểu thức thứ hai.
\[{{(A+B)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}\]
2. Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng :
- Bình phương của biểu thức thứ nhất ;
- Trừ hai lần tích của hai biểu thức ;
- Cộng bình phương của biểu thức thứ hai.
\[{{(A-B)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}\]
Lưu ý : Ta luôn có \[{{(A-B)}^{2}}={{(B-A)}^{2}}\]
3. Hiệu các bình phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức với hiệu của chúng.
\[{{A}^{2}}-{{B}^{2}}=(A-B)(A+B).\]
4. Sai lầm cần tránh :
II . Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Rút gọn biểu thức :
\[A={{\left( 5a+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-2\left( 25{{a}^{2}}-\frac{1}{4} \right)+{{\left( 5a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\]
Giải
Cách 1 : \[A=25{{a}^{2}}+5a+\frac{1}{4}-50{{a}^{2}}+\frac{1}{2}+25{{a}^{2}}-5a+\frac{1}{4}=1\]
Cách 2 : \[A={{\left[ \left( 5a+\frac{1}{2} \right)-\left( 5a-\frac{1}{2} \right) \right]}^{2}}={{1}^{2}}=1\]
Ví dụ 2 : Tính nhẩm :
a , \[{{49}^{2}};\] b , \[{{23}^{2}}-{{21}^{2}};\]
Giải
a, \[{{49}^{2}}={{(50-1)}^{2}}={{50}^{2}}-100+1=2401.\]
b , \[{{23}^{2}}-{{21}^{2}}=(23+21)(23-21)=44.2=88.\]
Ví dụ 3 : Nêu hai cách điền vào chỗ trống của biểu thức \[{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+....\]để được bình phương của một nhị thức.
Giải
Cách 1 : \[{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{4}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}+2{{x}^{2}}.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\]
Cách 2 : \[{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}+2.{{x}^{2}}.x={{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{2}}\]
Ví dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức :
a , \[A=4{{x}^{2}}-12x+15;\] b , \[B={{x}^{2}}-x+1.\]
Giải
a, \[A=4{{x}^{2}}-12x+9+6={{(2x-3)}^{2}}+6\ge 6\]
Giá trị nhỏ nhất của A bằng 6 tại \[x=\frac{3}{2}\]
b , \[B={{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}={{\left( x-\frac{1}{3} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\]
Giá trị nhỏ nhất của B là \[\frac{3}{4}\]tại \[x=\frac{1}{4}\]
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Tính :
a , \[{{(1+3x)}^{2}};\] b , \[{{\left( 2{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}};\] c , \[{{\left( \frac{x}{2}-2y \right)}^{2}};\]
d , \[{{\left( {{x}^{2}}-0,1 \right)}^{2}};\] e , \[(2x+3)(2x-3);\] g , \[({{a}^{2}}+5)(5-{{a}^{2}}).\]
Bài 2 : Thực hiện phép tính :
a , \[2{{\left( x-1 \right)}^{2}}-4{{\left( 3+x \right)}^{2}}+2x\left( x-5 \right)\];
b , \[2{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}-3(4x+1)(1-4x);\]
c , \[4{{(x+1)}^{2}}+{{(2x-1)}^{2}}-8(x-1)(x+1).\]
Bài 3 : Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức tại \[x=-\frac{1}{3};y=-2.\]
\[A={{(x+y)}^{2}}+{{(x-y)}^{2}}-2(x+y)(y-x).\]
Bài 4 : Tìm x , biết :
a , \[{{(2x+1)}^{2}}-4{{(x+2)}^{2}}=9;\]
b , \[{{(3x+1)}^{2}}+2{{(x+3)}^{2}}+11(x+1)(x-1)=6.\]
Bài 5 : Tính nhanh các biểu thức sau :
a , \[{{121}^{2}}-{{21}^{2}};\] b , \[{{67}^{2}}-{{33}^{2}};\] c , \[{{132}^{2}}-{{112}^{2}};\] d , 39.41.
Bài 6 : Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết rằng hiệu các bình phương của chúng bằng 56.
Bài 7 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hiệu hai chữ số của số đó và số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại bằng 36, hiệu các bình phương của các chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 40.
Bài 8 : Bài Bi-gô trồng bắp cải trên một mảnh vườn hình vuông, các cây bắp cải được trồng cách đều nhau theo các hàng cột . Bà nói với cô Me-ry là năm nay, mảnh đất ấy có kích thước lớn hơn ( vẫn là hình vuông, và các cây bắp cải vẫn cách đều nhau như trước ) nên bà thu hoạch hơn năm ngoái 211 cây bắp cải. Hỏi năm nay bà Bi-gô trồng bao nhiêu cây bắp cải ?
Bài 9 : Bạn An tính bình phương của bốn số tự nhiên được bốn kết quả khác nhau là 47436 ; 16819 ; 27641 ; 41528. Bạn Tuấn nói rằng cả 4 kết quả trên đều sai. Vì sao Tuấn khẳng định được như vậy ?
Bài 10 : Tìm hai số tự nhiên có hiệu bình phương bằng 41.
