Phân tích đa thức thành nhân tử

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa về phân tích đa thức thành nhân tử

a) Định nghĩa 1

+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử.

+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:

b) Định nghĩa 2

Giả sử là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x). Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P.

II. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

a)Định lý 1

Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.”

b) Định lý 2

Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức . Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với ”.

c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )

Giả sử

là một đa thức hệ số nguyên . Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của a_n nhưng p là ước của các hệ số còn lại và p² không phải là ước của các số hạng tự do a₀. Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q.

B. Bài tập minh họa

Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược).

Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

\[A\text{ }=\text{ }2a{{x}^{3}}+\text{ }4b{{x}^{2}}y\text{ }+\text{ }2{{x}^{2}}\left( ax\text{ }-\text{ }by \right)\]

Giải:

Ta có : A = 2ax³ + 4bx²y + 2x²(ax –by)

= 2x² (ax + 2by + ax – by)

=2x²(2ax + by)

Câu 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a² – 3ax)(5y + 2b) – (6a² – 4ax)(5y + 2b)

Giải:

Ta có: P = (2a² – 3ax)(5y +2b) – (6a² – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a² – 3ax) – (6a² – 4ax))

= (5y + 2b)(- 4a² + ax)

= (5y + 2b)(x – 4a)a

Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

B = 3x²(y – 2z ) – 15x(y – 2z)²

Giải:

Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z

Do đó : B = 3x²(y – 2z) – 15x(y – 2z)²

= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))

=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)

Phương pháp nhóm các hạng tử

Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ :

Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = xy² – xz² + yz² – yx² + zx² – zy²

Giải:

Ta có : B = xy² – xz² + yz² – yx² + zx² – zy²

= (xy² – xz²) + (yz²- zy²) + (zx² – yx²)

= x(y² – z²) + yz(z – y) + x²(z – y)

= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x²(y – z)

= (y – z)((x(y + z) – yz – x²))

= (y – z)((xy – x²) + (xz – yz)

= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))

= (y – z)(x – y)(z – x)

Câu 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A= 4x⁵ +6x³ +6x² +9

Giải:

Ta có : A= 4x⁵ +6x³ +6x² +9

= 2x³(2x²+ 3) + 3(2x³ + 3)

= (2x³ + 3)(2x² + 3)

Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.

Các hằng đẳng thức thường dùng là :

A² + 2AB + B² = (A + B)²

A² - 2AB + B² = (A - B)²

A² - B² = (A + B) (A - B)

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³

A³ - B³ = (A - B)( A² + AB + B²)

A³ + B³ = (A + B)( A² - AB + B²)

Sau đây là một số bài tập cụ thể:

Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

M = x⁴ + x² + 1 + (x² – x + 1)²

Giải:

Ta có : M = x⁴ + x² + 1 + (x² – x + 1)²

= (x⁴ + 2x² + 1) – x² + (x² – x + 1)²

= (x² + 1)² – x² + (x² – x + 1)²

= (x² – x + 1) (x² + x + 1) + (x² – x + 1)²

= (x² – x + 1) (x² + x + 1 + x² – x + 1)

= 2(x² – x + 1)(x² + 1)

Câu 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (x + y)³ +(x - y)³

Giải:

Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải như sau :

Cách 1: A = (x + y)³ +(x - y)³

= ((x + y) +(x - y))³ – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)

= 8x³ – 3.2x(x² – y²)

= 2x(4x² – 3(x² – y²))

= 2x(x² + 3y²)

Cách 2: A = (x + y)³ +(x - y)³

= ((x + y) +(x - y))((x + y)² – (x + y)(x – y) + (x – y)²

= 2x(2(x² + y²) - (x² – y²))

= 2x(x² + 3y²)

Phương pháp đặt ẩn phụ

Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (x² + x) + 4(x² + x) - 12

Giải:

Đặt : y = x² + x , đa thức đã cho trở thành :

A = y² + 4y – 12

= y² – 2y + 6y – 12

= y(y – 2) + 6(y – 2)

= (y – 2)(y + 6) (1)

Thay : y = x² + x vào (1) ta được :

A = (x² + x – 2)(x² + x – 6)

= (x – 1)(x + 2)(x² + x – 6)

Câu 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (x² + x + 1)( x² + x + 2) - 12

Giải:

A = (x² + x + 1)( x² + x + 2) - 12

Đặt y = (x² + x + 1). Đa thức đã cho trở thành :

A = y(y + 1) – 12

= y² + y – 12

= y² – 3y + 4y – 12

= y(y – 3) + 4(y – 3)

= (y – 3)(y + 4) (*)

Thay: y = (x² + x + 1) vào (*) ta được :

A = (x² + x + 1 - 3)(x² + x + 1 + 4)

= (x² + x – 2) (x² + x + 6)

= (x – 1)(x + 2)(x² + x + 6)

C. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) 4x² – 25 + (2x + 7)(5 – 2x) 8) x³ + x²y – 4x – 4y

2) 3(x+ 4) – x² – 4x 9) x³ – 3x² + 1 – 3x

3) 5x² – 5y² – 10x + 10y 10) 3x² – 6xy + 3y² – 12z²

4) x² – xy + x – y 11) x² – 2x – 15

5) ax – bx – a² + 2ab – b²12) 2x² + 3x – 5

6) x² + 4x – y² + 4 13) 2x² – 18

7) x³ – x² – x + 1 14) x² – 7xy + 10y²

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1.	x⁴y⁴ + 4	6	x⁷ + x² + 1
2.	x⁴y⁴ + 64	7	x⁸ + x + 1
3.	4 x⁴y⁴ + 1	8	x⁸ + x⁷ + 1
4.	32x⁴ + 1	9	x⁸ + 3x⁴ + 1
5.	x⁴ + 4y⁴	10	x¹⁰ + x⁵ + 1